1、第三章函数的概念与性质3.1函数的概念及其表示3.11函数的概念【素养目标】1通过丰富实例，学习用集合与对应的语言来刻画函数，体会对应关系在刻画函数概念中的作用(数学抽象)2了解构成函数的三要素(数学抽象)3能够正确使用“区间”的符号表示某些集合(直观想象)4理解同一个函数的概念(数学抽象)5能判断两个函数是否是同一个函数(逻辑推理)【学法解读】1函数概念的引入，学生以熟悉的例子为背景进行抽象，从变量之间的依赖关系、实数集合之间的对应关系、函数图象的几何直观等角度整体认识函数的概念例如，学生可以从已知的、基于变量关系的函数定义入手，通过生活或数学中的问题，构建函数的一般概念，体会用对应关系定义
2、函数的必要性，感悟数学抽象的层次2本节重点是理解函数的定义，会求简单函数的定义域，难点是理解yf(x)的含义，学生要加深理解第1课时函数的概念(一)必备知识探新知基础知识知识点1 函数的概念定义设A、B是非空的_实数集_，如果对于集合A中的_任意一个数x_，按照某种确定的对应关系f，在集合B中都有_唯一确定_的数y和它对应，那么就称f：AB为从集合A到集合B的一个函数，记作yf(x)，xA三要素对应关系yf(x)，xA定义域_x_的取值集合值域与x的值相对应的y的值的集合f(x)|xA思考1：(1)对应关系f一定是解析式吗？(2)f(x)与f(a)有何区别与联系？提示：(1)不一定对应关系f可
3、以是解析式、图象、表格，或文字描述等形式(2)f(x)与f(a)的区别与联系：f(a)表示当xa时，函数f(x)的值，是一个常量，而f(x)是自变量x的函数，一般情况下，它是一个变量，f(a)是f(x)的一个特殊值知识点2 区间及有关概念(1)一般区间的表示设a，bR，且ab，规定如下：定义名称符号数轴表示x|axb闭区间_a，b_x|axb开区间_(a，b)_x|axb半开半闭区间_a，b)_x|axb半开半闭区间_(a，b_(2)特殊区间的表示定义Rx|xax|xax|xax|xa符号(，)_a，)_(a，)_(，a_(，a)_思考2：(1)区间是数集的另一种表示方法，那么任何数集都能用区
4、间表示吗？(2)“”是数吗？以“”或“”作为区间一端时这一端可以是中括号吗？提示：(1)不是任何数集都能用区间表示，如集合0就不能用区间表示(2)“”读作“无穷大”，是一个符号，不是数以“”或“”作为区间一端时，这一端必须是小括号基础自测1对的打“”，错的打“”(1)“yf(x)”表示的是“y等于f与x的乘积”()(2)根据函数的定义，定义域中的任何一个x可以对应着值域中不同的y()(3)在研究函数时，除用符号f(x)外，还用g(x)，F(x)，G(x)等来表示函数()解析(1)符号yf(x)是“y是x的函数”的数学表示，应理解为x是自变量，它是关系所施加的对象(2)根据函数的定义，对于定义域
5、中的任何一个x，在值域中都有唯一的y与之对应(3)同一个题中，为了区别不同的函数，常采用g(x)，F(x)，G(x)等来表示函数2已知f(x)2x1，则f(5)(C)A3B7C11 D25解析f(5)25111，故选C3(2019江苏，4)函数y的定义域是_1,7_解析要使函数y有意义，应满足76xx20，x26x70，(x7)(x1)0，1x7，函数y的定义域是1,74如图能表示函数关系的是_解析由于中的2与1和3同时对应，故不是函数关系关键能力攻重难题型探究题型一函数概念的理解例1(1)下列对应或关系式中是A到B的函数的是(B)AAR，BR，x2y21BA1,2,3,4，B0,1，对应关系
6、如图：CAR，BR，f：xyDAZ，BZ，f：xy(2)设Mx|2x2，Ny|0y2，函数yf(x)的定义域为M，值域为N，对于下列四个图象，不可作为函数yf(x)的图象的是(C)分析(1)如何利用函数定义对于集合A中的元素通过对应关系在集合B中有唯一元素与之对应进行判断(2)当对应关系用图象表示时，怎样判断是否为函数关系解析(1)对于A项，x2y21可化为y，显然对任xA，y值不唯一，故不符合对于B项，符合函数的定义对于C项，2A，但在集合B中找不到与之相对应的数，故不符合对于D项，1A，但在集合B中找不到与之相对应的数，故不符合(2)由函数定义可知，任意作一条直线xa，则与函数的图象至多有
