1、2.2.1综合法与分析法自主预习探新知情景引入夏天，在日本东京的新宿区的一幢公寓内，发生了一宗凶杀案，时间是下午4时左右警方经过三天的深入调查后，终于拘捕到一个与案件有关的疑犯，但是他向警方做不在现场证明时，说：“警察先生，事发当天，我一个人在箱根游玩直至下午4时左右，我到芦之湖划船当时适值雨后天晴，我看到富士山旁西面的天空上，横挂着一条美丽的彩虹，所以凶手是别人，不是我！”你知道疑犯的话露出了什么破绽吗？警方是怎样证明他在说谎的呢？新知导学1. 综合法的定义利用_已知条件_和某些数学_定义_、_公理_、_定理_等，经过一系列的_推理论证_，最后推导出所要证明的结论成立，这种证明方法叫作综合法
2、2综合法的特点从“已知”看“_可知_”，逐步推向“_未知_”，其逐步推理，是由_因_导_果_，实际上是寻找“已知”的_必要_条件3综合法的基本思路用_P_表示已知条件、已有的定义、公理、定理等，_Q_表示所要证明的结论，则综合法的推理形式为其逻辑依据是三段论式演绎推理4分析法定义从要证明的_结论_出发，逐步寻求使它成立的_充分_条件，直至最后，把要证明的结论归结为判定一个明显成立的条件(已知条件、定理、定义、公理等)，这种证明方法叫做分析法5分析法的特点分析法是综合法的逆过程，即从“未知”看“_需知_”，执果索因，逐步靠拢“_已知_”，其逐步推理，实际上是要寻找“结论”的_充分_条件分析法的推
3、理过程也属于演绎推理，每一步推理都是严密的逻辑推理6分析法的基本思路分析法的基本思路是“执果索因”，从待证结论或需求问题出发，一步一步地探索下去，最后得到一个明显成立的条件若用_P_表示要证明的结论，则分析法的推理形式为预习自测1(2020烟台期中)分析法是从要证的结论出发，寻求使它成立的(A)A充分条件B必要条件C充要条件D既不充分又不必要条件解析分析法是逆向逐步找这个结论成立需要具备的充分条件；分析法是从要证的结论出发，寻求使它成立的充分条件故选A2(2020桃城区校级期中)下列表述：综合法是由因导果法；综合法是顺推法；分析法是执果索因法；分析法是间接证明法；分析法是逆推法其中正确的语句是
4、(C)A2个B3个C4个D5个解析根据综合法的定义可得，综合法是执因导果法，是顺推法，故正确根据分析法的定义可得，分析法是执果索因法，是直接证法，是逆推法，故正确，不正确故选C3设a0，b0，c0，若abc1，则的最小值为_9_.解析a0，b0，c0，abc1，332229，当且仅当abc时等号成立4设ab0，求证：3a32b33a2b2ab2.证明因为ab0，所以ab0,3a22b20，所以3a32b3(3a2b2ab2)3a2(ab)2b2(ba)(3a22b2)(ab)0，即3a32b33a2b2ab2.互动探究攻重难互动探究解疑命题方向用综合法证明不等式 典例1(1)若ab0，则下列不
5、等式中，总成立的是(A)AabBCabD(2)在不等式“a2b22ab”的证明中：因为a2b22ab(ab)20.所以a2b22ab.该证明用的方法是_综合法_.(3)已知a，b，cR，且abc1.求证：a2b2c2.解析(1)因为ab0，所以0，所以ab.(2)由题设知：本题中证明是从已知的不等式(ab)20出发，经过推理得出结论，是综合法(3)因为a2b22ab，b2c22bc，c2a22ca.于是(abc)2a2b2c22ab2bc2caa2b2c2(a2b2)(b2c2)(c2a2)3(a2b2c2)，所以a2b2c2(abc)2，当且仅当abc时取等号，原式得证规律总结综合法证明不等
