1、第7节圆锥曲线的综合问题第一课时直线与圆锥曲线的位置关系 【选题明细表】知识点、方法题号直线与圆锥曲线位置关系1,2,7,10,13,14,15弦长问题4,5,6,9,12中点弦问题3,8,11基础对点练(时间:30分钟)1.直线y=x+3与双曲线-=1的交点个数是(A)(A)1(B)2(C)1或2(D)0解析:因为直线y=x+3与双曲线的渐近线y=x平行,所以它与双曲线只有1个交点.2.已知椭圆C的方程为+=1(m0),如果直线y=x与椭圆的一个交点M在x轴上的射影恰好是椭圆的右焦点F,则m的值为(B)(A)2(B)2 (C)8(D)2解析:根据已知条件得c=,则点(,)在椭圆+=1(m0)
2、上,所以+=1,可得m=2.3.已知双曲线C:-=1(a0,b0),方向向量为d=(1,1)的直线与C交于两点A,B,若线段AB的中点为(4,1),则双曲线C的渐近线方程是(B)(A)2xy=0(B)x2y=0(C)xy=0(D)xy=0解析:设方向向量为d=(1,1)的直线方程为y=x+m,由消去y得(b2-a2)x2-2a2mx-a2m2-a2b2=0,设A(x1,y1),B(x2,y2),因为线段AB的中点为(4,1).所以x1+x2=8,y1+y2=8+2m=2,则m=-3,所以=8,所以a=2b,所以双曲线的渐近线方程为y=x.4.(2016丽水模拟)斜率为1的直线l与椭圆+y2=1
3、相交于A,B两点,则|AB|的最大值为(C)(A)2(B)(C)(D)解析:设直线l的方程为y=x+t,代入+y2=1,消去y得x2+2tx+t2-1=0,由题意知=(2t)2-5(t2-1)0即t20),则直线MN的方程为y-=k(x-2),即kx-y-2k+=0,因为直线MN与圆x2+y2=1相切,所以原点到直线MN的距离等于半径1,即=1解得k=或k=-(舍去),所以直线MN的方程为x-y-=0,联立圆的方程x2+y2=1可得N点坐标为(,-),所以|NF|=.7.(2015滨州模拟)已知抛物线y2=8x的焦点F到双曲线C:-=1(a0,b0)渐近线的距离为,点P是抛物线y2=8x上的一
4、动点,P到双曲线C的上焦点F1(0,c)的距离与到直线x=-2的距离之和的最小值为3,则该双曲线的方程为.解析:由题意得,抛物线y2=8x的焦点F(2,0),双曲线C:-=1(a0,b0)的一条渐近线的方程为ax-by=0,所以=,所以a=2b.因为P到双曲线C的上焦点F1(0,c)的距离与到直线x=-2的距离之和的最小值为3,所以|FF1|=3,所以c2+4=9,所以c=,因为c2=a2+b2,a=2b,所以a=2,b=1.所以双曲线的方程为-x2=1.答案:-x2=18.(2014高考江西卷)过点M(1,1)作斜率为-的直线与椭圆C:+=1(ab0)相交于A,B两点,若M是线段AB的中点,
5、则椭圆C的离心率等于.解析:设A(x1,y1),B(x2,y2),分别代入椭圆方程相减得+=0,根据题意有x1+x2=21=2,y1+y2=21=2,且=-,所以+(-)=0,得a2=2b2,所以a2=2(a2-c2),整理得a2=2c2得=,所以e=.答案:9.设抛物线x2=8y的焦点为F,准线为l,P为抛物线上一点,PAl,A为垂足,若直线AF的倾斜角等于60,则|PF|等于.解析:在APF中,|PA|=|PF|,|AF|sin 60=4,所以|AF|=,又PAF=PFA=30,过点P作PBAF于点B,则|PF|=.答案:10.(2016山西模拟)已知椭圆C的中心在原点,焦点在x轴上,焦距
6、为2,离心率为.(1)求椭圆C的方程;(2)设直线l经过点M(0,1),且与椭圆C交于A,B两点,若=2,求直线l的方程.解:(1)设椭圆方程为+=1(ab0),因为c=1,=,所以a=2,b=,所以椭圆C的方程为+=1.(2)由题意得直线l的斜率存在,设直线l的方程为y=kx+1,联立方程得(3+4k2)x2+8kx-8=0,且0.设A(x1,y1),B(x2,y2),由=2,得x1=-2x2,又所以消去x2得()2=,解得k2=,k=,所以直线l的方程为y=x+1,即x-2y+2=0或x+2y-2=0.11.(2016广东肇庆二模)已知双曲线C的两个焦点坐标分别为F1(-2,0),F2(2
7、,0),双曲线C上一点P到F1,F2距离差的绝对值等于2.(1)求双曲线C的标准方程;(2)经过点M(2,1)作直线l交双曲线C的右支于A,B两点,且M为AB的中点,求直线l的方程;(3)已知定点G(1,2),点D是双曲线C右支上的动点,求|DF1|+|DG|的最小值.解:(1)依题意,得双曲线C的实半轴长a=1, 半焦距c=2,所以其虚半轴长b=.又其焦点在x轴上,所以双曲线C的标准方程为x2-=1.(2)设A,B的坐标分别为(x1,y1),(x2,y2),则两式相减,得3(x1-x2)(x1+x2)-(y1-y2)(y1+y2)=0.因为M(2,1)为AB的中点,所以所以12(x1-x2)
