1、1.4.3正切函数的性质与图象学 习 目 标核 心 素 养1.能画出正切函数的图象(重点)2掌握正切函数的性质(重点、难点)3掌握正切函数的定义域及正切曲线的渐近线(易混点)1.通过观察正切函数的图象获得正切函数性质的直观认识，提升学生直观想象素养2通过对正切函数性质的研究，加强了理性思考的成分，并使数形结合的思想得到体现.正切函数的图象与性质解析式ytan x图象定义域_值域R周期奇偶性奇函数对称中心，kZ单调性在开区间，kZ内都是增函数思考：正切函数图象的对称中心都在正切函数图象上吗？提示不是，在中，当k为偶数时，在函数图象上，当k为奇数时，不在函数图象上1函数f(x)tan的单调增区间为
2、()A，kZ B，kZC，kZ D，kZC令kxk(kZ)得kxk(kZ)，故单调增区间为(kZ)2函数ytan的定义域为_因为2xk，kZ，所以x，kZ，所以函数ytan的定义域为.3函数ytan 3x的最小正周期是_函数ytan 3x的最小正周期是.4函数ytan的对称中心是_(kZ)令x(kZ)得x(kZ)，对称中心为(kZ)有关正切函数的定义域、值域问题【例1】(1)函数y的值域是()A(1，1)B(，1)(1，)C(，1) D(1，)(2)求下列函数的定义域：y；ylg(tan x)思路点拨：(1)(2)中注意分母不为零且ytan x本身的定义域；中注意对数大于零从而得到定义域(1)
3、B当x0时，1tan x0，1；当0x时，0tan x1，1.即当x时，函数y的值域是(，1)(1，)(2)解要使函数y有意义，需使所以函数的定义域为.因为tan x0，所以tan x.又因为tan x时，xk(kZ)，根据正切函数图象，得kxk(kZ)，所以函数的定义域是.1求正切函数定义域的方法(1)求与正切函数有关的函数的定义域时，除了求函数定义域的一般要求外，还要保证正切函数ytan x有意义，即xk，kZ.(2)求正切型函数yAtan(x)(A0，0)的定义域时，要将“x”视为一个“整体”令xk，kZ，解得x.2解形如tan xa的不等式的步骤提醒：求定义域时，要注意正切函数自身的限
4、制条件1求函数ylg(1tan x)的定义域解要使函数ylg(1tan x)有意义，则即1tan x1.当x上满足上述不等式的x的取值范围是.又因为ytan x的周期为，所以所求x的定义域为.正切函数奇偶性、周期性和图象的对称性【例2】(1)函数f(x)tan的周期为_(2)已知函数ytan，则该函数图象的对称中心坐标为_(3)判断下列函数的奇偶性：y3xtan 2x2x4；ycostan x.思路点拨：(1)形如yAtan(x)(A0)的周期T，也可以用定义法求周期(2)形如yAtan(x)(A0)的对称中心横坐标可由x，kZ求出(3)先求定义域，看是否关于原点对称，若对称再判断f(x)与f
5、(x)的关系(1)(2)(kZ)(1)法一：(定义法)tantan，即tantan，f(x)tan的周期是.法二：(公式法)f(x)tan的周期T.(2)由x(kZ)得x(kZ)，所以图象的对称中心坐标为，kZ.(3)解定义域为，关于原点对称，又f(x)3(x)tan 2(x)2(x)43xtan 2x2x4f(x)，所以它是偶函数定义域为，关于原点对称，ycostan xsin xtan x，又f(x)sin(x)tan(x)sin xtan xf(x)，所以它是奇函数1函数f(x)Atan(x)周期的求解方法(1)定义法(2)公式法：对于函数f(x)Atan(x)的最小正周期T.(3)观察
