1、温馨提示： 此题库为Word版，请按住Ctrl,滑动鼠标滚轴，调节合适的观看比例，关闭Word文档返回原板块。 考点10 导数在研究函数中的应用与生活中的优化问题举例一、选择题1. （2014 湖南高考文科9）若，则（ ）A.B.C. D.【解题提示】构造新函数，利用函数的单调性求解。【解析】选C .选项具体分析结论A构造函数，根据的图象可知在（0,1）上不单调错误B同上错误C构造新函数，所以在（0,1）上是减函数，所以正确D同上错误2.（2014辽宁高考文科12）与（2014辽宁高考理科11）相同当时，不等式恒成立，则实数的取值范围是【解题提示】 采用分离常数法，利用导数求函数的最值，【解析
2、】选.当时，不等式恒成立令，则设 ，在上为增函数，所以，则上为增函数，的最大值；从而；当时，；当时，不等式恒成立，所以上为减函数，在上为增函数，故，则综上所述，3.(2014陕西高考文科T10)如图,修建一条公路需要一段环湖弯曲路段与两条直道平滑连接 (相切),已知环湖弯曲路段为某三次函数图像的一部分,则该函数的解析式为()A.y=错误！未找到引用源。x3-错误！未找到引用源。x2-x B.y=错误！未找到引用源。x3+错误！未找到引用源。x2-3xC.y=错误！未找到引用源。x3-x D.y=错误！未找到引用源。x3+错误！未找到引用源。x2-2x【解题指南】根据已知图像可以得到函数图像在与
3、x轴交点处的导数,再利用导数及函数的零点列出三元一次方程组,解之即得所求.【解析】选A.由已知可得此函数为三次函数且过原点,故可设函数解析式为y=f(x)=ax3+bx2+cx,所以f(x)=3ax2+2bx+c,由题意知f(0)=-1,f(2)=3,f(2)=0,即c=-1,12a+4b+c=3,8a+4b+2c=0,解之得a=,b=-,c=-1.所以y=x3-x2-x.4.(2014陕西高考理科T10)如图,某飞行器在4千米高空水平飞行,从距着陆点A的水平距离10千米处下降,已知下降飞行轨迹为某三次函数图象的一部分,则函数的解析式为()A.y=错误！未找到引用源。x3-错误！未找到引用源。
4、xB.y=错误！未找到引用源。x3-错误！未找到引用源。xC.y=错误！未找到引用源。x3-xD.y=-错误！未找到引用源。x3+错误！未找到引用源。x【解题指南】根据函数的图象可以得到函数的极值点,再利用导数求得解析式的极值点,二者能够统一的即为所求.【解析】选A.由函数图象可得函数的极值点为5,对四个选项中函数解析式进行求导,只有选项A的函数解析式求导得y=3x2-,令y=0得x=5,所以只有选项A的解析式与图象相统一,故选A.5. (2014新课标全国卷高考文科数学T11)若函数f(x)=kx-lnx在区间(1,+)单调递增,则k的取值范围是() A. B. C. D. 【解题提示】利用
5、函数f(x)在区间(1,+)上单调递增,可得其导函数f(x)0恒成立,分离参数,求得k的取值范围.【解析】选D.因为f(x)在(1,+)上递增,所以f(x)0恒成立,因为f(x)=kx-lnx,所以f(x)=k-0.即k1.所以k2=3,|x0|,所以+2,所以+32.故选C.8.（2014四川高考理科9）已知，现有下列命题：；.其中的所有正确命题的序号是（ ）A. B. C. D. 【解题提示】可直接验证都正确，对于，可以利用奇偶性和导数确定其单调性来加以判断【解析】选A. 对于：，故正确；对于： ，故正确；对于：当时，令（），因为，所以在单增，即，又与为奇函数，所以成立，故正确.【误区警示
6、】本题容易错误理解为中的，与中的不对应，导致错选C二、解答题9. (2014湖北高考文科T13)(本小题满分14分)为圆周率,e=2.71828为自然对数的底数.(1)求函数f(x)=错误！未找到引用源。的单调区间.(2)求e3,3e,e,e,3,3这6个数中的最大数与最小数.【解题指南】(1)先求函数定义域,然后在定义域内解不等式即可得到单调增、减区间.(2)由e3,得eln3eln,lneln3,即ln3elne,lneln3.再根据函数y=lnx,y=ex,y=x在定义域上单调递增,可得3ee3,e3e3,从而六个数的最大数在3与3之中,最小数在3e与e3之中.由e3及(1)的结论,得f
