1、第一章数 列2 等差数列2.2 等差数列的前n项和第1课时 等差数列的前n项和内 容 标 准学 科 素 养1.理解等差数列的前n项和公式的推导方法.2.掌握等差数列的前n项和公式，会用等差数列的前n项和公式解决一些简单的与前n项和有关的问题.强化图形应用严格公式代换抽象数学模型01 课前 自主预习02 课堂 合作探究03 课后 讨论探究04 课时 跟踪训练基础认识知识点一 等差数列的前n项和公式预习教材P1518，思考并完成以下问题1你知道高斯求和的故事吗？请同学们交流一下，高斯是怎样求123100的结果的？提示：对于这个问题，著名数学家高斯十岁时就能很快求出它的结果，当时他的思路和解答方法是
2、：S12399100，把加数倒序写一遍S100999821.所以有2S(1100)(299)(992)(1001)100101，S501015 050.2你能用高斯的计算方法求123n的值吗？提示：设Sn123(n1)n，又Snn(n1)(n2)21，两式相加得2Sn(1n)(2n1)(n1)n(n1)，Snn（n1）2.3我们把高斯的这种计算方法称为倒序求和法你能用这种方法推得等差数列an的前n项和Sn吗？提示：Sna1a2a3an1ana1(a1d)(a12d)a1(n2)da1(n1)d，Snanan1an2a2a1an(and)(an2d)an(n2)dan(n1)d，2Sn(a1an
3、)n，Snn（a1an）2.4问题(2)中求出的Sn是已知等差数列首项、末项与项数时求前n项和Sn的公式，如果用ana1(n1)d替换末项，问题3中求出的Sn会变形为怎样的形式呢？提示：Snna112n(n1)d.知识梳理 等差数列的前n项和公式已知量首项、末项与项数首项、公差与项数求和公式Sn_Sn_n（a1an）2na1n（n1）2d知识点二 a1，d，n，an，Sn，知三求二思考并完成以下问题在等差数列an中，若已知d，n，an，如何求a1和Sn?提示：利用ana1(n1)d代入d，n，an，可求a1，利用Sn n（a1an）2或Snna1n（n1）2d可求Sn.知识梳理 应用公式知三求
4、二：(1)两个公式共涉及a1，d，n，an及Sn五个基本量，它们分别表示等差数列的首项，公差，项数，通项和前n项和(2)依据方程的思想，在等差数列前n项和公式中已知其中三个量可求另外两个量，即“知三求二”知识点三 等差数列前n项和的最值思考并完成以下问题1你能把等差数列的前n项和公式写成Sn关于n的二次函数的形式吗？提示：能 Snd2n2a1d2 n.2这个关系式有何特点？提示：可以看作是二次项系数为d2，图像过原点的二次函数知识梳理 类比二次函数的最值情况，等差数列前n项和的最值情况如下：等差数列前n项和的最值与Sn的单调性有关(1)若a10，d0，则数列的前面若干项为正项(或0)，所以将这
5、些项相加即得Sn的最大值(2)若a10，d0，则数列的前面若干项为负项(或0)，所以将这些项相加即得Sn的最小值(3)若a10，d0，则Sn是递增数列，S1是Sn的最小值；若a10，d0，则Sn是递减数列，S1是Sn的最大值自我检测1在等差数列an中，若其前13项的和S1352，则a7为()A4 B3 C6 D12解析：在等差数列an中，其前13项的和S1352，S13132(a1a13)13a752，解得a74.故选A.答案：A2已知等差数列an的前n项和为Sn，若7a55a90，且a9a5，则Sn取得最小值时n的值为()A5 B6 C7 D8解析：由7a55a90得a1d 173，又a9a
6、5，所以d0，a10，因为函数yd2 x2a1d2 x的图像的对称轴为x12a1d 12173 376，取最接近的整数6，故Sn取最小值时n的值为6.答案：B3在等差数列an中，a11，a3a514，其前n项和Sn100，则n_解析：设等差数列的公差为d，则a3a52a16d26d14，d2.则Snnn（n1）22n2.令Sn100，即n2100.解得n10或n10(舍)答案：10探究一 等差数列前n项和公式的基本应用P17练习1第3题在等差数列an中，(1)已知S848，S12168，求a1和d；(2)已知a610，S55，求a8和S8.(3)已知a3a1540，求S17.解析：设an中首项
7、为a1，公差为d，(1)S88a128d48S1212a166d168，解得a18，d4.(2)a6a15d10S55a110d5，解得a15d3.a8a17d52116，S88a128d408444.(3)S1717（a1a17）217（a3a15）217402340.例1 已知一个等差数列an的前10项的和是310，前20项的和是1 220，由这些条件能确定这个等差数列的前n项和的公式吗？解析 法一：由题意知，S10310，S201 220，将它们代入公式Snna1n（n1）2d，得到10a145d310，20a1190d1 220，解方程组得a14，d6.Snn4n（n1）263n2n.
