1、54.2正弦函数、余弦函数的性质【素养目标】1理解周期函数、周期、最小正周期的定义，并会求正弦函数ysinx、余弦函数ycosx的周期(数学抽象、数学运算)2掌握正弦函数ysinx，余弦函数ycosx的奇偶性，会判断简单三角函数的奇偶性(数学运算)3掌握ysinx，ycosx的最大值与最小值，并会求简单三角函数的值域和最值(数学运算)4掌握ysinx，ycosx的单调性，并能利用单调性比较大小，并会求函数yAsin(x)及yAcos(x)的单调区间(数学运算、逻辑推理)5让学生探究学习正、余弦函数的图象性质，体会数形结合的思想，激发学生学习数学的兴趣(逻辑推理)【学法解读】在本节学习中，学生从
2、观察正弦、余弦函数图象，总结它们有哪些特殊性质，从而可给出周期函数的定义，再利用诱导公式进行验证其性质，提升学生的直观想象、数学运算等核心素养第1课时正弦函数、余弦函数的性质(一)必备知识探新知基础知识知识点1 函数的周期(1)！ 周期函数 #：设函数f(x)的定义域为D，如果存在一个非零常数T，使得对每一个xD都有(xT)D，且f(xT)f(x)，那么这个函数的周期为T.(2)！ 最小正周期 #：如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做f(x)的最小正周期思考1：是不是所有的函数都是周期函数？若一个函数是周期函数，它的周期是否唯一？提示：并不是每一个函数都
3、是周期函数，若函数具有周期性，则其周期也不一定唯一知识点2 正弦函数、余弦函数的周期性和奇偶性函数ysinxycosx周期2k(kZ且k0)2k(kZ且k0)最小正周期22奇偶性奇函数偶函数思考2：(1)正弦曲线对称吗？(2)余弦曲线对称吗？提示：(1)正弦函数ysinx是奇函数，正弦曲线关于原点对称(2)余弦函数ycosx是偶函数，余弦曲线关于y轴对称基础自测1下列函数中，周期为的是(D)AysinBysin2xCycosDycos4x解析A项中，sinsinsin，故T4；B项中，sin(2x2)sin2(x)sin2x，故T；C项中，coscoscos，故T8；D项中，cos(4x2)c
4、os4(x)cos4x，故T，综上，D项正确2函数ysin2x的奇偶性为(A)A奇函数B偶函数C既是奇函数又是偶函数D非奇非偶函数3函数ysin2x，xR是(A)A最小正周期为的奇函数B最小正周期为的偶函数C最小正周期为2的奇函数D最小正周期为2的偶函数解析函数ysin2x为奇函数，周期T.4若函数f(x)满足f(x3)f(x)0，则函数f(x)是周期为！ 3 #的周期函数5若函数f(x)的最小正周期是4，则必有f(x8)！ f(x) #.关键能力攻重难题型探究题型一三角函数的周期例1 求下列函数的周期：(1)ysinx；(2)y2sin；(3)y|cosx|，xR.分析可以根据周期函数的定义
5、求解，也可以用公式T直接求解解析(1)解法1：令ux，则ysinu是周期函数，且周期为2.sinsinx，即sinsinx.ysinx的周期是4.解法2：(公式法)，T4.(2)解法1：2sin2sin，2sin2sin，y2sin的周期是6.解法2：，T6.(3)y|cosx|的图象如图(实线部分)所示，由图象可知，y|cosx|的周期为.归纳提升求三角函数周期的方法(1)定义法：紧扣周期函数的定义，寻求对定义域内的任意实数x都满足f(xT)f(x)的非零常数T.该方法主要适用于抽象函数(2)公式法：对形如yAsin(x)和yAcos(x)(其中A，是常数，且A0，0)，可利用T来求(3)图