7、()f(3)f(e),即0,即0xe时,函数f(x)单调递增.当f(x)e时,函数f(x)单调递减.故函数f(x)的单调递增区间为(0,e),单调递减区间为(e,+).(2)因为e3,所以eln3eln,lneln3,即ln3elne,lneln3.于是根据函数y=lnx,y=ex,y=x在定义域上单调递增,可得3ee3,e3e3.故这6个数的最大数在3与3之中,最小数在3e与e3之中.由e3及(1)的结论,得f()f(3)f(e),即.由,得ln33;由,得ln3elne3,所以3ee3.综上,6个数中的最大数是3,最小数是3e.10. （2014湖北高考理科22）为圆周率，为自然对数的底数
8、.（1） 求函数的单调间；（2） 求这6个数中的最大数与最小数；（3） 将这6个数按从小到大的顺序排列，并证明你的结论.【解题指南】（）先求函数定义域，然后在定义域内解不等式,即可得到单调增、减区间；（）由e3，得eln3eln，lneln3，即ln3elne，lneln3再根据函数y=lnx，y=ex，y=x在定义域上单调递增，可得3ee3，e3e3，从而六个数的最大数在3与3之中，最小数在3e与e3之中由e3及（）的结论，得f（）f（3）f（e），即，由此进而得到结论；（）由（）可知，3ee33，3ee3，又由（）知，得，故只需比较e3与e和e与3的大小由（）可得0xe时，令，有，从而，即
9、得，由还可得lnelne3，3ln，由此易得结论； 【解析】（1）函数的定义域为，因为，所以。当，即时，函数单调递增；当，即时，函数单调递减；故函数的单调增区间为，单调减区间为。（2）因为，所以，即。于是根据函数在定义域上单调递增，可得，。故这6个数的最大数在与之中，最小数在与之中由及（1）的结论，得，即。由，得，所以；由，得，所以。综上，6个数中的最大数是，最小数是。（3）由（2）知，.又由（2）知，得。故只需比较与和的大小。由（1）知，当时，即。在上式中，令，又，则，从而即得 。 由得，即，亦即，所以。又由得，即，所以综上可得，即6个数从小到大的顺序为。11. （2014湖南高考文科21）
10、（本小题满分13分）已知函数.（1） 求的单调区间；（2）记为的从小到大的第个零点，证明：对一切，有【解题提示】（1）利用导数的符号判断单调性，（2）利用放缩法证明。【解析】（1）令得当时，此时当时，此时故的单调递减区间为，单调递增区间为。（2） 由（1）知，在区间上单调递减，又，故当时，因为且函数的图象是连续不断的，所以在区间内至少存在一个零点，又在区间上是单调的，故因此当时，当时，当时，综上所述，对一切，.12. （2014湖南高考理科22）已知常数,函数.(1)讨论在区间上的单调性;(2)若存在两个极值点,且,求的取值范围.【解题提示】(1)先求导数，利用导数的符号判断增减性，表达式中有
11、参数a，需要分类讨论；（2）注意到定义域，限制a的取值范围，有极值点时其导数有两个变号零点。【解析】(1)对函数求导可得,因为,所以当时,即时,恒成立,则函数在单调递增,当时, ，所以当时，当时，所以函数在区间单调递减,在单调递增. (2) 因为,所以当时，不存在极值点，所以要使得有两个极值点，必有。又的两个极值点只可能是，且由的定义域可知，所以，解得。此时分别是的极小值点，和极大值点。令，且当时，；当时，；记当时，所以在时，是减函数，故当时，不合题意。当时，所以在时，是减函数，故当时，综上所述，满足条件的的取值范围为。13.(2014广东高考文科T21)(14分)已知函数f(x)=错误！未找
12、到引用源。x3+x2+ax+1(aR).(1)求函数f(x)的单调区间.(2)当a0时,试讨论是否存在x0使得f(x0)=f.【解题提示】(1)求导后对a进行分类讨论.(2)要根据a的取值对x0的存在性进行讨论.【解析】(1)因为f(x)=x2+2x+a,二次方程x2+2x+a=0的判别式=4-4a.当a1时,0,f(x)0,此时(-,+)是函数f(x)的单调递增区间;当a0,f(x)=0有两个实数根x=-1+和x=-1-,此时(-,-1-),(-1+,+)是函数f(x)的单调递增区间,(-1-,-1+)是函数f(x)的单调递减区间.综上,当a1时,函数f(x)只有单调递增区间(-,+);当a
