1、课时作业(十)1在3双皮鞋中任意抽取两只，恰为一双鞋的概率为()A.B.C. D.答案A解析.2某单位要邀请10位教师中的6位参加一个会议，其中甲、乙两位教师不能同时参加，则邀请的不同方法有()A84种 B98种C112种 D140种答案D解析由题意分析不同的邀请方法有：C21C85C8611228140(种)3(高考真题四川卷)从1，3，5，7，9这五个数中，每次取出两个不同的数分别为a，b，共可得到lgalgb的不同值的个数是()A9 B10C18 D20答案C解析从1，3，5，7，9这5个数中依次选出两个数的选法有A52种，lgalgblg，又，选法有A52218(种)，故选C.48名学
2、生和2位老师站成一排合影，2位老师不相邻的排法种数为()AA88A92 BA88C92CA88A72 DA88C72答案A解析不相邻问题用插空法，先排学生有A88种排法，老师插空有A92种方法，所以共有A88A92种排法5(2019洛阳市第二次联考)某校从甲、乙、丙等8名教师中选派4名同时去4个边远地区支教(每地1名教师)，其中甲和乙不能都去，甲和丙都去或都不去，则不同的选派方案有()A900种 B600种C300种 D150种答案B解析第一类，甲去，则丙一定去，乙一定不去，再从剩余的5名教师中选2名，不同的选派方案有C52A44240(种)；第二类，甲不去，则丙一定不去，乙可能去也可能不去，
3、从乙和剩余的5名教师中选4名，不同的选派方案有C64A44360(种)所以不同的选派方案共有240360600(种)，故选B.6(2019安徽省五校二检)某地环保部门召集6家企业的负责人座谈，其中甲企业有2人到会，其余5家企业各有1人到会，会上有3人发言，则发言的3人来自3家不同企业的可能情况的种数为()A15 B30C35 D42答案B解析方法一：甲企业有2人，其余5家企业各有1人，共有7人，所以从7人中任选3人共有C73种情况，发言的3人来自2家企业的情况有C22C51种，所以发言的3人来自3家不同企业的可能情况共有C73C22C5130(种)，故选B.方法二：发言的3人来自3家不同企业且
4、含甲企业的人的情况有C21C5220(种)；发言的3人来自3家不同企业且不含甲企业的人的情况有C5310(种)所以发言的3人来自3家不同企业的可能情况共有201030(种)，故选B.7(2019佛山一中期末)在“神舟十号”确定航天员的过程中，后期有6名航天员(5男1女)入围，其中女航天员必选，其他5名男航天员中有2名老航天员和3名新航天员，航天员用“以老带新”和“两男一女”模式选定，即要求至少有1名老航天员入选，则本次从6名航天员中选3名航天员的方法有_种答案7解析因为女航天员必选，所以只需再选2名男航天员即可分两类：两男航天员1新1老，则有C21C316(种)方法；两男航天员2老，则有C22
5、1(种)方法共有617(种)方法8将6位志愿者分成4组，其中两个组各2人，另两个组各1人，分赴世博会的四个不同场馆服务，不同的分配方案有_种(用数字作答)答案1 080解析先将6位志愿者分组，共有种方法；再把各组分到不同场馆，共有A44种方法由分步乘法计数原理知，不同的分配方案共有A441 080(种)9.如图所示，有五种不同颜色分别给A，B，C，D四个区域涂色，相邻区域必须涂不同颜色，若允许同一种颜色多次使用，则不同的涂色方法共有_种答案180解析按区域分四步：第一步A区域有5种颜色可选；第二步B区域有4种颜色可选；第三步C区域有3种颜色可选；第四步由于D区域可重复使用区域A中已有过的颜色，
6、故也有3种颜色可选用由分步计数原理，共有5433180(种)10某展室有9个展台，现有3件展品需要展出，要求每件展品独自占用1个展台，并且3件展品所选用的展台既不在两端又不相邻，则不同的展出方法有_种；若进一步要求3件展品所选用的展台之间间隔不超过2个展台，则不同的展出方法有_种答案6048解析依题意得，某展室有9个展台，现有3件展品需要展出，要求每件展品独自占用1个展台，并且3件展品所选用的展台既不在两端又不相邻，则不同的展出方法有A5360(种)(注：从六个空展台所形成的五个间隔中任选三个间隔将3件展品进行排列即可)；其中3件展品所选用的展台之间间隔超过两个展位的展出方法有2A3312(种
