1、第三节 基本不等式第三节 基本不等式 考点探究挑战高考 考向瞭望把脉高考 双基研习面对高考 双基研习面对高考 基础梳理 1基本不等式基本不等式不等式成立的条件等号成立的条件abab2_a0，b0ab2.常用的几个重要不等式(1)a2b2_(a，bR)；(2)ab_(ab2)2(a，bR)；(3)a2b22_(ab2)2(a，bR)；(4)baab_(a，b 同号且不为零)2ab2 3算术平均数与几何平均数 设 a0，b0，则 a，b 的算术平均数为_，几何平均数为_，基本不等式可叙述为：两个正数的算术平均数_它们的几何平均数 不小于ab2ab4利用基本不等式求最值 设 x，y 都是正数，(1)
2、如果积 xy 是定值 P，那么当_时，和 xy有最小值_.(2)如果和 xy 是定值 S，那么当_时，积xy 有最大值_.xyxy2 P14S2思考感悟在利用基本不等式求最值时，应注意哪些问题？提示：利用基本不等式求最值时，一定要注意“一正、二定、三相等”“一正”即公式中a、b必须是正数，“二定”即必须有定值(和为定值或积为定值)“三相等”即公式中的等号必须成立，必要时要合理拆分项或配凑因式，以满足上述三个条件课前热身 1 下 列 函 数 中，最 小 值 为 4 的 函 数 是_(填序号)yx4x；ysinx 4sinx(0 xb0”是“abb0a2b22ab.a2b22ab(a，bR)，由a
3、2b22aba，bR 且 ab /ab0.答案：充分不必要3已知5x3y2(x0，y0)，则 xy 的最小值是_解析：25x3y215xy，所以 xy15，当且仅当5x3y，即 x5，y3 时等号成立所以 xy 的最小值是 15.答案：154(2010年高考重庆卷改编)已知x0，y0，x2y2xy8，则x2y的最小值是_解析：x2y2xy8，y 8x2x20，0 x0，b0)(1)设 0 x0，y0，且 xy1，求8x2y的最小值例1【思路分析】解答本题(1)题直接应用基本不等式，(2)配凑，(3)题常值代换【解】(1)0 x2，03x20，y 3x(83x)3x(83x)2824，当且仅当
4、3x83x，即 x43时，取等号y 3x(83x)的最大值是 4.(2)显然 a4，当 a4 时，a40，3a4 a 3a4 (a 4)42 3a4(a4)42 34，当且仅当 3a4a4，即 a4 3时，取等号；当 a4 时，a40，y0，且 xy1，8x 2y (8x 2y)(x y)10 8yx 2xy 10 2 8yx 2xy 18.当且仅当8yx 2xy，即 x23，y13时等号成立，8x2y的最小值是 18.【名师点评】(1)利用基本不等式求最值，必须满足三条：一正、二定、三相等，即x、y都是正数；积xy或和xy为定值；x与y必须能够相等(2)利用基本定理解决一些较为复杂的问题时需
5、要同时或连续使用基本定理，这时要注意保证取等号的一致性变式训练 1 解下列问题(1)已知 a0，b0，且 4ab1，求 ab 的最大值；(2)已知 x2，求 x 4x2的最小值解：(1)法一：a0，b0,4ab1，14ab2 4ab4 ab，当且仅当 4ab12，即 a18，b12时等号成立 ab14，ab 116.所以 ab 的最大值为 116.法二：ab，b0,4ab1，ab144ab14(4ab2)2 116，当且仅当 4ab12，即 a18，b12时等号成立所以 ab 的最大值为 116.(2)x2，x20，x 4x2x2 4x222(x2)4x226，当且仅当 x2 4x2，即 x4
6、 时，等号成立所以 x 4x2的最小值为 6.利用基本不等式证明简单不等式 利用基本不等式证明不等式是综合法证明不等式的一种情况，是指从已证不等式和问题的已知条件出发，借助不等式的性质和有关定理，经过逐步的逻辑推理，最后转化为所求问题，其特征是以“已知”看“可知”，逐步推向“未知”(1)已知 a0，b0，ab1，求证：1a1b4；(2)证明：a4b4c4d44abcd.例2【思路分析】(1)利用 ab1 将要证不等式中的 1 代换，即可得证(2)利用 a2b22ab 两两结合即可求证但需两次利用不等式，注意等号成立的条件【证明】(1)a0，b0，ab1，1a1baba abb 2baab22
7、baab4(当且仅当 ab12时等号成立)1a1b4.原不等式成立(2)a4 b4 c4 d42a2b2 2c2d2 2(a2b2 c2d2)22abcd4abcd.等号成立的条件是 a2b2 且 c2d2 且 abcd.【名师点评】证明不等式时要注意灵活变形，多次利用基本不等式时，要注意每次等号是否都成立，同时也要注意基本不等式的变形形式的应用变式训练 2 已知 a、b、c(0，)且 abc1，求证：(1a1)(1b1)(1c1)8.证明：a、b、c(0，)且 abc1，(1a1)(1b1)(1c1)(1a)(1b)(1c)abc(bc)(ac)(ab)abc2 bc2 ac2 ababc8
8、，当且仅当 abc13时取等号利用基本不等式解应用题 在实际应用问题中，数学式的结构若满足基本不等式的条件，则可应用于求最值，此类问题是高考的重点之一解决问题的关键在于拼凑数学解析式的结构(2011 年苏北五市高三联考)为了保护环境，发展低碳经济，某单位在国家科研部门的支持下，进行技术攻关，采用了新工艺，把二氧化碳转化为一种可利用的化工产品已知该单位每月的处理量最少为 400 吨，最多为 600 吨，月处理成本 y(元)与月处理量 x(吨)之间的函数关系可近似地表示为：y12x2200 x80000，且每处理一吨二氧化碳得到可利用的化工产品的价值为 100 元例3(1)该单位每月处理量为多少吨
