1、目 录 Contents 考情精解读 考点A.知识全通关 B.题型全突破C.能力大提升考法1考法2考法4考法3专题探究考点5考情精解读 考纲解读 命题趋势 命题规律 考情精解读 1 数学 第四章第三讲 三角恒等变换 考试大纲 011.会用向量的数量积推导出两角差的余弦公式;2.能利用两角差的余弦公式导出两角差的正弦、正切公式;3.能利用两角差的余弦公式导出两角和的正弦、余弦、正切公式,导出二倍角的正弦、余弦、正切公式,了解它们的内在联系;4.能运用上述公式进行简单的恒等变换(包括导出积化和差、和差化积、半角公式,但对这三组公式不要求记忆).考纲解读 命题规律 考情精解读 2 命题趋势 考点 2
2、016全国 2015全国 2014全国 自主命题地区 三角恒等 变换【20%】全国,6,5分 全国,14,5分 2016浙江,11,6分 2016浙江,16,14分 2016江苏,14,5分 2016山东,17,12分 2015江苏,8,5分 2015江苏,14,5分 2014山东,12,5分 2014江苏,5,5分 2014江苏,15,14分 2014天津,16,13分 2014四川,17()数学 第四章第三讲 三角恒等变换 考纲解读 命题规律 考情精解读 4 返回目录 1.热点预测 和差角公式、二倍角公式是高考的热点,常与三角函数式的求值、化简交汇命题.既有选择题、填空题,又有解答题,难度
3、适中,主要考查公式的灵活运用及三角恒等变换能力.2.趋势分析 预测2018年高考仍将以和差角公式及二倍角公式为主要考点,高考复习时应引起足够的重视.命题趋势 数学 第四章第三讲 三角恒等变换 知识全通关 知识全通关 1 考点一 三角恒等变换 继续学习 数学 第四章第三讲 三角恒等变换 1.两角和与差的正弦、余弦、正切公式S():sin()=sin cos cos sin;C():cos()=cos cos sin sin;T():tan()=tantan1tantan(,2+k,kZ).名师提醒两角和与差的正弦、余弦、正切公式的结构特征和符号特点如下:C()同名相乘,符号反;S()异名相乘,符
4、号同;T()分子同,分母反.2.二倍角公式S2:sin 2=2sin cos;C2:cos 2=cos2-sin2=2cos2-1=1-2sin2;T2:tan 2=2tan1tan2(k+2且2+4,kZ).知识全通关 2 继续学习 数学 第四章第三讲 三角恒等变换 公式的常用变式 1.tan tan=tan()(1tan tan),tan tan=1-tan+tantan(+)=tantantan()-1.2.降幂公式:sin2=1cos22;cos2=1+cos22;sin cos=12sin 2.3.升幂公式:1+cos=2cos22;1-cos=2sin22;1+sin=(sin2+
5、cos2)2;1-sin=(sin2-cos2)2.4.辅助角公式:asin+bcos=2+2sin(+)(其中sin=2+2,cos=2+2).一般形式有sin x+cos x=2sin(x+4),sin x+3cos x=2sin(x+3),3sin x+cos x=2sin(x+6).【规律总结】知识全通关 3 继续学习 数学 第四章第三讲 三角恒等变换 3.半角公式 sin2=12;cos2=1+cos2;tan2=1cos1+cos=sin1+cos=1cossin.以上称之为半角公式,符号由2所在象限决定.注意：若给出角的范围(即某一区间)时,可先求出2的范围,然后再根据2的范围来
6、确定符号;如果没有给出决定符号的条件,则在根号前保留正负两个符号.4.万能公式(1)sin=2tan21+tan22;(2)cos=1tan221+tan22;(3)tan=2tan 21tan22.知识全通关 4 继续学习 数学 第四章第三讲 三角恒等变换 5.和差化积、积化和差公式(1)和差化积公式 sin+sin=2sin+2 cos2;sin-sin=2cos+2 sin2;cos+cos=2cos+2 cos2;cos-cos=-2sin+2 sin2.(2)积化和差公式sin cos=12sin(+)+sin(-);cos sin=12sin(+)-sin(-);cos cos=1