7、)，因此要求3件展品所选用的展台之间间隔不超过两个展位的不同的展出方法有601248(种)11已知10件不同的产品中有4件次品，现对它们一一进行测试，直至找到所有次品(1)若恰在第2次测试时，找到第一件次品，第8次测试时，才找到最后一件次品，则共有多少种不同的测试方法？(2)若至多测试6次就能找到所有次品，则共有多少种不同的测试方法？解析(1)第1步，第2次测试到第一件次品有4种方法；第2步，第8次测试到最后一件次品有3种方法；第3步，第3次至第7次测试到剩余两件次品有A52种方法；第4步，剩余4次测试中测试到的全是正品，有A64种方法根据分步乘法计数原理，不同的测试方法的种数为43A52A6
8、486 400.(2)若检测4次可测出所有次品，不同的测试方法有A44种；若检测5次可测出所有次品，不同的测试方法有4A43A61种；若检测6次可测出所有次品，包括检测6次时测出4件次品或6件正品，则不同的测试方法共有(4A53A62A66)种由分类加法计数原理，满足条件的不同的测试方法的种数为A444A43A614A53A62A668 520.12学校组织甲、乙、丙、丁4名同学去A，B，C 3个工厂进行社会实践活动，每名同学只能去1个工厂(1)问有多少种不同的分配方案？(2)若每个工厂都有同学去，问有多少种不同的分配方案？(3)若同学甲、乙不能去工厂A，且每个工厂都有同学去，问有多少种不同的
9、分配方案？(结果全部用数字作答)解析(1)每名同学都有3种分配方法，则不同的分配方案有3481(种)(2)先把4个同学分3组，有C42种方法；再把这3组同学分到A，B，C3个工厂，有A33种方法，则不同的分配方案有C42A3336(种)(3)同学甲、乙不能去工厂A，分配方案分两类：另外2名同学都去工厂A，甲、乙去工厂B，C，有A222(种)情况；另外2名同学中有一名去工厂A，有C21C32A2212(种)情况所以不同的分配方案共有21214(种)13将4个编号为1，2，3，4的小球放入4个编号为1，2，3，4的盒子中(1)有多少种方法？(2)每盒至多一球，有多少种方法？(3)恰好有一个空盒，有
10、多少种方法？(4)每个盒内放一个球，并且恰好有一个球的编号与盒子编号相同，有多少种方法？(5)把4个不同的小球换成4个相同的小球，恰有一个空盒，有多少种方法？(6)把4个不同的小球换成20个相同的小球，要求每个盒内的球数不少于它的编号数，有多少种方法？解析(1)每个小球都可能放入4个盒子中的任何一个，将小球一个一个地放入盒子，共有444444256(种)方法(2)由题意知每盒至多一球，则每盒必有一球，共有A4424(种)方法(3)方法一：先将4个小球分为三组，有种方法，再将三组小球放入4个盒子中的三个盒子，有A43种投放方法，故共有A43144(种)方法方法二：先取4个球中的两个“捆”在一起，
11、有C42种选法，再把它与其他2个球共3个球分别放入4个盒子中的3个盒子，有A43种方法，所以共有C42A43144(种)方法(4)1个球的编号与盒子编号相同的选法有C41种，当1个球与1个盒子的编号相同时，用局部列举法可知其余3个球的投入方法有2种，故共有C4128(种)方法(5)先从四个盒子中选出三个盒子，再从三个盒子中选出一个盒子放两个球，余下两个盒子各放一个由于球是相同的，即没有顺序，所以属于组合问题，故共有C43C3112(种)方法(6)(隔板法)先将编号为1，2，3，4的4个盒子分别放入0，1，2，3个球，再把剩下的14个球分成四组，即在这14个球中间的13个空中放入三块隔板，共有C
12、133286(种)方法重点班选做题 14.(2019河北唐山一中模拟)中小学校车安全引起社会的关注，为了彻底消除校车安全隐患，某市购进了50台完全相同的校车，准备发放给10所学校，每所学校至少2台，则不同的发放方案的种数有()AC419 BC389CC409 DC399答案D解析首先每个学校配备一台，这个没有顺序和情况之分，剩下40台；将剩下的40台像排队一样排列好，则这40台校车之间有39个空对这39个空进行插空(隔板)，比如说用9个隔板隔开，就可以隔成10部分了所以是在39个空里选9个空插入隔板，所以是C399.15山东鲁能、上海申花、天津泰达与杭州绿城四家中国足球俱乐部参加了2015年赛