6、法(或图象法)：观察函数的图象，看自变量间隔多少，函数值重复出现2判定与正切函数有关的函数奇偶性的方法先求函数的定义域，看其定义域是否关于原点对称，若其不关于原点对称，则该函数为非奇非偶函数；若其关于原点对称，再看f(x)与f(x)的关系提醒：ytan x，xk(kZ)的对称中心坐标为，kZ.2判断下列函数的奇偶性：(1)f(x)；(2)f(x)tantan.解(1)由得f(x)的定义域为，不关于原点对称，所以函数f(x)既不是偶函数，也不是奇函数(2)函数定义域为，关于原点对称，又f(x)tantantantanf(x)，所以函数是奇函数.正切函数单调性的应用探究问题1正切函数ytan x在
7、其定义域内是否为增函数？提示：不是正切函数的图象被直线xk(kZ)隔开，所以它的单调区间只在(kZ)内，而不能说它在定义域内是增函数假设x1，x2，x1x2，但tan x1tan x2.2如果让你比较tan与tan的大小，你应该怎样做？提示：先根据正切函数的周期性把两角化到同一单调区间内，再由正切函数的单调性进行比较【例3】(1)不通过求值，比较下列各组中两个三角函数值的大小：tan 与tan；tan与tan.(2)求函数y3tan的单调区间思路点拨：(1)(2)解(1)因为tantan，tantan，又0，ytan x在内单调递增，所以tantan，即tantan.因为tantan，tant
8、an，又0，ytan x在内单调递增，所以tantan，所以tantan，即tantan.(2)y3tan3tan，由k2xk，kZ得，x，kZ，所以y3tan的减区间为，kZ.1将本例(2)中的函数改为“y3tan”，结果又如何？解由kxk(kZ)，得2kx2k(kZ)，函数y3tan的单调递增区间是(kZ)2将本例(2)中函数改为“ylg tan”结果又如何？解因为函数ylg x在(0，)上为增函数，所以函数ylg tan x的单调递增区间就是函数ytan x(tan x0)的单调递增区间，令k2xk(kZ)，得x(kZ)，故ylg tan的增区间为，kZ.1求函数yAtan(x)(A0，
9、0，且A，都是常数)的单调区间的方法(1)若0，由于ytan x在每一个单调区间上都是增函数，故可用“整体代换”的思想，令kxk，kZ，解得x的范围即可(2)若0，可利用诱导公式先把yAtan(x)转化为yAtan(x)Atan(x)，即把x的系数化为正值，再利用“整体代换”的思想，求得x的范围即可2运用正切函数单调性比较大小的步骤(1)运用函数的周期性或诱导公式将角化到同一单调区间内(2)运用单调性比较大小关系提醒：yAtan(x)(A0，0)只有增区间；yAtan(x)(A0，0)只有减区间1正切函数在整个定义域上的图象叫正切曲线正切曲线是由相互平行的直线xk(kZ)所隔开的无穷多支曲线组
10、成，每支曲线向上、向下无限接近相应的两条直线，且每支曲线都是单调递增的2正切函数的性质(1)正切函数ytan x的定义域是，值域是R.(2)正切函数ytan x的最小正周期是，函数yAtan(x)(A0)的周期为T.(3)正切函数在(kZ)上递增，不能写成闭区间正切函数无单调减区间.1下列说法正确的是()A正切函数的定义域和值域都是RB正切函数在其定义域内是单调增函数C函数y|tan x|与ytan x的周期都是D函数ytan|x|的最小正周期是Cytan x的定义域为，所以A错；由正切函数图象可知B错；画出ytan x，y|tan x|和ytan|x|的图象可知C正确，D错误，因为ytan|x|不是周期函数2在下列函数中同时满足：在上递增；以2为周期；是奇函数的是()Aytan xBycos xCytan Dytan xCA，D的周期为，B中函数在上递减，故选C.3函数y|tan x|在上的单调减区间为_和如图，观察图象可知，y|tan x|在上的单调减区间为和.4求函数ytan的定义域、最小正周期、单调区间及其图象的对称中心解由k，kZ，得x2k，kZ，函数的定义域为.T2，函数的最小正周期为2.由kk，kZ，得2kx2k，kZ，函数的单调递增区间为， kZ.由，kZ，得xk，kZ，函数图象的对称中心是，kZ.