8、-2(y1-y2)=0,即kAB=6.故AB所在直线l的方程为y-1=6(x-2),即6x-y-11=0.(3)由已知,得|DF1|-|DF2|=2,即|DF1|=|DF2|+2,所以|DF1|+|DG|=|DF2|+|DG|+2|GF2|+2,当且仅当G,D,F2三点共线时取等号.因为|GF2|=,所以|DF2|+|DG|+2|GF2|+2=+2.故|DF1|+|DG|的最小值为+2.能力提升练(时间:15分钟)12.(2016大连双基测试)过抛物线y2=2px(p0)焦点F的直线l与抛物线交于B,C两点,l与抛物线准线交于点A,且|AF|=6,=2,则|BC|等于(A)(A)(B)6(C)
9、(D)8解析:不妨设直线l的倾斜角为,其中00,所以b-.设M(x1,y1),N(x2,y2),则x1+x2=-1,=-+b=+b,由(-,+b)在直线y=x+3上,即+b=-+3,解得b=2,联立解得答案:(-2,4),(1,1)14.(2015沈阳模拟)已知点A(-,0),点B(,0),且动点P满足|PA|-|PB|=2,则动点P的轨迹与直线y=k(x-2)有两个交点的充要条件为k.解析:由已知得动点P的轨迹为一双曲线的右支且2a=2,c=,则b=1,所以P点的轨迹方程为x2-y2=1(x0),其一条渐近线方程为y=x.若P点的轨迹与直线y=k(x-2)有两个交点,则需k(-,-1)(1,
10、+).答案:(-,-1)(1,+)15.已知椭圆C:+y2=1(a0)的焦点在x轴上,右顶点与上顶点分别为A,B.顶点在原点,分别以A,B为焦点的抛物线C1,C2交于点P(不同于O点),且以BP为直径的圆经过点A.(1)求椭圆C的标准方程;(2)若与OP垂直的动直线l交椭圆C于M,N不同两点,求OMN面积的最大值和此时直线l的方程.解:(1)由已知得A(a,0),B(0,1),所以以A为焦点的抛物线C1的方程为y2=4ax,以B为焦点的抛物线C2的方程为x2=4y.由得P(4,4),又以BP为直径的圆经过点A,所以,=0,(4-a,4)(-a,1)=0,即-4+4=0,得=2,a2=8,故椭圆
11、C的标准方程为+y2=1.(2)由(1)知P(4,8),kOP=,所以直线l的斜率kl=-.设直线l的方程为y=-x+t,由得5y2-2ty+t2-4=0,则=4t2-45(t2-4)0,解得t25,设M(x1,y1),N(x2,y2),则y1+y2=,y1y2=,由弦长公式得|MN|=|y2-y1|=.又点O到直线l的距离为d=|t|,所以SOMN=|MN|d=|t|=2(t2+5-t2)=,当且仅当t2=5-t2时等号成立,又t20,b0),F1,F2分别是它的左、右焦点,A是它的右顶点,过点F1作一条斜率为k的直线交双曲线于异于顶点的两点M,N,若MAN=90,则该双曲线的离心率为(B)
12、(A)(B)2(C)(D)解题关键:把MAN=90转化为=0.解析:由题意可得过点F1的直线方程为y=k(x+c)(k0),联立方程消去y得(b2-a2k2)x2-2a2k2cx-a2c2k2-a2b2=0.设M(x1,y1),N(x2,y2),则x1+x2=,x1x2=-.因为MAN=90,所以=(x1-a)(x2-a)+y1y2=x1x2-a(x1+x2)+a2+k2(x1+c)(x2+c)=0,所以(1+k2)x1x2+(ck2-a)(x1+x2)+a2+k2c2=0,即-(1+k2)+(ck2-a)+a2+k2c2=0,所以-2a3c-3a2c2+c4=0,即-3+e2=0,即=0,又
13、e1,解得e=2.2.已知抛物线C:y2=2px(p0),A(异于原点O)为抛物线上一点,过焦点F作平行于直线OA的直线,交抛物线C于P,Q两点.若过焦点F且垂直于x轴的直线交直线OA于点B,则|FP|FQ|-|OA|OB|等于(A)(A)0(B)1(C)-1(D)2解题关键:联立方程组,利用根与系数的关系及弦长公式求解.解析:设直线OA的斜率为k(k0),则直线OA的方程为y=kx,由得A(,),易知B(,),PQ:y=k(x-),由消去x得-y-=0,设P(x1,y1),Q(x2,y2),由根与系数的关系得y1y2=-p2,根据弦长公式得|FP|FQ|=|y1|y2|=(1+)|y1y2|=(1+)p2,而|OA|OB|=(1+)p2,所以|FP|FQ|-|OA|OB|=0.