7、2cos(+)+cos(-);sin sin=-12cos(+)-cos(-).【规律总结】三角恒等变换中的技巧 1.巧变角:三角函数式中往往出现较多的差异角,注意观察角与角之间的和、差、倍、互补、互余等关系,运用角的变换,化多角为单角或减少未知角的数目,连接条件角与待求角,使问题顺利获解.对角变换时:(1)可以通过诱导公式、两角和与差的三角公式等;(2)注意倍角的相对性;(3)注意拆角、拼角技巧,例如,2=(+)+(-),=(+)-=(-)+,=+2-2=(+2)-(+),-=(-)+(-),15=45-30,4+=2-(4-)等.继续学习 数学 第四章第三讲 三角恒等变换 知识全通关 5【
8、规律总结】2.将三角变换与代数变换密切结合:三角变换主要是灵活应用相应的三角公式,对于代数变换主要有因式分解、通分、提取公因式、利用相应的代数公式等,例如,sin4x+cos4x=(sin2x+cos2x)2-2sin2xcos2x=1-12sin22x.继续学习 数学 第四章第三讲 三角恒等变换 知识全通关 6 题型全突破 考法一 三角函数式的化简问题 继续学习 题型全突破 1 考法指导 1.化简原则(1)一看“角”,这是最重要的一环,通过看角之间的差别与联系,把角进行合理的转化,再使用公式.(2)二看“函数名”,看函数名之间的差异,从而确定使用的公式,常见的有“切化弦”.(3)三看式子“结
9、构特征”,分析结构特征,可以帮助我们找到变形的方向,常见的有“遇到分式要通分”“遇到根式一般要升幂”等.2.化简要求(1)使三角函数式的项数最少、次数最低、角与函数名称的种类最少;(2)式子中的分母尽量不含三角函数;(3)尽量使被开方数不含三角函数等.3.化简方法(1)异名化同名;(2)异次化同次;(3)复杂角化简单角;(4)切化弦,三角公式的正用、逆用.数学 第四章第三讲 三角恒等变换 继续学习 题型全突破 2 考法示例1 化简:2cos212tan(4)sin2(4+).思路分析 思路一 运用两角和(差)的正弦(切)公式切化弦化简即可 思路二 运用二倍角公式及诱导公式化简即可 解析 解法一
10、 原式=cos2sin221tan1+tan(sin 4cos+cos 4sin)2=(cos2sin2)(1+tan)(1tan)(cos+sin)2=(cos2sin2)(1+sincos)(1sincos)(cos+sin)2=1.数学 第四章第三讲 三角恒等变换 继续学习 题型全突破 3 解法二 原式=cos22tan(4)cos2(4)=cos22sin(4)cos(4)=cos2sin(22)=cos2cos2=1.数学 第四章第三讲 三角恒等变换 继续学习 题型全突破 4 考法指导 一般所给出的角都是非特殊角,直接求很难,但非特殊角与特殊角总有一定的关系,解题时,要利用其关系,结
11、合公式转化为特殊角求解.考法二 三角函数的给角求值问题 数学 第四章第三讲 三角恒等变换 继续学习 题型全突破 5 考法示例2 求值:(1)sin110sin20cos2155sin2155;(2)3tan123sin12(4cos2122).思路分析 利用诱导公式及三角恒等变换即可求解.解析(1)原式=sin70sin20cos310=cos20sin20cos50=12sin40sin40=12.(2)原式=3sin12cos123sin12(4cos2122)=3sin123cos122sin12cos12(2cos2121)=2 3(12sin12 32 cos12)sin24cos2
12、4=2 3sin(1260)12sin48=-4 3.数学 第四章第三讲 三角恒等变换 题型全突破 6【突破攻略】继续学习 给角求值问题一般是式子中已含有已知角,但很多不是特殊角,解决这类问题的基本思路有:(1)化非特殊角为特殊角;(2)化为正负相消的项,消去后求值;(3)化分子分母使之出现公约数,约分后求值.数学 第四章第三讲 三角恒等变换 考法三 三角函数的给值求值问题 题型全突破 7 继续学习 考法指导 给值求值”即给出某些角的三角函数值,求另外一些角的三角函数值,解题关键在于“变角”,使相关角相同或具有某种关系.解三角函数的给值求值问题的基本步骤:(1)先化简所求式子或所给条件;(2)
