1、9.3向量基本定理及坐标表示9.3.1平面向量基本定理学 习 目 标核 心 素 养1.理解平面向量基本定理的内容，了解向量的一组基底的含义(重点)2.在平面内，当一组基底选定后，会用这组基底来表示其他向量(重点)3.会应用平面向量基本定理解决有关平面向量的综合问题(难点)通过平面向量基本定理的推导与应用，培养逻辑推理与数学运算素养.火箭在升空的某一时刻，速度可以分解成竖直向上和水平向前的两个分速度，在力的分解的平行四边形法则中，我们看到一个力可以分解为两个不共线方向的力的和问题：平面内任一向量是否可以用两个不共线的向量来表示呢？1平面向量基本定理(1)定理：如果e1，e2是同一平面内两个不共线
2、的向量，那么对于这一平面内的任一向量a，有且只有一对实数1，2，使a1e12e2.(2)基底：两个不共线的向量e1，e2叫作这个平面的一组基底思考1：如果e1，e2是两个不共线的确定向量，那么与e1，e2在同一平面内的任一向量a能否用e1，e2表示？依据是什么？提示：能依据是数乘向量和平行四边形法则思考2：如果e1，e2是共线向量，那么向量a能否用e1，e2表示？为什么？提示：不一定，当a与e1共线时可以表示，否则不能表示2平面向量的正交分解由平面向量基本定理知，平面内任一向量a可以用一组基底e1，e2表示成a1e12e2的形式我们称1e12e2为向量a的分解当e1，e2所在直线互相垂直时，这
3、种分解也称为向量a的正交分解思考3：一个放在斜面上的物体所受的竖直向下的重力G，可分解为使物体沿斜面下滑的力F1和使物体垂直作用于斜面的力F2.类比力的分解，平面内任一向量能否用互相垂直的两向量表示？提示：能，互相垂直的两向量可以作为一组基底1思考辨析(正确的画“”，错误的画“”)(1)同一平面内只有不共线的两个向量可以作为基底()(2)0能与另外一个向量a构成基底()(3)平面向量的基底不是唯一的()解析平面内任意一对不共线的向量都可以作为基底，故(2)是错误的(1)，(3)正确答案(1)(2)(3)2已知向量a与b是一组基底，实数x，y满足(3x4y)a(2x3y)b6a3b，则xy_.3
4、由原式可得解得所以xy3.3(一题两空)如图，在ABC中，P为BC边上一点，且.(1)用，为基底表示_；(2)用，为基底表示_.(1)(2)(1)，.(2).对向量基底的理解【例1】如果e1，e2是平面内所有向量的一组基底，则下列说法正确的是()A若实数1，2，使1e12e20，则120B空间任一向量a可以表示为a1e12e2，这里1，2为实数C对实数1，2，1e12e2不一定在该平面内D对平面内任一向量a，使a1e12e2的实数1，2有无数对思路点拨根据有关概念及定理，逐一分析A平面内任一向量都可写成e1与e2的线性组合形式，而不是空间内任一向量，故B不正确；对任意实数1，2，向量1e12e
5、2一定在平面内，故C不正确；而对平面内的任一向量a，实数1，2是唯一的，故D不正确考查两个向量是否能构成基底，主要看两向量是否非零且不共线此外，一个平面的基底一旦确定，那么平面上任意一个向量都可以由这个基底唯一线性表示出来跟进训练1若向量a，b不共线，且c2ab，d3a2b，试判断c，d能否作为基底解设存在实数使得cd，则2ab(3a2b)，即(23)a(21)b0.由于a，b不共线，从而23210，这样的是不存在的，从而c，d不共线，故c，d能作为基底.用基底表示向量【例2】如图所示，在ABC中，点M是AB的中点，且，BN与CM相交于点E，设a，b，试用基底a，b表示向量.思路点拨本题可过N
6、作AB的平行线，交CM于D，利用平行线的性质结合向量的线性表示求解，也可利用三点共线的条件结合平面向量定理的唯一性求解解法一：由已知，在ABC中，且，已知BN与CM交于点E，过N作AB的平行线，交CM于D，如图所示在ACM中，所以，所以，()ab.法二：易得b，a，由N，E，B三点共线知存在实数m，满足m(1m)mb(1m)a.由C，E，M三点共线知存在实数n，满足n(1n)na(1n)b.所以mb(1m)ana(1n)b.因为a，b为基底，所以解得所以ab.将两个不共线的向量作为基底表示其他向量，基本方法有两种：一种是运用向量的线性运算法则对待求向量不断进行转化，直到用基底表示为止；另一种是
7、通过列向量方程，利用基底表示向量的唯一性求解跟进训练2如图所示，已知ABCD的边BC，CD上的中点分别为K，L，且e1，e2，试用e1，e2表示，.解设a，b，则由得(2e1e2)，e2e1；e2e1.平面向量基本定理与向量共线定理的应用探究问题1平面内的任一向量都可以表示成两个不共线向量的线性组合吗？提示是的2若e1，e2不共线，且e1e20，则，满足什么关系？提示0.【例3】如图，在ABC中，点M是BC的中点，N在AC上且AN2NC，AM与BN交于点P，求APPM的值思路点拨选取基底，表示，设，由求，的值解设a，b，则(ab)，ab.A，P，M共线，设，(ab)同理设，ab.，a(ab)，
8、ab.a与b不共线，APPM41.1充分挖掘题目中的有利条件，本题中两次使用三点共线，注意方程思想的应用2用基底表示向量也是用向量解决问题的基础，应根据条件灵活应用，熟练掌握跟进训练3如图，平行四边形ABCD中，H为CD的中点，且AH与BD交于I，求AIIH的值解设a，b，则ab，ab.设，ab，又b(ab)a(1)b，故1，.AIIH21.1本节课的重点是平面向量基本定理及其应用，难点是平面向量基本定理的应用2本节课要重点掌握以下两个问题(1)正确理解基底向量的概念(2)用平面向量基本定理解决相关问题1下列关于基底的说法正确的是()平面内不共线的任意两个向量都可作为一组基底；基底中的向量可以
9、是零向量；平面内的基底一确定，该平面内的向量关于基底的线性分解形式也是唯一确定的ABCDA零向量与任意向量共线，故零向量不能作为基底中的向量，故错，正确2设一直线上三点A，B，P满足m(m1)，O是直线所在平面内一点，则用，表示为_由m，得m()，mm，.3. 在AOB中，D为OB的中点，若，则的值为_因为，所以()，因为D为OB的中点，所以，所以()()，所以，则的值为.4已知梯形ABCD中，ABDC，且AB2CD，E，F分别是DC，AB的中点，设a，b，试以a，b为基底表示，.解如图所示，连接FD，DCAB，AB2CD，E，F分别是DC，AB的中点，DCFB，四边形DCBF为平行四边形b；ab；bba.