1、第1讲等差数列与等比数列等差、等比数列的基本运算1.(2015新课标全国卷)已知an是公差为1的等差数列,Sn为an的前n项和.若S8=4S4,则a10等于(B)(A)(B)(C)10(D)12解析:设等差数列an的首项为a1,公差为d.由题设知d=1,S8=4S4,所以8a1+28=4(4a1+6),解得a1=,所以a10=+9=,选B.2.(2015辽宁省锦州市质量检测(一)已知各项不为0的等差数列an满足a4-2+3a8=0,数列bn是等比数列,且b7=a7,则b2b8b11等于(D)(A)1(B)2(C)4(D)8解析:因为a4-2+3a8=0,所以a1+3d-2+3(a1+7d)=0
2、,所以4(a1+6d)-2=0,即4a7-2=0,又a70,所以a7=2,所以b7=2,所以b2b8b11=b1qb1q7b1q10=(b1q6)3=8.故选D.3.(2015河南郑州第二次质量预测)设等比数列an的前n项和为Sn,若27a3-a6=0,则=.解析:设等比数列公比为q(q1),因为27a3-a6=0,所以27a3-a3q3=0,所以q3=27,q=3,所以=28.答案:28等差、等比数列的性质及应用4.(2015河南省六市第二次联考)已知数列an为等比数列,若a4+a6=10,则a7(a1+2a3)+a3a9的值为(C)(A)10(B)20(C)100(D)200解析:a7(a
3、1+2a3)+a3a9=a1a7+2a3a7+a3a9=+2a4a6+=(a4+a6)2=102=100.故选C.5.设等比数列an中,前n项和为Sn,已知S3=8,S6=7,则a7+a8+a9等于(A)(A)(B)-(C)(D)解析:因为a7+a8+a9=S9-S6,在等比数列中S3,S6-S3,S9-S6也成等比数列,即8,-1,S9-S6成等比数列,所以有8(S9-S6)=1,即S9-S6=.故选A.6.(2015新课标全国卷)已知等比数列an满足a1=,a3a5=4(a4-1),则a2等于(C)(A)2(B)1(C)(D)解析:法一根据等比数列的性质,结合已知条件求出a4,q后求解.因
4、为a3a5=,a3a5=4(a4-1),所以=4(a4-1),所以-4a4+4=0,所以a4=2.又因为q3=8,所以q=2,所以a2=a1q=2=.故选C.法二直接利用等比数列的通项公式,结合已知条件求出q后求解.因为a3a5=4(a4-1),所以a1q2a1q4=4(a1q3-1),将a1=代入上式并整理,得q6-16q3+64=0,解得q=2,所以a2=a1q=.故选C.7.(2015哈师大附中、东北师大附中、辽宁实验中学第一次联合模拟)设Sn是公差不为零的等差数列an的前n项和,且a10,若S5=S9,则当Sn最大时,n等于(B)(A)6(B)7(C)8(D)9解析:依题意得S9-S5
5、=a6+a7+a8+a9=0,所以2(a7+a8)=0,所以a7+a8=0,又a10,所以该等差数列的前7项为正数,从第8项开始为负数.所以当Sn最大时,n=7.故选B.8.(2015东北三校第一次联合模拟)若等差数列an中,满足a4+a6+a2010+a2012=8,则S2015=.解析:因为a4+a6+a2010+a2012=8,所以2(a4+a2012)=8,所以a4+a2012=4.所以S2015=4030.答案:4030等差、等比数列的综合问题9.(2015甘肃二诊)设等差数列an的前n项和为Sn,且满足S170,S180,S18=9(a10+a9)0,a10+a90,所以a100,
6、0,0,0,0,0,又S1S2a2a9,所以,中最大的项为.故选C.10.(2014辽宁卷)设等差数列an的公差为d,若数列为递减数列,则(C)(A)d0(C)a1d0解析:因为数列为递减数列,a1an=a1a1+(n-1)d=a1dn+a1(a1-d),等式右边为关于n的一次函数,所以a1d0,则a2+a30(B)若a1+a30,则a1+a20(C)若0a1(D)若a10解析:因为an为等差数列,所以2a2=a1+a3.当a2a10时,得公差d0,所以a30,所以a1+a32,所以2a22,即a2,故选C.9.(2015大连市二模)已知等差数列an的前n项和为Sn,a2=4,S10=110,
7、则的最小值为(C)(A)7(B)(C)(D)8解析:设等差数列an的公差为d,则解得所以an=2+2(n-1)=2n,Sn=2n+2=n2+n,所以=+2+=.当且仅当=,即n=8时取等号.故选C.10.(2015福建卷)若a,b是函数f(x)=x2-px+q(p0,q0)的两个不同的零点,且a,b,-2这三个数可适当排序后成等差数列,也可适当排序后成等比数列,则p+q的值等于(D)(A)6(B)7(C)8(D)9解析:由题可知a,b是x2-px+q=0的两根,所以a+b=p0,ab=q0,故a,b均为正数.因为a,b,-2适当排序后成等比数列,所以-2是a,b的等比中项,得ab=4,所以q=
8、4.又a,b,-2适当排序后成等差数列,所以-2是第一项或第三项,不妨设a0,所以a=1,此时b=4,所以p=a+b=5,所以p+q=9.故选D.二、填空题11.(2015黑龙江高三模拟)等差数列an中,a4+a8+a12=6,则a9-a11=.解析:设等差数列an公差为d,因为a4+a8+a12=6,所以3a8=6,即a8=a1+7d=2,所以a9-a11=a1+8d-(a1+10d)=a1+d=(a1+7d)=2=.答案:12.(2015宁夏石嘴山高三联考)若正项数列an满足a2=,a6=,且=(n2,nN*),则log2a4=.解析:因为=(n2,nN*),所以=an-1an+1,所以数
9、列an为等比数列.又a2=,a6=,所以q4=.因为数列为正项数列,所以q0,所以q=.所以a4=a2q2=,所以log2a4=log2=-3.答案:-313.(2015安徽卷)已知数列an中,a1=1,an=an-1+(n2),则数列an的前9项和等于.解析:因为a1=1,an=an-1+(n2),所以数列an是首项为1、公差为的等差数列,所以前9项和S9=9+=27.答案:2714.(2015湖南卷)设Sn为等比数列an的前n项和.若a1=1,且3S1,2S2,S3成等差数列,则an=.解析:设等比数列an的公比为q(q0),依题意得a2=a1q=q,a3=a1q2=q2,S1=a1=1,S2=1+q,S3=1+q+q2.又3S1,2S2,S3成等差数列,所以4S2=3S1+S3,即4(1+q)=3+1+q+q2,所以q=3(q=0舍去).所以an=a1qn-1=3n-1.答案:3n-1