1、A级基础巩固一、选择题1平面的一个法向量为(1，2，0)，平面的一个法向量为(2，1，0)，则平面与平面的位置关系是()A平行B相交但不垂直C垂直 D不能确定解析：因为(1，2，0)(2，1，0)0，所以两法向量垂直，从而两平面也垂直答案：C2若A(1，0，1)，B(1，4，7)在直线l上，则直线l的一个方向向量为()A(1，2，3) B(1，3，2)C(2，1，3) D(3，2，1)解析：(2，4，6)，而与共线的非零向量都可以作为直线l的方向向量答案：A3若，则直线AB与平面CDE的位置关系是()A相交 B平行C在平面内 D平行或在平面内解析：因为(，R)，所以与，共面所以AB平面CDE或
2、AB平面CDE.答案：D4若A，B，C是平面内的三点，设平面的法向量a(x，y，z)，则xyz()A23(4) B111C.11 D324解析：，(3，2，0)，因为平面的法向量为a(x，y，z)，所以取y3，则x2，z4.所以xyz23(4)答案：A5若向量a(1，2，1)，b(1，0，2)，则下列向量可作为向量a，b所在平面的一个法向量的是()A(4，1，2) B(4，1，2)C(4，1，2) D(4，1，2)答案：B二、填空题6若平面的一个法向量为u1(3，y，2)，平面的一个法向量为u2(6，2，z)，且，则yz_解析：因为，所以u1u2.所以.所以y1，z4.所以yz3.答案：37已
3、知直线l的方向向量v(2，1，3)，且过A(0，y，3)和B(1，2，z)两点，则y_，z_解析：因为(1，2y，z3)，v，故，故y，z.答案：8已知空间直角坐标系Oxyz中的点A(1，1，1)，平面过点A并且与直线OA垂直，动点P(x，y，z)是平面内的任一点，则点P的坐标满足的条件为_解析：由题意知，OA，直线OA的方向向量(1，1，1)，因为P，所以，所以(1，1，1)(x1，y1，z1)0，所以xyz3.答案：xyz3三、解答题9如图所示，在正方体ABCDA1B1C1D1中， M，N分别是C1C，B1C1的中点求证：MN平面A1BD.证明：法一如图所示，以D为原点，DA、DC、DD1
4、所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，设正方体的棱长为1，则可求得M，N，D(0，0，0)，A1(1，0，1)，B(1，1，0)，于是，(1，0，1)，(1，1，0)设平面A1BD的法向量是n(x，y，z)，则n0，且n0，得取x1，得y1，z1，所以n(1，1，1)又n(1，1，1)0，所以n.又MN平面A1BD，所以MN平面A1BD.法二因为()，所以，而MN平面A1BD，DA1平面A1BD，所以MN平面A1BD.10如图所示，在四棱锥PABCD中，底面ABCD是边长为1的菱形，ABC，PA底面ABCD，PA2，点M为PA的中点，点N为BC的中点AFCD于F，如图建立空间直角坐
5、标系求证：MN平面PCD.解：由题设知，在RtAFD中，AFFD，A(0，0，0)，B(1，0，0)，F，D，P(0，0，2)，M(0，0，1)，N.，.设平面PCD的一个法向量为n(x，y，z)，则令z，得n(0，4，)因为n(0，4，)0，所以n.又MN平面PCD，所以MN平面PCD.B级能力提升1已知线段AB的两端点坐标为A(9，3，4)，B(9，2，1)，则线段AB与坐标平面()AxOy平行 BxOz平行CyOz平行 DyOz相交解析：因为(9，2，1)(9，3，4)(0，5，3)，所以AB平面yOz.答案：C2已知ABC的三个顶点的坐标分别为A(2，1，0)，B(0，2，3)，C(1
6、，1，3)，则平面ABC的一个单位法向量为_解析：设平面ABC的法向量为n(x，y，z)因为A(2，1，0)，B(0，2，3)，C(1，1，3)，所以(2，1，3)，(1，1，0)，则有即解得令z1，则xy3.故平面ABC的一个法向量为n(3，3，1)故平面ABC的一个单位法向量为或，即(3，3，1)或(3，3，1)答案：或3如图所示，四棱柱PABCD中，PA平面ABCD，PB与底面成的角为45，底面ABCD为直角梯形，ABCBAD90，PABCAD1，问在棱PD上是否存在一点E，使CE平面PAB？若存在，求出E点的位置；若不存在，说明理由解：如图所示，分别以AB，AD，AP为x，y，z轴建立空间直角坐标系，在PD上任取一点E，连接CE，所以P(0，0，1)，C(1，1，0)，D(0，2，0)，设E(0，y，z)，则(0，y，z1)，(0，2，1)，因为，所以y(1)2(z1)0.因为(0，2，0)是平面PAB的法向量，又(1，y1，z)，由CE面PAB，所以，所以(1，y1，z)(0，2，0)0.所以y1，代入得z，所以E是PD的中点，所以存在E点为PD中点时，CE平面PAB.