13、季亚洲足球俱乐部冠军联赛，为了打出中国足球的精神面貌，足协想派五名官员给这四支球队做动员工作，每个俱乐部至少派一名官员，且甲、乙两名官名不能到同一家俱乐部，则不同的安排方法共有多少种(用数字作答)?解析方法一：根据题意，可根据甲、乙两人所去俱乐部的情况进行分类：(1)甲乙两人都单独去一个俱乐部，剩余三人中必有两人去同一家俱乐部，先从三人中选取两个组成一组，与其他三人组成四个小组进行全排列，则不同的安排方法有C32A4432472(种)；(2)甲、乙两人去的俱乐部中有一个是两个人，从其剩余三人中选取一人与甲或乙组成一组，和其他三人形成四个小组进行全排列，则不同的安排方法有C21C31A44232
14、4144(种)所以不同的安排方法一共有72144216(种)方法二：若甲、乙两人可以去同一家俱乐部，则先从五人中选取两人组成一组，与其他三人形成四个小组进行全排列，则不同的安排方法共有C52A441024240(种)；而甲、乙两人去同一家俱乐部的安排方法有C22A4424(种)所以甲、乙两人不能去同一家俱乐部的安排方法共有24024216(种)隔板法例1求方程x1x2x3x412的正整数解的组数【解析】将12个完全相同的球排成一列，在它们之间形成的11个空隙中任选3个插入3块隔板，把球分为四组(如下图1)每一种分法所得球的数目依次为x1，x2，x3，x4.显然x1x2x3x412，故(x1，x
15、2，x3，x4)是方程的一组解反之，方程的任何一组解(y1，y2，y3，y4)，对应着唯一的一种在12个球之间插入隔板的方式(如下图2)故方程的解和插入隔板的方法一一对应，即方程的解的组数等于插隔板的方法数C113.探究(1)用“隔板法”来建立组合模型是求不定方程的正整数解的有效途径，如果将本例的“正整数解”改为“自然数解”，情形又如何呢？事实上只要令yixi1(i1，2，3，4)，就将“自然解”转化为方程y1y2y3y416的正整数解，故有C153组解(2)不定方程就是未知数的个数大于方程的个数，像方程x1x2xnm就是一个最简单的不定方程，这类问题的解法常用“隔板法”例2把7个大小完全相同
16、的小球，放置在三个盒子中，允许有的盒子一个也不放(1)如果三个盒子完全相同，有多少种放置方法？(2)如果三个盒子各不相同，有多少种放置方法？【解析】(1)小球的大小完全相同，三个盒子也完全相同，把7个小球分成三份，比如分成3个，2个，2个这样三份放入三个盒子中，不论哪一份小球放入哪一个盒子均是同一种方法，因此，只需将7个小球分成如下三份即可，即(7，0，0)，(6，1，0)，(5，2，0)，(5，1，1)，(4，3，0)，(4，2，1)，(3，3，1)，(3，2，2)共计有8种不同的放置方法(2)设三个盒子中小球的个数分别为x1，x2，x3，显然有：x1x2x37，于是，问题就转化为求这个不定
17、方程的非负整数解，若令yixi1(i1，2，3)由y1y2y310，问题又成为求不定方程y1y2y310的正整数解的组数的问题，在10个1中间9个空档中，任取两个空档做记号，即可将10分成三组，不定方程的解有C9236组1在某种信息传输过程中，用4个数字的一个排列(数字允许重复)表示一个信息，不同排列表示不同信息，若所用数字只有0和1，则与信息0110至多有两个对应位置上的数字相同的信息个数为()A10 B11C12 D15答案B2设集合I1，2，3，4，5选择I的两个非空子集A和B，要使B中最小的数大于A中最大的数，则不同的选择方法共有()A50种 B49种C48种 D47种答案B3绍兴臭豆腐名闻天下，一外地学者来绍兴旅游，买了两串臭豆腐，每串3颗(如图)规定：每串臭豆腐只能自左向右一颗一颗地吃，且两串可以自由交替吃请问：该学者将这两串臭豆腐吃完，不同的吃法有()A6种 B12种C20种 D40种答案C解析方法一(树形图)：如图所示，先吃A的情况，共有10种，如果先吃D，情况相同，所以不同的吃法有20种方法二：依题意；本题属定序问题，所以有20(种)