13、观察已知条件与所求式子之间的联系;(3)将已知条件代入所求式子,化简求值.数学 第四章第三讲 三角恒等变换 题型全突破 8 继续学习 考法示例3 已知cos(4+x)=35,若1712x74,求sin2+2sin21tan的值.思路分析 注意x=(4+x)-4和2(4+x)=2+2x,巧妙地利用角的变换求解.解析 解法一 由1712x74,得53x+4 3cos,则的取值范围是 A.(3,2)B.(3,)C.(3,43)D.(3,32)(2)已知锐角,满足sin=55,cos=3 1010,则+等于A.34B.4或34C.4 D.2k+4(kZ)思路分析 (1)思路一 sin 3cos sin
14、(-3)0的范围思路二 利用排除法验证=,=43 即可(2)已知sin,cos 的值cos,sin 的值cos(+)的值+的值 题型全突破 12 继续学习 数学 第四章第三讲 三角恒等变换 题型全突破 14 继续学习 解析(1)解法一 因为sin-3cos 0,即12sin-32 cos 0,所以sin(-3)0,所以2k-32k+,kZ,所以2k+3 3cos,符合题意,排除A,B;取=43,因为sin43=-32,3cos43=-32,则sin43=3cos43,不符合题意,排除D.(2)由sin=55,cos=3 1010,且,为锐角,可知cos=2 55,sin=1010,故cos(+
15、)=cos cos-sin sin=2 55 3 1010-55 1010=22,又0+,故+=4.答案(1)C(2)C点评 对于第(2)小题,因为+(0,),y=cos x在(0,)上是单调函数,所以本题通过求cos(+)的值来确定角+的大小.因为y=sin x在(0,)上不是单调函数,如果求sin(+)的值,则需要求出+的取值范围,才能确定角+的大小.数学 第四章第三讲 三角恒等变换 题型全突破 15【突破攻略】继续学习 对角的范围的限定是求角问题中的难点,一般来说对角的范围的限定可从以下两方面进行:(1)题目给定的角的范围;(2)利用给定的各个三角函数值来限定,如由三角函数值的正负可挖掘
16、出角的范围,也可借助特殊角的三角函数值和函数的单调性来确定角的范围.数学 第四章第三讲 三角恒等变换 考法五 已知asin+bsin(cos)=c的求值问题 题型全突破 16 继续学习 考法指导 对于形如asin+bsin=c和asin+bcos=c的正、余弦的条件式,通过平方可得到乘积项sin sin 和sin cos,再结合恒等式sin2+cos2=1消去平方项,使之与两角和与差的三角公式相符合,总之,“平方相加”是基本方法.数学 第四章第三讲 三角恒等变换 考法示例5 已知13sin+5cos=9,13cos+5sin=15,求sin(+)的值.解析 将已知等式平方后相加,得169sin
17、2+130sin cos+25cos2+169cos2+130cos sin+25sin2=81+225,整理得194+130sin(+)=306,所以sin(+)=5665.题型全突破 17 继续学习 数学 第四章第三讲 三角恒等变换 考法示例6 已知sin x+sin y=1,求cos x+cos y的范围.解析 令cos x+cos y=a,两边平方得cos2x+2cos xcos y+cos2y=a2.将sin x+sin y=1两边平方,得sin2x+2sin xsin y+sin2y=1.+,得2+2cos(x-y)=a2+1,从而a2=1+2cos(x-y).讨论cos(x-y)
18、的最值:因为sinx+sin y=1,则sinx=1-sin y0,同理,siny=1-sin x0,从而x,y2k,(2k+1),kZ,所以x-y(2k-1),(2k+1),kZ,故-1 cos(x-y)1,所以-1 1+2cos(x-y)3,则有0a23,可得-3 a 3.即cos x+cos y的取值范围是-3,3.题型全突破 18 继续学习 数学 第四章第三讲 三角恒等变换 能力大提升 三角恒等变换的综合问题 能力大提升 1 继续学习 类型1 三角恒等变换与三角函数性质的综合 利用三角恒等变换先将三角函数式转化为y=Asin(x+)的形式,再求其周期、单调区间、最值等,一直是高考的热点