8、法二：S1010（a1a10）2310，a1a1062，S2020（a1a20）21 220，a1a20122，得，a20a1060，10d60，d6，a14.Snna1n（n1）2d3n2n.方法技巧 两种思想方法在等差数列前n项和公式中的应用(1)方程思想：等差数列的通项公式及前n项和公式中“知三求二”的问题，一般是由通项公式和前n项和公式联立方程(组)求解(2)整体代换：在具体求解过程中应注意已知与未知的联系及整体代换思想的运用跟踪探究 1.(2019珠海市模拟)已知an为等差数列，前n项和为Sn，若a2a5a84，则sin S9()A.12B.22C12D 22解析：a2a5a84，a
9、2a82a5a1a9，3a54，a5 12，a1a96，S99（a1a9）292634，sin S9 22.故选B.答案：B探究二 等差数列前n项和的最值问题P18练习2第1题已知数列2n11，那么Sn的最小值是()AS1BS5CS6DS11解析：由an2n11，令an0，得n5.5，又nN，所以该数列前5项均为负数，从第6项开始为正数，故Sn的最小值为S5.答案：B例2 在等差数列an中，a1018，前5项的和S515，(1)求数列an的通项公式；(2)求数列an的前n项和Sn的最小值，并指出何时取最小值解题指南(1)根据题意列关于a1和d的方程（组）解出a1和d 写出an的表达式(2)法一
10、：写出Sn的表达式 分析Sn的最值法二：分析an中项的变化规律 确定Sn最小时n的值 求Sn解析(1)设公差为d，则a19d18，5a1524d15，解得a19，d3，则an3n12.(2)法一：Snn（a1an）212(3n221n)32n7221478，所以n3或4时，前n项的和Sn取得最小值为18.法二：要使数列an前n项的和取得最小值，则an3n120，an13（n1）120，得3n4，又nN，所以n3或4，S3S418.所以数列an前n项的和取得最小值为18.方法技巧 求等差数列前n项和的最值问题的两种方法(1)在等差数列an中，当a10，d0时，Sn有最大值，使Sn取到最值的n可由
11、不等式组an0，an10 确定当a10，d0时，Sn有最小值，使Sn取到最值的n可由不等式组an0，an10确定(2)因为Sn d2 n2a1d2 n，若d0，则从二次函数的角度看：当d0时，Sn有最小值；当d0时，Sn有最大值；且n取最接近对称轴的正整数时，Sn取到最值跟踪探究 2.在等差数列an中，若a125，且S9S17，求Sn的最大值解析：法一：S9S17，a125，9259（91）2d172517（171）2d，解得d2.由an2n270，an12（n1）270，得n1312，n1212，又nN，当n13时，Sn有最大值169.法二：同方法一，求出公差d2.设SnAn2Bn.S9S1
12、7，二次函数对称轴为x917213，且开口方向向下，当n13时，Sn取得最大值169.探究三 等差数列前n项和的实际应用阅读教材P18例11及解答九江抗洪指挥部接到预报，24 h后有一洪峰到达，为确保安全，指挥部决定在洪峰来临前筑一道堤坝作为第二道防线经计算，除现有的部队指战员和九江干群连续奋战外，还需调用20台同型号翻斗车，平均每辆工作24 h，但目前只有一辆车投入施工，其余的需从昌九高速公路沿线抽调每隔20 min能有一辆车到达，指挥部最多可调集25辆车，那么在24 h内能否构筑成第二道防线？题型：等差数列前n项和的实际应用方法步骤：从实际问题中抽象出等差数列确定数列首项a1及公差d.求出