9、时，才能使平均每吨的处理成本最低？(2)该单位每月能否获利？如果获利，求出最大利润；如果不获利，则国家至少需要补贴多少元才能使该单位不亏损？【思路分析】(1)列出每吨平均处理成本的关系式，应用基本不等式求最小值(2)为二次函数求最小值问题【解】(1)由题意可知，二氧化碳的每吨平均处理成本为：yx12x80000 x2002 12x80000 x200200.当且仅当12x80000 x，即 x400 时，才能使每吨的平均处理成本最低，最低成本为 200 元(2)设该单位每月获利为 S，则 S100 xy100 x12x2200 x8000012x2300 x8000012(x300)23500
10、0.因为 400 x600，所以当 x400 时，S 有最大值40000.故该单位不获利，需要国家每月至少补贴 40000元才能不亏损【名师点评】用基本不等式解决实际问题时，一般都是求某个量的最值，这时，先把要求最值的量表示为某个变量的函数，再利用基本不等式求该函数的最值，求最值时，仍要满足前面所说的三个求最值的要求，有些实际问题中，要求最值的量需要用几个变量表示，同时，这几个变量满足某个关系式，这时，问题变成了一个条件最值，可用求条件最值的方法求最值变式训练 3(2011 年扬州调研)扬州某地区要建造一条防洪堤，其横断面为等腰梯形(如图)，腰与底边所成的角为 60，考虑到防洪堤坚固性及石块用
11、料等因素，要求防洪堤横断面面积为 9 3平方米，且高度不低于 3米，记防洪堤横断面的腰长为 x 米，外周长(梯形的上底线段 BC 与两腰长的和)为 y 米(1)求y关于x的函数关系式，并写出其定义域；(2)要使防洪堤横断面的外周长不超过10.5米，则其腰长x应在什么范围内？(3)当防洪堤横断面的腰长x为多少米时，堤的上面与两侧面的水泥用料最省(即横断面的外周长最小)？并求出此时外周长的值解：(1)由题意得，9 312(ADBC)h，其中 ADBC2x2BCx，h 32 x，9 312(2BCx)32 x，得 BC18x x2，由h 32 x 3，BC18x x20，得 2x6.yBC2x18x
12、 3x2，(2x0，b0)等，同时还要注意不等式 成立的条件和等号成立的条件3求函数 yaxbx(a0，b0)的值域，主要依据基本不等式(两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数)及函数的单调性；函数 yaxbx(a0，b0)在，ab 和 ab，上为增函数，在ab，0 和0，ab 上为减函数4求函数 yaxbx(a0，b0，x(0，c)的最小值时，应特别注意：(1)若 cab，则 xab时，y 有最小值 2 ab.(2)若 c ab，则 xc 时，y 有最小值acbc.失误防范应用基本不等式求最值时，忘记检验“一正、二定、三相等”考向瞭望把脉高考 考情分析 通过对近几年江苏高考试题的统计和分
13、析可以发现，本节主要考查利用基本不等式求函数的最值若单纯考查基本不等式，一般难度不大，通常出现在填空题中；若考查基本不等式的变形，即通过对代数式进行拆添项或配凑因式，构造出基本不等式的形式再进行求解，难度就会提升对基本不等式的考查，若以解答题的形式出现时，往往是作为工具使用，用来证明不等式或解决实际问题如江苏省2010高考第17题预测在2012年的江苏高考中，不等式的性质及基本不等式的考查以填空题考查的可能性较大规范解答(本题满分14分)(2010年高考江苏卷)某兴趣小组要测量电视塔AE的高度H(单位：m)，如示意图，垂直放置的标杆BC的高度h4 m，仰角ABE，ADE.例(1)该小组已经测得
14、一组、的值，tan1.24，tan1.20，请据此算出H的值；(2)该小组分析若干测得的数据后，发现适当调整标杆到电视塔的距离d(单位：m)，使与之差较大，可以提高测量精确度，若电视塔实际高度为125 m，问d为多少时，最大【解】由 AB Htan，BD htan，AD Htan及ABBDAD，得 Htan htan Htan，3 分解得 Hhtantantan41.241.241.20124.因此，算出的电视塔的高度 H 是 124 m6 分(2)由题设知 dAB，得 tanHd.由 ABADBD Htan htan，得 tanHhd，8 分所以 tan()tantan1tantanhdH(
15、Hh)dh2 H(Hh)，10 分当且仅当 dH(Hh)d，即 d H(Hh)125(1254)55 5时，上式取等号所以当 d55 5时，tan()最大.12 分因为 02，则 0bc，则 1ab 1bc 1ca的值的符号为_解析：abc，ab0，bc0，acbc0，1bc 1ac.1ab 1bc 1ac0，1ab 1bc 1ca为正数答案：正3已知 a，b 均为正数，1a4b2，则使 abc恒成立的 c 的取值范围是_解析：ab(ab)12(1a4b)12(5ba4ab)92，所以使 abc 恒成立的 c 的取值范围是(，92答案：(，924已知 x0，y0，lg2xlg8ylg2，则1x 13y的最小值是_解析：由 lg2xlg8ylg2 得 lg2x3ylg2，x3y1，1x 13y(1x 13y)(x3y)2 x3y3yx 4.答案：4本部分内容讲解结束 点此进入课件目录按ESC键退出全屏播放谢谢使用