13、1时,函数f(x)的单调递增区间是(-,-1-),(-1+,+),单调递减区间是(-1-,-1+).(2)f=+,f(x0)-f=+ax0+1-,整理得f(x0)-f=(4+14x0+7+12a),若存在x0使得f(x0)=f,则二次方程4+14x0+7+12a=0在区间上有解,因为a0,x0=(x0=舍去),且01,解得711,平方整理得-a-.令=,解得a=-.当a(-,-)时,存在x0使得f(x0)=f;若a=-或a时,不存在x0使得f(x0)=f.14.(2014广东高考理科)(14分)设函数f(x)=,其中k-2.(1)求函数f(x)的定义域D(用区间表示).(2)讨论函数f(x)在
14、D上的单调性.(3)若kf(1)的x的集合(用区间表示).【解题提示】(1)设t=x2+2x+k,解不等式t2+2t-30后再解关于x的不等式.(2)设t=x2+2x+k,u=t2+2t-3,f(x)=,通过复合讨论函数f(x)的单调性.(3)将f(x)f(1)作等价转化,再构造二次函数,运用图象求x的范围.【解析】(1)因为k0得t1,由t-3得x2+2x+k+30,解得-1-x1得x2+2x+k-10,解得x-1+,f(x)的定义域D=(-,-1-)(-1-,-1+)(-1+,+).(2)由(1)知-1-3,-1-1,-1+1,令t=x2+2x+k,u=t2+2t-3,f(x)=.当x0)
15、单调递增,f(x)=单调递减,这时f (x)为增函数(“同增异减”是研究复合函数单调性的有效方法);当-1-x-1+时,t单调递增,同理得f(x)为减函数;所以f(x)在(-,-1-),(-1-,-1)上为增函数;在(-1,-1+),(-1+,+)上为减函数(数形结合,明确单调区间).(3)因为kf(1),有(x2+2x+k)2+2(x2+2x+k)-3(3+k)2+2(3+k)-3,设m=x2+2x,则(m+k)2+2(m+k)5,设x=3关于x=-k-1的对称点为x,则=-k-1x=-2k-5,由g(x)的图象知满足(*)的m的范围为3m-2k-5,即3x2+2x-2k-5,(数形结合,降
16、低运算量)所以解得又-1-1-,-1-1,-1+0时21.（2014山东高考文科20）设函数，其中为常数.（）若，求曲线在点处的切线方程；（）讨论函数的单调性.【解题指南】(1)先利用导数公式求函数的导数,根据曲线在点的切线求出切点.(2)本题可对a行分类讨论.【解析】(1)(2) 22.(2014陕西高考文科T21)(本小题满分14分)设函数f(x)=lnx+,mR.(1)当m=e(e为自然对数的底数)时,求f(x)的极小值.(2)讨论函数g(x)=f(x)-零点的个数.(3)若对任意ba0,1恒成立,求m的取值范围.【解题指南】(1)利用导数确定函数单调性,再由单调性求函数的极值.(2)首
17、先变形将函数零点个数转化为直线与曲线的交点个数,然后求导确定函数最值,数形结合分类讨论确定零点的个数.(3)先用构造函数法将恒成立转化,再通过分离参数后求函数最值确定m的取值范围.【解析】(1)由题设,当m=e时,f(x)=lnx+,则f(x)=,所以当x(0,e),f(x)0,f(x)在(e,+)上单调递增,所以x=e时,f(x)取得最小值f(e)=lne+=2,所以f(x)的极小值为2.(2)由题设g(x)=f(x)-=-(x0),令g(x)=0,得m=-+x(x0).设(x)=-x3+x(x0),则(x)=-x2+1=-(x-1)(x+1),当x(0,1)时,(x)0,(x)在(0,1)
18、上单调递增;当x(1,+)时,(x)时,函数g(x)无零点;当m=时,函数g(x)有且只有一个零点;当0m时,函数g(x)无零点;当m=或m0时,函数g(x)有且只有一个零点;当0ma0,1恒成立,等价于f(b)-b0),所以(*)等价于h(x)在(0,+)上单调递减.由h(x)=-10在(0,+)恒成立,得m-x2+x=-+(x0)恒成立,所以m,所以m的取值范围.23.(2014陕西高考理科T21)(本小题满分14分)设函数f(x)=ln(1+x),g(x)=xf(x),x0,其中f(x)是f(x)的导函数.(1)令g1(x)=g(x),gn+1(x)=g(gn(x),nN+,求gn(x)
