1、1.1.2弧度制学 习 目 标核 心 素 养1.了解弧度制下，角的集合与实数集之间的一一对应关系2理解“弧度的角”的定义，掌握弧度与角度的换算、弧长公式和扇形面积公式，熟悉特殊角的弧度数(重点、难点)3了解“角度制”与“弧度制”的区别与联系(易错点)1.通过本节课的学习，了解引入弧度制的必要性，理解定义，熟练角度制与弧度制的转换，提升学生数学抽象的核心素养2在类比和数学运用过程中，更好形成弧度概念，建立角的集合与实数集的一一对应关系，培养了学生数学建模和数学运算的核心素养.1度量角的两种单位制(1)角度制定义：用度作为单位来度量角的单位制1度的角：周角的(2)弧度制定义：以弧度作为单位来度量角
2、的单位制1弧度的角：长度等于半径长的弧所对的圆心角2弧度数的计算思考：比值与所取的圆的半径大小是否有关？提示：一定大小的圆心角所对应的弧长与半径的比值是唯一确定的，与半径大小无关3角度制与弧度制的换算4一些特殊角与弧度数的对应关系度030456090120135150180270360弧度025扇形的弧长和面积公式设扇形的半径为R，弧长为l，(02)为其圆心角，则：(1)弧长公式：lR(2)扇形面积公式：SlRR21下列说法中错误的是()A1弧度的角是周角的B弧度制是十进制，而角度制是六十进制C1弧度的角大于1度的角D根据弧度的定义，180一定等于弧度AA错误，1弧度的角是周角的.B、C、D都
3、正确2(1)化为角度是_(2)105的弧度数是_(1)252(2)(1)252；(2)105105 rad rad.3半径为2，圆心角为的扇形的面积是_由已知得S扇22.4是第_象限的角三8，是第三象限角，也是第三象限角角度与弧度的互化与应用【例1】(1)将11230化为弧度为_；将rad化为角度为_(2)设1510，2750，1，2.将1，2用弧度表示出来，并指出它们各自终边所在的象限；将1，2用角度表示出来，并在360360范围内找出与它们终边相同的所有的角(1)rad75因为1rad，所以11230112.5 radrad.因为1 rad，所以rad75.(2)解1rad，1510510
4、，2750750.1的终边在第二象限，2的终边在第四象限1144.设1k360144(kZ)3601360，360k360144360.k1或k0.在360360范围内与1终边相同的角是216.2330.设2k360330(kZ)3602360，360k360330360.k0或k1.在360360范围内与2终边相同的角是30.角度制与弧度制互化的关键与方法(1)关键：抓住互化公式 rad180是关键；(2)方法：度数弧度数；弧度数度数；(3)角度化弧度时，应先将分、秒化成度，再化成弧度1(1)将15730化成弧度为_；(2)将化为度是_(1) rad(2)396(1)15730157.5 r
5、ad rad.(2)396.2在2，4中，与72角终边相同的角是_(用弧度表示)因为终边与72角相同的角为72k360(kZ)当k1时，432，所以在2，4中与72角终边相同的角是.用弧度数表示角【例2】(1)把1 480写成2k(kZ)的形式，其中02，并判断它是第几象限角？(2)用弧度表示终边落在如图所示阴影部分内(不包括边界)的角的集合思路点拨：(1)(2)解(1)1 4801 48010，其中02，因为是第四象限角，所以1 480是第四象限角(2)因为30 rad，210 rad，这两个角的终边所在的直线相同，因为终边在直线AB上的角为k，kZ，而终边在y轴上的角为k，kZ，从而终边落
