1、高考资源网（） 您身边的高考专家2012届高考（理科）数学一轮复习课时作业：3.7 解三角形一、选择题1ABC的三边分别为a，b，c且满足b2ac,2bac，则此三角形是()A等腰三角形B直角三角形C等腰直角三角形 D等边三角形解析：2bac，4b2(ac)2，又b2ac，(ac)20.ac.2bac2a.ba，即abc.答案：D2ABC中，AB，AC1，B30，则ABC的面积等于()A. B.C.或 D.或解析：，sinC.0C180，C60或120.(1)当C60时，A90，BC2，此时，SABC；(2)当C120时，A30，SABC1sin30. 答案：D3在ABC中，角A、B、C所对的
2、边分别是a，b，c，若b2c2bca2，且，则角C的值为()A45 B60C90 D120解析：由b2c2bca2，得b2c2a2bc，cosA，A60.又，sinBsinA，B30，C180AB90.答案：C4如图，四边形ABCD中，BC120，AB4，BCCD2，则该四边形的面积等于()A.B5C6D7解析：连接BD，在BCD中，BCCD2，BCD120，CBD30，BD2，SBCD22sin120.在ABD中，ABD1203090，AB4，BD2，SABDABBD424，四边形ABCD的面积是5.答案：B5ABC中，若cos(2BC)2sinAsinB0，则ABC中一定是()A锐角三角形
3、 B钝角三角形C直角三角形 D等腰三角形解析：cos(2BC)cos(BA)cos(BA)cosAcosBsinAsinB，cos(2BC)2sinAsinBcosAcosBsinAsinB0，即cos(AB)0.AB.答案：C6如图，设A、B两点在河的两岸，一测量者在A的同侧，在所在的河岸边选定一点C，测出AC的距离为50m，ACB45，CAB105后，就可以计算出A、B两点的距离为()A50m B50mC25m D.m解析：由正弦定理得，AB50(m)答案：A二、填空题7在锐角ABC中，a，b，c分别为角A，B，C所对的边，且a2csinA，角C_.解析：根据正弦定理，由a2csinA，得
4、，sinC，而角C是锐角C.答案：8甲船在A处观察乙船，乙船在它的北偏东60的方向，两船相距a海里，乙船正向北行驶，若甲船是乙船速度的倍，则甲船应取方向_才能追上乙船；追上时甲船行驶了_海里解析：如图所示，设到C点甲船追上乙船，乙到C地用的时间为t，乙船速度为v，则BCtv，ACtv，B120，由正弦定理知，sinCAB，CAB30，ACB30，BCABa，AC2AB2BC22ABBCcos120a2a22a23a2，ACa.答案：北偏东30 a9(2011年辽宁省东北育才学校高三一模)定义：adbc.已知a、b、c为ABC的三个内角A、B、C的对边，若0，且ab10，则c的最小值为_ .解析
5、：按定义，(2cosC1)cosC2(cosC1)0,2cos2C3cosC20，cosC，cosC2(舍)，则c2a2b22ab cosCa2b2ab(ab)2ab100ab100()275当且仅当ab5时，c的最小值为5.答案：5三、解答题102011江苏卷 在ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c.(1)若sin2cosA, 求A的值；(2)若cosA，b3c，求sinC的值解： (1)由题设知sinAcoscosAsin2cosA.从而sinAcosA，所以cosA0，tanA，因为0A，所以A.(2)由cosA，b3c及a2b2c22bccosA，得a2b2c2.故ABC是直角
6、三角形，且B，所以sinCcosA. 11(2011年云南省昆明一中高三年级第一次诊断性评价试题)在ABC中，a，b，c分别为角A，B，C的对边，设f(x)a2x2(a2b2)x4c2.(1)若f(1)0，且BC，求角C；(2)若f(2)0，求角C的取值范围解：(1)由f(1)0，得a2a2b24c20，b2c又由正弦定理，得b2RsinB，c2RsinC，将其代入上式，得sinB2sinCBC，BC，将其代入上式，得sin(C)2sinCsincosCcossinC2sinC，整理得，sinCcosCtanC角C是三角形的内角，C(2)f(2)0，4a22a22b24c20，即a2b22c2
7、0由余弦定理，得cosCcosC(当且仅当ab时取等号)cosC，C是锐角，又余弦函数在(0，)上递减，0C12(2010年福建高考)某港口O要将一件重要物品用小艇送到一艘正在航行的轮船上，在小艇出发时，轮船位于港口O北偏西30且与该港口相距20海里的A处，并正以30海里/小时的航行速度沿正东方向匀速行驶假设该小艇沿直线方向以v海里/小时的航行速度匀速行驶，经过t小时与轮船相遇(1)若希望相遇时小艇的航行距离最小，则小艇航行速度的大小应为多少？(2)假设小艇的最高航行速度只能达到30海里/小时，试设计航行方案(即确定航行方向和航行速度的大小)，使得小艇能以最短时间与轮船相遇，并说明理由解：解法
8、一：(1)设相遇时小艇航行的距离为S海里，则S.故当t时，Smin10，此时v30，即小艇以30海里/小时的速度航行，相遇时小艇的航行距离最小 (2)设小艇与轮船在B处相遇，则v2t2400900t222030tcos(9030)，故v2900.0AC，且对于线段AC上任意点P，有OPOCAC.而小艇的最高航行速度只能达到30海里/小时，故小艇与轮船不可能在A，C之间(包含C)的任意位置相遇设COD(090)，则在RtCOD中，CD10tan，OD.由于从出发到相遇，轮船与小艇所需要的时间分别为t和t，所以.由此可得，v.又v30，故sin(30).从而，3090.由于30时，tan取得最小值
9、，且最小值为.于是，当30时，t取得最小值，且最小值为.解法三：(1)同解法一或解法二(2)设小艇与轮船在B处相遇，依据题意得：v2t2400900t222030tcos(9030)，(v2900)t2600t4000.若0v30，则由3600001600(v2900)1600(v2675)0.得v15.从而，t，v15，30)当t时，令x，则x0,15)，t，当且仅当x0，即v15时等号成立当t时，同理可得.若v30，则t；综合可知，当v30时，t取最小值，且最小值等于.此时，在OAB中，OAOBAB20，故可设计航行方案如下：航行方向为北偏东30，航行速度为30海里/小时，小艇能以最短时间与轮船相遇- 9 - 版权所有高考资源网