13、等差数列的前n项和判断并得出结论例3 从4月1日开始，有一新款服装投入某商场销售.4月1日该款服装售出20件，第二天售出35件，第三天售出50件，以后每天售出的件数分别递增15件，直到4月12号日销售量达到最大，然后，每天售出的件数分别递减10件(1)记从4月1日起该款服装日销售量为an，销售天数为n，1n30，求an与n的关系；(2)求4月份该款服装的总销售量解题指南 解答本题可先确定an与n的关系，然后用等差数列的前n项和公式求总销量解析(1)设从4月1日起该款服装的日销售量构成数列an由题意知，数列a1，a2，a10是首项为20，公差为15的等差数列，所以a915n5(1n12且nN)而
14、a13，a14，a15，a30是首项为a13a1210175，公差为10的等差数列所以an175(n13)(10)10n305(13n30且nN)所以an15n5，1n12且nN，10n305，13n30且nN.(2)4月份该款服装的总销售量为12（a1a12）218a13（3012）（30121）（10）212（20185）2181751817（10）22 850(件)延伸探究 本例中，条件不变，求“按规律，当该商场销售此服装超过1 300件时，社会上就开始流行，当此服装的销售量连续下降，且日销售量低于110件时，则此服装在社会上不再流行试问：该款服装在社会上流行是否超过10天？说明理由”解
15、析：4月1日至4月12日的销售总量为12（a1a12）212（20185）21 2301 300，所以4月12日前该款服装在社会上还没有流行4月1日至4月13日的销售总量为1 230a131 2301751 4051 300，故4月13日该款服装在社会上已开始流行由10n305110，得n392，所以第20天该款服装在社会上不再流行所以该款服装在社会上流行没有超过10天方法技巧 解应用题的基本程序跟踪探究 3.一名技术人员计划用下面的办法测试一种赛车：从时速10 km/h开始，每隔2 s速度提高20 km/h.如果测试时间是30 s，测试距离是_km.解析：由于每隔2 s速度提高20 km/h
16、，所以该赛车在每个2 s内的速度构成等差数列an，且a110，d20.测试时间是30 s，则最后一个2 s内的速度是a15，测试距离S(a1a2a15)23 600(15101514220)23 6001.25(km)答案：1.25课后小结(1)推导等差数列前n项和公式的方法称为倒序相加法，在某些数列求和中也可能用到(2)等差数列的两个求和公式中，一共涉及a1，an，Sn，n，d五个量若已知其中三个量，通过方程思想可求另外两个量在利用求和公式时，要注意整体思想的应用，注意下面结论的运用：若mnpq，则anamapaq(n，m，p，qN)；若mn2p，则anam2ap.(3)求等差数列前n项和S
17、n的最值的常用方法有两种：用二次函数的性质求解；明确数列中的正项与负项，用负项之和最小，正项之和最大来解决(4)解决数列应用题时应分清：是否为等差数列问题；是通项问题还是求和问题素养培优忽略数列中为零的项致错设等差数列an的前n项和为Sn，且满足a10，S11S18，则当n为何值时Sn最大？易错分析 在求解等差数列前n项和Sn的最值时，容易忽略数列中为零的项而致错利用不等式组an0an10(或an0an10)求n的范围或利用二次函数的图像求解均可避免出错，考查图形应用的学科素养自我纠正 法一：由S11S18将11a155d18a1153d.即a114d0，所以d0，构建不等式组ana1（n1）d0an1a1nd0.即14d（n1）d0，14dnd0解得14n15.故当n14或n15时，Sn最大法二：由S11S18知a114d.所以Snna1n（n1）2d14dnn（n1）2dd2n29228418 d，由于nN，结合Sn对应的二次函数的图像知，当n14或n15时Sn最大法三：由S11S18知，a12a13a14a15a16a17a180，即7a150，所以a150，又a10，所以d0.故当n14或n15时，Sn最大.课时跟踪训练
