1、专题十四算法初步与复数(见学生用书P88)(见学生用书P88)一、算法1算法的含义(1)一般而言，对一类问题的机械的、统一的求解方法称为算法(2)算法是指用一系列运算规则能在有限步骤内求解某类问题，其中的每条规则是明确定义的、可行的(3)算法从初始步骤开始，每一个步骤只能有一个确定的后继步骤，从而组成一个步骤序列，序列的终止表示问题得到解答或指出问题没有解答2程序框图(也叫流程图、算法框图)是由一些框图和带箭头的流程线组成的，其中框图表示各种操作的类型，框图中的文字和符号表示操作的内容，带箭头的流程线表示操作的先后次序流程图通常由输入、输出框、流程线、处理框、判断框、起止框等构成3算法的三种基
2、本逻辑结构顺序结构：如图(1)所示条件结构(也称选择结构、条件分支结构)：如图(2)和图(3)所示循环结构：如图(4)和图(5)所示二、复数1复数的有关概念(1)复数的概念形如abi(a，bR)的数叫复数，其中a，b分别是它的实部和虚部若b0，则abi为实数，若b0，则abi为虚数，若a0且b0，则abi为纯虚数(2)复数相等：abicdiac且bd(a，b，c，dR)(3)共轭复数：abi与cdi共轭ac且bd(a，b，c，dR)(4)复数的模：向量的模r叫做复数zabi的模，记作|z|或|abi|，即|z|abi|2复数的运算设z1abi，z2cdi(a，b，c，dR)，则(1)加法：z1
3、z2(abi)(cdi)(ac)(bd)i；(2)减法：z1z2(abi)(cdi)(ac)(bd)i；(3)乘法：z1z2(abi)(cdi)(acbd)(adbc)i；(4)除法：(cdi0)(见学生用书P89)考点一 算法初步考点精析1解答程序框图的关键是先确认好结构，解决分段函数问题，采用条件结构，而累加求和、累乘求积等问题，采用循环结构，特别注意的是两种循环结构使用的区别2求解程序框图要弄懂的两个部分：带箭头的流程线及判断框的条件，框内外必要的文字说明和算法功能例11(2015北京卷)执行如图所示的程序框图，输出的k值为()A3 B4C5 D6考点：程序框图的循环结构分析：根据题中循
4、环结构的程序框图逐步运算，直到满足条件输出结果解析：根据程序框图可知，第一次运行：a，k1，不满足a；第二次运算：a，k2，不满足a；第三次运行：a，k3，不满足a；第四次运算：a，k4，满足at，进行第二次循环可得S，m， n2，依次下去，直至S，m，n7，不满足St，循环中止，故最终输出n7，选C.答案：C考点二复数考点精析1根据纯虚数的形式特征或性质求解复数问题，是一类比较典型的题目注意挖掘隐含条件：复数z为纯虚数的充要条件是a0且b0(zabi(a，bR)还要注意巧妙运用参数问题和合理消参的技巧2利用复数相等的充要条件解答问题时，往往容易忽略题意中给出的条件，得出错误的结论，应引起重视
5、，认真审题，理清题目中给出的条件后再加以分析求解复数相等的充要条件的用途非常广泛，是复数问题实数化的主要解题途径之一，要加以切实地掌握两复数不全是实数时，就不能比较大小，只有相等与不相等的关系3在复数的四则运算上，经常由于疏忽而导致计算结果出错除了加减乘除运算外，有时要结合共轭复数的特征性质和复数模的相关知识，综合起来加以分析在复数的四则运算中，只对加法和乘法法则给出规定，而把减法、除法定义为加法、乘法的逆运算4复数代数形式的运算类似多项式的运算，加法类似合并同类项；复数的加法满足交换律、结合律，复数代数形式的乘法类似多项式乘法，除法类似分母有理化；用类比的思想学习复数中的运算问题例 21(2
6、014武侯区模拟)复数z，则图中表示z的共轭复数的点是()AA BBCC DD考点：复数的基本概念分析：利用复数的运算法则和共轭复数的定义、复数的几何意义即可得出解析：z1i，1i表示的点是(1，1)因此图中表示z的共轭复数的点是A.答案：A点评：本题考查了复数的运算法则和共轭复数的定义、复数的几何意义例 22(2015湖北卷)i为虚数单位，i607()Ai BiC1 D1考点：i的性质及复数的乘法运算分析：借助in(nZ)具有周期性求解解析：i41.i607i6043(i4)151i3i3i.故选A.答案：A点评：本题考查了i的周期性质，考查了运算求解能力，属于容易题例 23(2015福建卷