19、的表达式.(2)若f(x)ag(x)恒成立,求实数a的取值范围.(3)设nN+,比较g(1)+g(2)+g(n)与n-f(n)的大小,并加以证明.【解题指南】(1)根据已知求得g1(x),g2(x),g3(x),猜想gn(x)的表达式并用数学归纳法证明.(2)利用已知变形确立新函数,对新函数求导后,对参数分类确定函数单调性解决恒成立问题,从而求得实数a的取值范围.(3)利用特值法确定g(1)+g(2)+g(n)与n-f(n)的大小,用数学归纳法证明.【解析】由题设得,g(x)=(x0).(1)由已知,g1(x)=,g2(x)=g(g1(x)=,g3(x)=,可得gn(x)=.下面用数学归纳法证
20、明:当n=1时,g1(x)=,结论成立.假设n=k时结论成立,即gk(x)=.那么,当n=k+1时,gk+1(x)=g(gk(x)=,即结论成立.由可知,结论对nN+成立.(2)已知f(x)ag(x)恒成立,即ln(1+x)恒成立.设(x)=ln(1+x)-(x0),则(x)=-=,当a1时,(x)0)(当且仅当x=0,a=1时等号成立),所以(x)在有(x)0,所以(x)在(0,a-1上单调递减,所以(a-1)1时,存在x0,使(x)n-ln(n+1).证明如下:上述不等式等价于+,x0.令x=,nN+,则ln.下面用数学归纳法证明:当n=1时,ln2,结论成立.假设n=k时结论成立,即+l
21、n(k+1).那么,当n=k+1时,+ln(k+1)+0).令f(x)=0,解得x=0或x=.当x变化时,f(x),f(x)的变化情况如下表:x(-,0)0f(x)-0+0-f(x)0所以f(x)的单调递增区间是;单调递减区间是(-,0), .当x=0时,f(x)有极小值,且极小值f(0)=0;当x=时,f(x)有极大值,且极大值=.(2)由f(0)=0及(1)知,当x时,f(x)0;当x时,f(x)2,即0a时,由=0可知,0A,而0B.所以A不是B的子集.当12,即a时,有f(2)0,且此时f(x)在(2,+)上单调递减,故A=(-,f(2),因而A(-,0);由f(1)0,有f(x)在(
22、1,+)上的取值范围包含(-,0),则(-,0)B,所以,AB.当时,有f(1)0,所以。当时，由（1）知，f(x)在上单调递增，所以f(x)在x=0和x=1处分别取得最小值和最大值。当0a4时，由（1）知，f(x)在上单调递增，在上单调递减。所以f(x)在处取得最大值。又f(0)=1,f(1)=a,所以当0a1时，f(x)在x=1处取得最小值；当a=1时，f(x)在x=0和x=1处同时取得最小值；当1a4时，f(x)在x=0处取得最小值.27. (2014新课标全国卷高考文科数学T21)(本小题满分12分)已知函数f(x)=x3-3x2+ax+2,曲线y=f(x)在点(0,2)处的切线与x轴
23、交点的横坐标为-2.(1)求a.(2)证明:当k1时,曲线y=f(x)与直线y=kx-2只有一个交点.【解题提示】(1)利用切线的性质结合已知条件求得a.(2)由f(x)=kx-2,化为“k= g(x)”型,通过研究函数g(x)的性质,画出g(x)的草图,完成证明.【解析】(1)因为f(x)=x3-3x2+ax+2,所以f(x)=3x2-6x+a,f(0)=a,设切点A(0,2),切线与x轴交点为B(-2,0),则kAB=f(0),即=a,所以,a=1.(2)当k1时,令f(x)-kx+2=x3-3x2+x-kx+4=0.则x2-3x+1+=k,x0,令g(x)=x2-3x+1+.则g(x)=
