1、2.2基本不等式【素养目标】1了解基本不等式的代数和几何背景(数学抽象)2理解并掌握基本不等式及其变形(逻辑推理)3会用基本不等式解决简单的最大(小)值问题(数学运算)4会用基本不等式进行代数式大小的比较及证明不等式(逻辑推理)5会用基本不等式求最值问题和解决简单的实际问题(数学运算)【学法解读】1本节学习时，学生先复习完全平方公式(ab)2a22abb2，由(ab)20可得a22abb20，即a2b22ab然后以，分别代替a，b推得基本不等式，从代数观点认识基本不等式2借助教材“探究”中的问题，使学生从几何角度认识基本不等式3重点掌握应用基本不等式求最值的前提条件，通过具体实例强化公式的应用
2、技巧第1课时基本不等式必备知识探新知基础知识知识点1 重要不等式与基本不等式思考1：(1)基本不等式中的a，b只能是具体的某个数吗？(2)基本不等式成立的条件“a，b0”能省略吗？请举例说明提示：(1)a，b既可以是具体的某个数，也可以是代数式(2)不能，如是不成立的知识点2 基本不等式与最值已知x，y都为正数，则(1)若xys(和为定值)，则当xy时，积xy取得最大值_(2)若xyp(积为定值)，则当xy时，和xy取得最小值_2_思考2：应用基本不等式求最值的关键是什么？提示：依定值去探求最值，探求的过程中常需依具体的问题进行合理的拆、凑、配等变换基础自测1判断正误(对的打“”，错的打“”)
3、(1)两个不等式a2b22ab与成立的条件是相同的()(2)当a0，b0时，ab2()(3)当a0，b0时，ab()2()(4)函数yx的最小值是2()解析(1)不等式a2b22ab成立的条件是a，bR；不等式成立的条件是a0，b0(2)基本不等式的变形公式(3)基本不等式的变形公式(4)当x0时，x是负数2下列不等式正确的是(C)Aa2B(a)()2Ca22 D(a)2()223不等式a212a中等号成立的条件是_a1_4已知x0，求x的最小值解析因为x0，所以x22，当且仅当x，即x21，x1时，等号成立，因此所求的最小值为2关键能力攻重难题型探究题型一利用基本不等式判断命题真假例1(1)
4、下列不等式一定成立的是(C)A(x0)Bx2(x0)Cx212|x|(xR) D1(xR)(2)设0ab，则下列不等式中正确的是(B)Aab BabCab Dab解析(1)选项A中，x2x(当且仅当x时，x2x)，故选项A不正确；选项B中，x2(x0)，x2(x0)，故选项B不正确；选项C中，x22|x|1(|x|1)20(xR)，故选项C正确；选项D中，x211，则01，故选项D不正确(2)解法一：0ab，ab，排除A，C两项，又a()0，即a，排除D项，故选B解法二：取a2，b8，则4，5，所以ab【对点练习】 若a，bR，且ab0，则下列不等式中，恒成立的是(D)Aa2b22ab Bab
5、2C D2解析对于A，若ab时，a2b22ab，则A中的不等式不恒成立当a0，b0时，选项B，C不成立，故选D题型二利用基本不等式求最值例2(1)当x0时，求4x的最小值；(2)当x0时，求4x的最大值；(3)已知4x(x0，a0)在x3时取得最小值，求a的值解析(1)x0，0,4x04x28当且仅当4x，即x时取最小值8，当x0时，4x的最小值为8(2)x0，x0则(4x)28，当且仅当4x时，即x时取等号4x8当x0时，4x的最大值为8(3)4x24，当且仅当4x，即a4x236时取等号，a36归纳提升在利用基本不等式求最值时要注意三点一是各项均为正；二是寻求定值，求和式最小值时应使积为定
6、值，求积式最大值时应使和为定值(恰当变形，合理拆分项或配凑因式是常用的解题技巧)；三是考虑等号成立的条件是否具备【对点练习】 (1)若0x1，则的取值范围是_(0，_；(2)已知a0，b0，4，则ab的最小值为_1_解析(1)由0x1知32x0，故，当且仅当x时，上式等号成立所以0(2)由4，得1所以ab()(ab)21当且仅当ab时取等号题型三利用基本不等式证明不等式例3已知a，b，c0，求证：abc解析a，b，c0，利用基本不等式可得b2a，c2b，a2c，abc2a2b2c，故abc，当且仅当abc时，等号成立归纳提升利用基本不等式证明不等式的思路利用基本不等式证明不等式时，要先观察题中
7、要证明的不等式的结构特征，若不能直接使用基本不等式证明，则考虑对代数式进行拆项、变形、配凑等，使之转化为能使用基本不等式的形式；若题目中还有已知条件，则先观察已知条件和所证不等式之间的联系，当已知条件中含有“1”时，要注意“1”的代换，另外，解题时要时刻注意等号能否取到【对点练习】 已知a，b，c为正数，且abc1，证明：9解析3()()()32229当且仅当abc时，等号成立课堂检测固双基1下列不等式成立的是(A)AabBabCab2 Dab2解析a2b22ab(ab)20，所以a2b22ab，即ab2设ab0，则下列不等式中一定成立的是(C)Aab0 B01C Dabab解析由基本不等式知，ab0，故选C3对于任意正数a，b，A是a，b的算术平均数，G是a，b的几何平均数，则A与G的大小关系是_AG_4已知x0，y0，且xy100，则xy的最小值为_20_解析xy2220(当且仅当xy10时取等号)5已知a，bR，求证：ab()2证明()2abab0，()2ab，即ab()2