19、.示例7 2016天津高考 已知函数f(x)=4tan xsin(2-x)cos(x-3)-3.(1)求f(x)的定义域与最小正周期;(2)讨论f(x)在区间-4,4上的单调性.数学 第四章第三讲 三角恒等变换 能力大提升 2 返回目录 解析(1)f(x)的定义域为x|x2+k,kZ.f(x)=4tan xcosxcos(x-3)-3=4sin xcos(x-3)-3=4sin x(12cos x+32 sin x)-3=2sin xcos x+2 3sin2x-3=sin 2x+3(1-cos 2x)-3=sin 2x-3cos 2x=2sin(2x-3).所以,f(x)的最小正周期T=22
20、=.数学 第四章第三讲 三角恒等变换 能力大提升 2 返回目录(2)令z=2x-3,函数y=2sin z的单调递增区间是-2+2k,2+2k,kZ.由-2+2k2x-32+2k,得-12+kx512+k,kZ.设A=-4,4,B=x|-12+kx512+k,kZ,易知AB=-12,4.所以,当x-4,4时,f(x)在区间-12,4上单调递增,在区间-4,-12上单调递减.数学 第四章第三讲 三角恒等变换 返回目录 能力大提升 3 2.三角恒等变换与三角形的综合 三角恒等变换经常出现在解三角形中,与正弦定理、余弦定理相结合,综合考查三角形中的边与角、三角形形状的判断等,是高考热点内容.根据所给条
21、件解三角形时,主要有两种途径:(1)利用正弦定理把边的关系化成角,因为三个角之和等于,可以根据此关系把未知量减少,再用三角恒等变换化简求解;(2)利用正弦、余弦定理把边的关系化成角的关系,再用三角恒等变换化简求解.数学 第四章第三讲 三角恒等变换 返回目录 能力大提升 4 示例8 在ABC中,内角A,B,C的对边分别是a,b,c,且a2+b2+2ab=c2.(1)求C;(2)设cos Acos B=3 25,cos(+)cos(+)cos2=25,求tan 的值.解析(1)因为a2+b2+2ab=c2,由余弦定理,得cos C=2+222=22=-22.故C=34.(2)由题意,得(sinsi
22、ncoscos)(sinsincoscos)cos2=25,数学 第四章第三讲 三角恒等变换 返回目录 能力大提升 5 因此(tan sin A-cos A)(tan sin B-cos B)=25,tan2sin Asin B-tan(sin AcosB+cosAsin B)+cos Acos B=25,tan2sin Asin B-tan sin(A+B)+cos Acos B=25.因为C=34,A+B=4,所以sin(A+B)=22,因为cos(A+B)=cos Acos B-sin Asin B,即3 25-sin Asin B=22,解得sin Asin B=3 25-22=210
23、.由得tan2-5tan+4=0,解得tan=1或tan=4.数学 第四章第三讲 三角恒等变换 返回目录 能力大提升 6 3.三角恒等变换与向量的综合 三角恒等变换与向量的综合问题是高考中经常出现的问题,一般以向量的坐标形式给出与三角函数有关的条件,并结合简单的向量运算,往往是两向量平行或垂直的计算,即令a=(x1,y1),b=(x2,y2),则ab=x1x2+y1y2,abx1y2=x2y1,abx1x2+y1y2=0,把向量形式化为坐标运算后,接下来的运算仍然是三角函数的恒等变换以及三角函数、解三角形等知识的运用.数学 第四章第三讲 三角恒等变换 返回目录 能力大提升 7 示例9 已知AB
24、C为锐角三角形,若向量p=(2-2sin A,cos A+sin A)与向量q=(sin A-cos A,1+sin A)是共线向量.(1)求角A;(2)求函数y=2sin2B+cos32的最大值.思路分析(1)向量共线三角函数式化简得sin2A的值得锐角A(2)化函数为Asin(x+)+b的形式根据B的范围求最值解析(1)因为p,q共线,所以(2-2sin A)(1+sin A)=(cos A+sin A)(sin A-cos A),则sin2A=34.又A为锐角,所以sin A=32,则A=3.数学 第四章第三讲 三角恒等变换 返回目录 能力大提升 8(2)y=2sin2B+cos32=2sin2B+cos(3)32=2sin2B+cos(3-2B)=1-cos 2B+12cos 2B+32 sin 2B=32 sin 2B-12cos 2B+1=sin(2B-6)+1.因为B(0,2),所以2B-6(-6,56),所以当2B-6=2时,函数y取得最大值,解得B=3,ymax=2.数学 第四章第三讲 三角恒等变换