7、)若(1i)(23i)abi(a，bR，i是虚单位)，则a，b的值分别等于()A3，2 B3，2C3，3 D1，4考点：复数相等的充要条件分析：给出的是复数相等，根据实部与实部相等，虚部与虚部相等，求出a，b.解析：(1i)(23i)32iabi，a3，b2，故选A.答案：A规律总结复数是近几年高考的必考考点之一主要考查复数的概念、复数的代数形式四则运算，有时也会涉及到复数方程、复数的几何意义等一般以选择题、填空题形式出现，难度为容易题变式训练【21】 (2015全国卷)若a为实数，且3i，则a()A4 B3C3 D4解析：3i，2ai(3i)(1i)24i，a4，故选D.答案：D【22】 (
8、2015湖南卷)已知1i(i为虚数单位)，则复数z()A1i B1iC1i D1i解析：由于1i，所以z1i.故选D.答案：D【23】 (2015黄冈模拟)在复平面内复数，对应的点分别为M，N，若点P为线段MN的中点，则点P对应的复数是()A1 B. Ci D. i解析：，M，N，而P是MN的中点，P，故点P对应的复数为，选B.答案：B(见学生用书P91)例 已知z是复数，z2i，均为实数(i为虚数单位)，且复数(2ai)2在复平面上对应的点在第一象限，求实数a的取值范围考场错解：设zxyi(x，yR)，z2ix(y2)i，由题意得y2，zx2i.(x2i)(2i)(2x2)(x4)i，由题意
9、得x4，z42i.(zai)24(a2)i2(124aa2)8(a2)i，且(zai)2在复平面上的点在第一象限，解得2a6.实数a的取值范围是2，6专家把脉：复数zabi(a，bR)对应点(a，b)在第一象限的充要条件是a0，b0.a0对应点在虚轴上；b0对应点在实轴上，不属于任何象限，因此，a2，b6.对症下药：设zxyi(x，yR)z2ix(y2)i，由题意得，y2，zx2i.又(2x2)(x4)i，由题意得：x4，z42i.(zai)2(124aa2)8(a2)i，根据条件，可知解得2at，结束循环，输出n为7，故选C.答案：C2(2015重庆卷)执行如图所示的程序框图，则输出s的值为
10、()A. B. C. D.解析：k08成立，得到k2，s0；k28成立，得到k4，s；k48成立，得到k6，s；k68成立，得互k8，s；k88不成立，结束循环，输出s.答案：D3(2015全国卷)下边程序框图的算法思路源于我国古代数学名著九章算术中的“更相减损术”执行该程序框图，若输入的a，b分别为14，18，则输出的a()A0 B2 C4 D14解析：执行程序框图：当a14，b18时，ab，则a14410；当a10，b4时，ab，则a1046；当a6，b4时，ab，则a642；当a2，b4时，ab，则b422，此时ab2，输出a为2，故选B.答案：B4(2015安徽卷)执行如图所示的程序框
11、图(算法流程图)，输出的n为()A3 B4 C5 D6解析：由程序框图可知：a，n2；a，n3；a，n4，此时不满足条件，退出循环，输出n4.故选B.答案：B5(2015山东卷)若复数z满足i，其中i为虚数单位，则z()A1i B1i C1i D1i解析：设zabi(a，bR)，则abi，由i，得i(1i)1i，所以a1，b1，所以z1i，故选A.答案：A6(2014师大附中模拟)用秦九韶算法求多项式f(x)0.5x54x43x2x1，当x3的值时，先算的是()A339 B0.535121.5C0.5345.5 D(0.534)316.5解析：f(x)0.5x54x43x2x1(0.5x4)x