6、在阴影部分内的角的集合为.1弧度制下与角终边相同的角的表示在弧度制下，与角的终边相同的角可以表示为|2k，kZ，即与角终边相同的角可以表示成加上2的整数倍2根据已知图形写出区域角的集合的步骤(1)仔细观察图形(2)写出区域边界作为终边时角的表示(3)用不等式表示区域范围内的角提醒：角度制与弧度制不能混用. 3下列与的终边相同的角的表达式中，正确的是()A2k45(kZ)Bk360(kZ)Ck360315(kZ)Dk(kZ)CA，B中弧度与角度混用，不正确2，所以与终边相同31536045，所以315也与45终边相同故选C.4用弧度写出终边落在如图阴影部分(不包括边界)内的角的集合解30，150
7、.终边落在题干图中阴影区域内角的集合(不包括边界)是.弧长公式与扇形面积公式的应用探究问题1用公式|求圆心角时，应注意什么问题？提示：应注意结果是圆心角的绝对值，具体应用时既要注意其大小，又要注意其正负2在使用弧度制下的弧长公式及面积公式时，若已知的角是以“度”为单位，需注意什么问题？提示：若已知的角是以“度”为单位，则必须先把它化成弧度后再计算，否则结果易出错【例3】(1)如图，以正方形ABCD中的点A为圆心，边长AB为半径作扇形EAB，若图中两块阴影部分的面积相等，则EAD的弧度数大小为_；(2)已知扇形OAB的周长是60 cm，面积是20 cm2，求扇形OAB的圆心角的弧度数思路点拨：(
8、1)先根据两块阴影部分的面积相等列方程，再解方程求EAD的弧度数(2)先根据题意，列关于弧长和半径的方程组，再解方程组求弧长和半径，最后用弧度数公式求圆心角的弧度数(1)2设AB1，EAD，S扇形ADES阴影BCD，由题意可得1212，解得2.(2)解设扇形的弧长为l，半径为r，则或扇形的圆心角的弧度数为433或433.1(变条件)将本例(2)中的条件“60”改为“10”，“20”改为“4”，其他条件不变，求扇形圆心角的弧度数解设扇形圆心角的弧度数为(02)，弧长为l，半径为r，依题意有由得l102r，代入得r25r40，解得r11，r24.当r1时，l8(cm)，此时，8 rad2 rad(
9、舍去)当r4时，l2(cm)，此时， rad.2(变结论)将本例(2)中的条件“面积是20 cm2”删掉，求扇形OAB的最大面积及此时弧长AB.解设弧长为l，半径为r，由已知l2r60，所以l602r，|，从而S|r2r2r230r(r15)2225，当r15时，S取最大值为225，这时圆心角2，可得弧长ABr21530.1弧度制下解决扇形相关问题的步骤：(1)明确弧长公式和扇形的面积公式：l|r，S|r2和Slr.(这里必须是弧度制下的角)(2)分析题目的已知量和待求量，灵活选择公式(3)根据条件列方程(组)或建立目标函数求解提醒：看清角的度量制，恰当选用公式2通过弧度制的引入，使弧长公式及
10、扇形面积公式均有了弧度制的新形式，体现了核心素养下两种公式的比较及弧度的渗透角度制下l，S弧度制下l|r，S|r2lr1角的概念推广后，在弧度制下，角的集合与实数集R之间建立起一一对应的关系：每一个角都有唯一的一个实数(即这个角的弧度数)与它对应；反过来，每一个实数也都有唯一的一个角(即弧度数等于这个实数的角)与它对应2弧度制下涉及扇形问题的解题策略(1)明确弧度制下扇形的面积公式是Slr|r2(其中l是扇形的弧长，r是扇形的半径，(02)是扇形的圆心角)(2)涉及扇形的周长、弧长、圆心角、面积等的计算，关键是先分析题目已知哪些量求哪些量，然后灵活运用弧长公式、扇形面积公式直接求解或列方程(组)求解注意：运用弧度制下的弧长公式及扇形面积公式的前提是为弧度.1下列说法正确的是()A1弧度就是1度的圆心角所对的弧B1弧度是长度为半径的弧C1弧度是1度的弧与1度的角之和D1弧度是长度等于半径长的弧所对的圆心角的大小D利用弧度的概念判断，易知D正确2下列转化结果错误的是()A60化成弧度是B化成度是600C150化成弧度是D化成度是15C对于A，6060；对于B，180600；对于C，150150；对于D，18015.故选C.3若把570写成2k(kZ，02)的形式，则_5704.4求半径为 cm，圆心角为120的扇形的弧长及面积解因为r，120，所以lr cm，Slr cm2.