24、2x-3-=.令h(x)=2x3-3x2-4,则h(x)=6x2-6x=6x(x-1),所以当x(0,1)时,h(x)0,h(x)递增;且h(0)0,h(2)=0.所以当x2时,h(x)0,g(x)2时,h(x)0,g(x)0,g(x)在(0,+)上递增;所以当x(0,2)(0,+)时,g(x)g(2)=1,当x(-,0)时,单调递减,且g(x)(-,+).所以当k1时,g(x)=k仅有一个根,图像如图所示,所以,当k0时,g(x)0,求b的最大值.(3)已知1.41421.4143,估计ln2的近似值(精确到0.001).【解题提示】(1)求f(x),结合f(x)的符号判断单调性.(2)构造
25、函数,分离出b,求得b的最大值.(3)利用第(2)问的结论,估计ln2的近似值.【解析】 -20，等号仅当x=0时成立.所以f(x)在（-,+）单调递增.(2) +（8b-4）x,g(x)=2+(4b-2)= 当b2时，g(x)0，等号仅当x=0时成立，所以g(x)在(-,+)单调递增.而g(0)=0，所以对任意x0，g(x)0.当b2时，若x满足22b-2,即0xln(b-1+)时，g(x)0.而g(0)=0，因此当0xln(b-1+ )时，g(x)0.综上，b的最大值为2.（3）由（2）知，g(ln )-2b+2(2b-1)ln 2，当b=2时，g(ln )= -4 +6ln 20，ln
26、20.692 8；当b= +1时，ln(b-1+ )=ln ,g(ln )=-2+(3+2)ln 20，ln 20.693 4.所以ln 2的近似值为0.693.29.（2014四川高考理科21）已知函数，其中，为自然对数的底数（1）设是函数的导函数，求函数在区间上的最小值；（2）若，函数在区间内有零点，求的取值范围.【解题提示】本题主要考查导数的运算、导数在研究函数中的应用，函数的零点等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力、创新意识，考查函数与方程、数形结合、分类与整合、划归与转化等数学思想，并考查思维的严谨性.【解析】（1）因为 ，所以，又，因为， 所以：若，则，所以函数在区间上单增，
27、若，则，于是当时，当时，所以函数在区间上单减，在区间上单增，若，则，所以函数在区间上单减，综上所述，当时，在区间上的最小值为；当时，在区间上的最小值为；当时，在区间上的最小值为（2）由，又，若函数在区间内有零点，则函数在区间内不可能单调递增，也不可能单调递减，由（1）知当或时，函数即在区间上单调，不可能满足上述要求故只有，此时，令（），则由，所以在区间上单增，在区间上单减，即恒成立，于是，函数在区间内不可能单调递增，也不可能单调递减，又 所以，综上，的取值范围为.30.（2014四川高考文科21）已知函数，其中，为自然对数的底数（1）设是函数的导函数，求函数在区间上的最小值； （2）若，函数在
28、区间内有零点，证明：【解题提示】本题主要考查导数的运算、导数在研究函数中的应用，函数的零点等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力、创新意识，考查函数与方程、数形结合、分类与整合、划归与转化等数学思想，并考查思维的严谨性.【解析】（1）因为 ，所以，又，因为， 所以：若，则，所以函数在区间上单增，若，则，于是当时，当时，所以函数在区间上单减，在区间上单增，若，则，所以函数在区间上单减，综上所述，当时，在区间上的最小值为；当时，在区间上的最小值为；当时，在区间上的最小值为（2）由，又，若函数在区间内有零点，则函数在区间内不可能单调递增，也不可能单调递减，由（1）知当或时，函数即在区间上单调，不
29、可能满足上述要求故只有，此时，令（），则由，所以在区间上单增，在区间上单减，即恒成立，于是，函数在区间内不可能单调递增，也不可能单调递减，又， 所以.31. （2014重庆高考文科19）已知函数 其中 且曲线 在点 处的切线垂直于直线 (1)求的值; (2) 求函数的单调区间与极值. 【解题提示】 (1)直接根据切线斜率即可求出 的值.(2)直接求导即可求出函数的单调区间与极值.【解析】（1）对求导得由 在点 处的切线垂直于直线知解得 （2）由（1）可知则令解得 或 因不在 的定义域 内，舍去.当 时, 故在内为减函数;当 时, 故在内为增函数.由此知函数在 时取得极小值关闭Word文档返回原板块