1、52三角函数的概念52.1三角函数的概念【素养目标】1借助单位圆理解三角函数(正弦、余弦、正切)的定义(数学建模)2理解三角函数的概念(数学抽象)3熟练掌握三角函数值在各象限的符号(直观想象)4通过对任意角的三角函数定义的理解，掌握终边相同的角的同一三角函数值相等(数学运算)5通过对三角函数值的符号、诱导公式一的推导，提高学生分析、探究、解决问题的能力(逻辑推理)【学法解读】在本节学习中利用坐标系中单位圆给出角的三角函数的定义，由三角函数定义判断出函数值符号，得出其结论“一全正、二正弦、三正切、四余弦”第1课时三角函数的概念(一)必备知识探新知基础知识知识点1 三角函数的定义(坐标法)如图，设
2、是一个任意角，它的终边上任意一点P(不与原点O重合)的坐标为(x，y)，点P与原点的距离为r，则sin ，cos ，tan .我们将正弦函数、余弦函数和正切函数统称为三角函数，通常将它们记为：正弦函数ysin x，xR；余弦函数ycos x，xR；正切函数ytan x，xk(kZ).思考1：(1)在初中是如何定义锐角三角函数的？(2)已知P(a，b)，|OP|r，如果改变终边上点P的位置，a，b，r均会改变，那么，这三个比值会改变吗？为什么？提示：(1)如图，设锐角的顶点与原点O重合，始边与x轴的非负半轴重合，那么它的终边在第一象限在的终边上任取一点P(a，b)，它与原点的距离r0，过P作x轴
3、的垂线，垂足为M，则线段OM的长度为a，MP的长度为b，则有sin ，cos ，tan .(2)不会改变如图，sin ，sin ，其中r1，r2，又MOPNOQ，同理可知，.因此，这三个比值不会改变知识点2 三角函数的定义(单位圆法)在平面直角坐标系中，设是一个任意角，它的终边OP与单位圆交于点P(x，y)，那么：sin y；cos x；tan (x0)思考2：(1)什么是单位圆？(2)对确定的锐角，sin ，cos ，tan 的值是否随P点的位置的改变而改变？提示：(1)单位圆是指圆心在原点，半径为单位长度的圆(2)不会三角函数也是函数，是以角为自变量，以单位圆上点的坐标(坐标的比值)为函数
4、值的函数；三角函数值只与角的大小有关，即由角的终边位置决定基础自测1判断下列说法是否正确，正确的在后面的括号内打“”，错误的打“”(1)同一个三角函数值只能有唯一的一个角与之对应()(2)sin，cos，tan的值与点P(x，y)在角终边上的位置无关()(3)终边落在y轴上的角的正切函数值为0.()(4)若是第二象限角，且P(x，y)是其终边上一点，则cos.()2已知角的终边经过点(4,3)，则cos 等于(D)ABCD解析r5，cos ，故选D3若角的终边与单位圆相交于点(，)，则sin的值为(B)AB CD1解析x，y，则siny.4已知角的终边经过P(1,2)，则tancos等于.解析
5、由三角函数的定义，tan2，cos，tancos.关键能力攻重难题型探究题型一利用三角函数的定义求三角函数值例1 (1)已知角的终边经过点(，)，则sin，cos，tan.(2)已知角的终边经过点P(x，6)，且cos，则.(3)若角的终边在直线yx上，求sin，cos，tan的值分析(1)利用三角函数的定义进行计算；(2)利用三角函数的定义的推广求解；(3)先在终边上取点，再利用定义求解解析(1)因为()2()21，所以点(，)在单位圆上，由三角函数的定义知sin，cos，tan.(2)角的终边经过点P(x，6)，且cos，cos，解得x，P(，6)，sin，tan，则.(3)设P(a，a)
6、(a0)是其终边上任一点，则tan，r2|a|，当a0时，sin，cos；当a0时，rk，是第四象限角，sin ，所以10sin 10()3330.(2)当k0时，rk，是第二象限角，sin ，所以10sin 103()330.综上所述，10sin 0.归纳提升在解决有关角的终边在直线上的问题时，应注意到角的终边为射线，所以应分两种情况处理，取射线上异于原点的任意一点的坐标(a，b)，则对应角的三角函数值分别为sin ，cos ，tan .【对点练习】 已知角的终边在射线yx(a0，y0)上，且tan a，求sin ，cos 的值解析因为角的终边在射线yx(a0，y0)上，所以可设P(a，1)
7、(a0)为角终边上任意一点，则r(a0)又tan a，所以a，解得a1.当a1时，r，sin ，cos ；当a1时，r，sin ，cos .课堂检测固双基1角的终边上有一点P(1，1)，则sin的值是(B)AB CD1解析利用三角函数定义知：sin.2若，则的终边与单位圆的交点P的坐标是(B)A(，)B(，)C(，)D(，)3已知角的终边与单位圆的交点为(，y)(y0)，则sin tan .4已知角的终边上一点坐标为(3，a)，且为第二象限角，cos ，则sin .5利用定义求sin、cos、tan的值解析如图所示，在坐标系中画出角的终边设角的终边与单位圆的交点为P，则有P(，)tan1，sin，cos.