12、0)x3)x1)x1，故用秦九韶算法求多项式f(x)0.5x54x43x2x1，当x3的值时，先算的是0.5345.5.答案：C7(2015黄冈模拟)已知i是虚数单位，则在复平面内对应的点位于()A第一象限 B第二象限C第三象限 D第四象限解析： i， i1 007i3i.其对应的点位于第四象限，故选D.答案：D8(2015武汉模拟)设xR，则“x1”是“复数z(x21)(x1)i为纯虚数”的()A充分不必要条件 B必要不充分条件C充分必要条件 D既不充分也不必要条件解析：由纯虚数的定义解得x1，故选C.答案：C9(2014贵州模拟)若复数(aR，i为虚数单位)是纯虚数，则实数a的值为()A2
13、 B4 C6 D6解析：，复数是一个纯虚数，a60，a6，经验证成立答案：D二、填空题10(2015山东卷)执行下边的程序框图，若输入的x的值为1，则输出的y的值为_解析：输入x12成立，得到x22不成立，所以y322113，输出y13，结束答案：1311(2015江苏卷)根据如图所示的伪代码，可知输出的结果S为_S1I1WhileI8SS2II3EndWhilePrintS解析：初始值I1，I8成立，S3，I4，第一次循环结束；I4，I8成立，S5，I7，第二次循环结束；I7，I8成立，S7，I10，第三次循环结束；I10，I8不成立，跳出循环体，输出结果S7.答案：712(2015天津卷)
14、i是虚数单位，计算的结果为_解析：i.答案：i13(2014上海模拟)已知复数z1a2i，z2bi，1是z1的共轭复数若1z24，则b的取值范围是_解析：由题意可得1a2i，1z24，(a2i)(bi)ab2(a2b)i4，a2b0，ab24，2b224，解得b21，即1b1.答案：1，114(2014长沙模拟)已知复数zxyi(x，yR)，且|z2|，则的最大值为_解析：|z2|，(x2)2y23.由图可知.答案：三、解答题15(2014上海二模)已知z为复数，z2i和均为实数，其中i是虚数单位(1)求复数z；(2)若复数(zai)2在复平面上对应的点在第一象限，求实数a的取值范围解析：(1
15、)设复数zabi(a，bR)，由题意，z2iabi2ia(b2)iR，b20，即b2.又iR，2ba0，即a2b4.z42i.(2)由(1)可知z42i，(zai)2(42iai)24(a2)i216(a2)28(a2)i.由复数对应的点在复平面的第一象限，解得a的取值范围为2a6.16(2013四川卷)某算法的程序框图如图所示，其中输入的变量x在1，2，3，24这24个整数中等可能随机产生(1)分别求出按程序框图正确编程运行时输出y的值为i的概率Pi(i1，2，3)；(2)甲、乙两同学依据自己对程序框图的理解，各自编写程序重复运行n次后，统计记录了输出y的值为i(i1，2，3)的频数以下是甲
16、、乙所作频数统计表的部分数据甲的频数统计表(部分)运行次数n输出y的值为1的频数输出y的值为2的频数输出y的值为3的频数30146102 1001 027376697乙的频数统计表(部分)运行次数n输出y的值为1的频数输出y的值为2的频数输出y的值为3的频数30121172 1001 051696353当n2 100时，根据表中的数据，分别写出甲、乙所编程序各自输出y的值为i(i1，2，3)的频率(用分数表示)，并判断两位同学中哪一位所编写程序符合算法要求的可能性较大解析：(1)当x从1，3，5，7，9，11，13，15，17，19，21，23这12个数中产生时，输出y的值为1，故P1；当x从2，4，8，10，14，16，20，22这8个数中产生时，输出y的值为2，故P2；当x从6，12，18，24这4个数中产生时，输出y的值为3，故P3；输出y的值为1的概率为；输出y的值为2的概率为；输出y的值为3的概率为.(2)当n2 100时，甲、乙所编程序各自输出y的值为i(i1，2，3)的频率如下：运行次数n输出y的值为1的频数输出y的值为2的频数输出y的值为3的频数甲乙比较频率趋势与概率，可得乙同学所编程序符合算法要求的可能性大