6、式的主要依据综合法证明不等式所依赖的主要是不等式的基本性质和已知的重要不等式，其中常用的有以下几个：a20(aR)；(ab)20(a，bR)，其变形有a2b22ab，()2ab，a2b2；若a，b(0，)，则，特别地，2；a2b2c2abbcac(a，b，cR)，由不等式a2b22ab，a2c22ac，b2c22bc，易得a2b2c2abbcca，此结论是一个重要的不等式，在不等式的证明中的使用频率很高；(abc)2a2b2c22(abbcac)，体现了abc，a2b2c2与abbcac这三个式子之间的关系跟踪练习1_在ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知A，bsin(C)csi
7、n(B)a.求证：BC.证明由bsin(C)csin(B)a，应用正弦定理，得sinBsin(C)sinCsin(B)sinA，sinB(sinCcosC)sinC(sinBcosB).整理得sinBcosCcosBsinC1.即sin(BC)1.由于0B，C5，求证：.解析要证，只需证，只需证()2()2，即2a252a52，即只需证，只需证a25aa25a6，即证0n1，求证：f(m)f(n)2f()解析要证明f(m)f(n)2f()，即证(m22m2)(n22n2)2()222，即证2m22n2m22mnn2，只需证m2n22mn，即证(mn)20，因为mn1，所以(mn)20显然成立，
8、故原不等式成立学科核心素养利用分析法、综合法证明问题综合法和分析法各有优缺点，从寻求解题思路来看，综合法由因导果，分析法执果索因就表达证明过程而论，综合法形式简洁，条理清晰，分析法叙述烦琐，在实际解题时，常常把分析法和综合法综合起来运用先利用分析法寻找解题思路，再利用综合法有条理地表述解答过程典例4已知三角形ABC的三个内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且三个内角A，B，C构成等差数列，求证：.思路分析本题条件较为简单，但结论中的等式较为复杂，故可首先用分析法，将欲证等式进行转化，转化为一个较为简单的式子，然后再从已知条件入手，结合余弦定理，推导出这个式子即可得证解析要证，即证3，化简得
9、1，即只需证明c(bc)a(ab)(ab)(bc)，只需证明c2a2b2ac.因为三个内角A，B，C构成等差数列，所以2BAC，又因为ABC180，所以3B180，即B60，由余弦定理可得cos60，所以c2a2b2ac，即c2a2b2ac成立，因此原等式成立规律总结1.有些数学问题的证明，需要把综合法与分析法结合起来使用：根据条件的结构特点去转化结论，得到中间结论Q；根据结论的结构特点去转化条件，得到中间结论P.若由P可以推出Q成立，就可以证明结论成立，这种边分析边综合的证明方法，称为分析综合法，或者称“两头凑法”2在证明过程中，分析法能够发现证明的思路，但解题的表述过程较为烦琐，而综合法表
10、述证明过程则显得简洁，因此在实际解题过程中，常常将分析法和综合法结合起来运用，先利用分析法探求得到解题思路，再利用综合法条理地表述解题过程 .跟踪练习4_在某两个正数x，y之间插入一个数a，使x，a，y成等差数列，插入两数b，c，使x，b，c，y成等比数列，求证：(a1)2(b1)(c1)证明由已知得则x，y，即xy，从而2a.要证(a1)2(b1)(c1)，只需证a1，即证a1，也就是证2abc，因为2a，则只需证bc成立即可，即b3c3(bc)(b2bcc2)(bc)bc，即证b2c2bcbc，即证(bc)20成立上式显然成立，故(a1)2(b1)(c1)易混易错警示注意隐含条件的挖掘典例5设ab0，n为偶数，求证：.错解.n为偶数，(ab)n0.又anbn和an1bn1同号，0，.辨析这里题目中的条件为ab0，而不是a0，b0，因此，应分a0且b0和a，b有一个为负值两种情况加以讨论正解.当a0，b0时，(anbn)(an1bn1)0，(ab)n0，0，.当a、b中有一个为负值时，不妨设a0，b0，且ab0，a|b|.(ab)n0，anbn0，an10，bn10，故anbn0，an1bn10，0，由知结论成立点评审题过程中注意将条件等价转化翻译，要将所有可能情形找全，不要漏掉隐含的条件