6、象法：可画出函数的图象，借助于图象判断函数的周期，特别是对于含绝对值的函数一般可采用此法【对点练习】 求下列函数的最小正周期：(1)ysin；(2)y|sinx|；(3)ysin.解析(1)3，T.(2)作图如下：观察图象可知最小正周期为.(3)，T2.题型二三角函数奇偶性的判断例2判断下列函数的奇偶性：(1)f(x)|sinx|cosx；(2)f(x)sin；(3)f(x).分析先求函数的定义域，判断函数定义域是否关于原点对称，再判断f(x)与f(x)的关系，最终确定奇偶性解析(1)函数的定义域为R.f(x)|sin(x)|cos(x)|sinx|cosxf(x)，函数f(x)是偶函数(2)
7、f(x)sincos，xR.f(x)coscosf(x)，函数f(x)sin是偶函数(3)函数应满足1sinx0，则函数f(x)的定义域为xR|x2k，kZ显然定义域不关于原点对称，故函数f(x)为非奇非偶函数归纳提升1.判断函数奇偶性的常用方法：(1)定义法，即从f(x)的解析式中拼凑出f(x)的解析式，再看f(x)f(x)或f(x)f(x)是否成立(2)图象法，即作出函数的图象，由图象的对称性确定其奇偶性(3)验证法，即验证f(x)f(x)0或f(x)f(x)0(或1)是否成立此法通常用于函数是非奇非偶的情形2判断函数奇偶性时，必须先判断其定义域是否关于原点对称如果是，再验证f(x)是否等
8、于f(x)或f(x)，进而再判断函数的奇偶性；如果不是，则该函数是非奇非偶数【对点练习】 判断下列函数的奇偶性：(1)f(x)cos(2x)cos(x)；(2)f(x).解析(1)函数的定义域为R，由f(x)cos(2x)cos(x)sin2x(cosx)sin2xcosxf(x)sin(2x)cos(x)sin2xcosx所以f(x)f(x)，f(x)为奇函数(2)由1cosx0且cosx10，得cosx1，从而x2k，kZ，此时f(x)0，故该函数既是奇函数又是偶函数题型三三角函数奇偶性与周期性的综合运用例3定义在R上的函数f(x)既是偶函数又是周期函数，若f(x)的最小正周期是，且当x0
9、，时，f(x)sinx，求f()的值分析利用周期性与奇偶性将化到0，内再求值解析f(x)的最小正周期为，f()f()f()f()f()又f(x)是偶函数f()f()sin.归纳提升1.解答此类题目的关键是利用化归的思想，借助于周期函数的定义把待求问题转化到已知区间上，代入求解即可2如果一个函数是周期函数，若要研究该函数的有关性质，结合周期函数的定义可知，完全可以只研究该函数在一个周期上的特征，加以推广便可以得到该函数在其他区域内的有关性质【对点练习】 若f(x)是以为周期的奇函数，且f()1，求f()的值解析f(x)为以为周期的奇函数，f()f()f()f()1.课堂检测固双基1函数f(x)x
10、sin是(A)A奇函数B非奇非偶函数C偶函数D既是奇函数又是偶函数解析函数f(x)xsinxcosx，f(x)(x)cos(x)xcosxf(x)，且定义域为R，f(x)是奇函数2下列函数中，最小正周期为4的是(C)AysinxBycosxCysinDycos2x解析A项，ysinx的最小正周期为2，故A项不符合题意；B项，ycosx的最小正周期为2，故B项不符合题意；C项，ysin的最小正周期为T4，故C项符合题意；D项，ycos2x的最小正周期为T，故D项不符合题意故选C.3函数ycos2x的图象(B)A关于直线x对称B关于直线x对称C关于直线x对称D关于直线x对称解析函数的对称轴满足2xk，kZ.所以x，kZ，取k1得B选项，选B.4函数f(x)是以2为周期的函数，且f(2)2，则f(6)！ 2 #.解析f(6)f(42)f(4)f(22)f(2)2.5判断下列函数的奇偶性：(1)f(x)xcos(x)；(2)f(x)sin(cosx)解析(1)函数f(x)的定义域为R，f(x)xcos(x)xcosx，f(x)(x)cos(x)xcosxf(x)f(x)为奇函数(2)函数f(x)的定义域为R.f(x)sincos(x)sin(cosx)f(x)f(x)为偶函数