7、一个交点，结合选项可知C中图象不表示y是x的函数归纳提升1判断一个对应关系是否是函数，要从以下三个方面去判断，即A，B必须是非空数集；A中任何一个元素在B中必须有元素与其对应；A中任一元素在B中必有唯一元素与其对应2函数的定义中“任一x”与“有唯一确定的y”说明函数中两变量x，y的对应关系是“一对一”或者是“多对一”而不能是“一对多”【对点练习】 下列对应是否为A到B的函数：(1)AR，Bx|x0，f：xy|x|；(2)AZ，BZ，f：xyx2；(3)AZ，BZ，f：xy；(4)A1,1，B0，f：xy0解析(1)A中的元素0在B中没有对应元素，故不是A到B的函数(2)对于集合A中的任意一个整
8、数x，按照对应关系f：xyx2，在集合B中都有唯一一个确定的整数x2与之对应，故是集合A到集合B的函数(3)A中元素负整数没有平方根，故在B中没有对应的元素，故此对应不是A到B的函数(4)对于集合A中一个实数x，按照对应关系f：xy0，在集合B中都有唯一一个确定的数0与之对应故是集合A到集合B的函数题型二求函数的定义域例2求下列函数的定义域：(1)y；(2)f(x)分析解析(1)要使函数有意义，自变量x的取值必须满足，即，解得x0，且x2故原函数的定义域为(，2)(2,0)(2)要使函数有意义，自变量x的取值必须满足，即故原函数的定义域为(，1)(1,4归纳提升求函数的定义域：(1)要明确使各
9、函数表达式有意义的条件是什么，函数有意义的准则一般有：分式的分母不为0；偶次根式的被开方数非负；yx0要求x0(2)当一个函数由两个或两个以上代数式的和、差、积、商的形式构成时，定义域是使得各式子都有意义的公共部分的集合(3)定义域是一个集合，要用集合或区间表示，若用区间表示数集，不能用“或”连接，而应该用并集符号“”连接【对点练习】 (2021吉林乾安七中高一期末测试)函数y的定义域是(C)A1，)B1,0C(1，) D(1,0)解析要使函数y有意义，应满足x10，x1，函数y的定义域为(1，)题型三对应关系例3(2021哈尔滨高一检测)德国数学家狄利克雷在1837年时提出：“如果对于x的每
10、一个值，y总有一个完全确定的值与之对应，则y是x的函数”，这个定义较清楚地说明了函数的内涵只要有一个法则，使得x在取值范围中的每一个值，都有一个确定的y和它对应就行了，不管这个对应的法则是公式、图象、表格还是其他形式，已知函数f(x)由表给出，则f10f()的值为(D)xx11x2x2f(x)123A0 B1C2 D3解析根据表格所确定的对应关系，当x1时，f(x)1，f()1,10f()10，又当x2时，f(x)3，f10f()f(10)3故选D归纳提升函数的对应关系f反映了自变量x的运算、对应方法，通过这种运算、对应得到唯一的函数值y【对点练习】 (1)(2021杭州高一检测)函数yf(x
11、)的值域是(D)AR By|1y1C1,1 D1,0,1(2)已知函数f(x)，g(x)分别由表给出x123f(x)131x123g(x)321则方程gf(x)3的解集为_1,3_解析(2)根据题意，若方程gf(x)3，必有f(x)1，则有x1或3，即方程gf(x)3的解集为1,3题型四求函数值例4已知f(x)(xR，且x1)，g(x)x22(xR)(1)求f(2)，g(2)的值；(2)求fg(3)的值解析(1)f(x)，f(2)又g(x)x22，g(2)2226(2)g(3)32211，fg(3)f(11)归纳提升求函数值的方法及关注点(1)方法：已知f(x)的解析式时，只需用a替换解析式中
12、的x即得f(a)的值；求fg(a)的值应遵循由里往外的原则(2)关注点：用来替换解析式中x的数a必须是函数定义域内的值，否则求值无意义【对点练习】 已知f(x)，g(x)x22(1)求f(3)，g(3)的值；(2)求fg(2)的值解析(1)f(3)1，g(3)3227(2)fg(2)课堂检测固双基1下列图形中，不能确定y是x的函数的是(D)解析由函数的定义知A，B，C是函数，故选D2对于函数f：AB，若aA，bA，则下列说法错误的是(C)Af(a)BBf(a)有且只有一个C若f(a)f(b)，则abD若ab，则f(a)f(b)解析函数的对应关系中，可以多个不同的自变量对应同一个函数值故选C3若函数yx22x5的定义域为1,0,2,3，则其值域为_6，5,3,10_4下列对应关系是集合P上的函数的是_PZ，QN*，对应关系f：对集合P中的元素取绝对值与集合Q中的元素相对应；P1,1，2,2，Q1,4，对应关系f：xyx2，xP，yQ；P三角形，Qx|x0，对应关系f：对P中的三角形求面积与集合Q中的元素对应解析对，0P，但|0|Q，所以对应关系f不能构成集合P上的函数对，xP，都有且只有唯一元素y在集合Q中与之对应，所以能构成集合P上的函数对，P中的元素不是数，而函数是数集到数集的对应关系故填