1、课时分层训练抓基础自主学习明考向题型突破第四章 平面向量、数系的扩充与复数的引入第二节 平面向量的基本定理及坐标表示 考纲传真 1.了解平面向量的基本定理及其意义.2.掌握平面向量的正交分解及其坐标表示.3.会用坐标表示平面向量的加法、减法与数乘运算.4.理解用坐标表示的平面向量共线的条件1平面向量基本定理(1)定理：如果 e1，e2 是同一平面内的两个_向量，那么对于这一平面内的任意向量 a，有且只有一对实数 1，2，使 a_.(2)基底：_的向量 e1，e2 叫做表示这一平面内所有向量的一组基底2平面向量的坐标表示在平面直角坐标系中，分别取与 x 轴、y 轴方向相同的两个单位向量 i，j作
2、为基底，该平面内的任一向量 a 可表示成 axiyj，由于 a 与数对(x，y)是一一对应的，把有序数对(x，y)叫做向量 a 的坐标，记作 a_，其中 a 在 x轴上的坐标是 x，a 在 y 轴上的坐标是 y.不共线不共线(x，y)1e12e23平面向量的坐标运算(1)向量加法、减法、数乘及向量的模设 a(x1，y1)，b(x2，y2)，则ab_，ab_，a_，|a|_.x21y21(x1x2，y1y2)(x1x2，y1y2)(x1，y1)(2)向量坐标的求法若向量的起点是坐标原点，则终点坐标即为向量的坐标设 A(x1，y1)，B(x2，y2)，则AB_，|AB|_.4平面向量共线的坐标表示
3、设 a(x1，y1)，b(x2，y2)，其中 b0.a，b 共线_.(x2x1，y2y1)x2x12y2y12x1y2x2y101(思考辨析)判断下列结论的正误(正确的打“”，错误的打“”)(1)平面内的任何两个向量都可以作为一组基底()(2)在ABC 中，设ABa，BCb，则向量 a 与 b 的夹角为ABC.()(3)若 a，b 不共线，且 1a1b2a2b，则 12，12.()(4)若 a(x1，y1)，b(x2，y2)，则 ab 的充要条件可以表示成x1x2y1y2.()答案(1)(2)(3)(4)2已知平面向量 a(2，1)，b(1,3)，那么|ab|等于 ()A5 B.13 C.17
4、 D13B 因为 ab(2，1)(1,3)(3,2)，所以|ab|3222 13.3(2015全国卷)已知点 A(0,1)，B(3,2)，向量AC(4，3)，则向量BC()A(7，4)B(7,4)C(1,4)D(1,4)A AB(3,2)(0,1)(3,1)，BCACAB(4，3)(3,1)(7，4)故选 A.4(2016全国卷)已知向量 a(m,4)，b(3，2)，且 ab，则 m_.6 a(m,4)，b(3，2)，ab，2m430，m6.5(教材改编)已知ABCD 的顶点 A(1，2)，B(3，1)，C(5,6)，则顶点D 的坐标为_(1,5)设 D(x，y)，则由ABDC，得(4,1)(
5、5x,6y)，即45x，16y，解得x1，y5.平面向量基本定理及其应用(1)如果 e1，e2 是平面 内一组不共线的向量，那么下列四组向量中，不能作为平面内所有向量的一组基底的是 ()Ae1 与 e1e2Be12e2 与 e12e2Ce1e2 与 e1e2De13e2 与 6e22e1(2)(2016山西晋中四校联考)在平行四边形 ABCD 中，E 和 F 分别是边 CD和 BC 的中点，若ACAEAF，其中，R，则 _.(1)D(2)43(1)选项 A 中，设 e1e2e1，则1，10无解；选项 B 中，设 e12e2(e12e2)，则1，22 无解；选项 C 中，设 e1e2(e1e2)
6、，则1，1 无解；选项 D 中，e13e212(6e22e1)，所以两向量是共线向量(2)选择AB，AD 作为平面向量的一组基底，则ACABAD，AE12ABAD，AFAB12AD，又ACAEAF12 AB12 AD，于是得121，121，解得23，23，所以 43.规律方法 1.利用平面向量基本定理表示向量时，要选择一组恰当的基底来表示其他向量，即用特殊向量表示一般向量2利用已知向量表示未知向量，实质就是利用三角形法则进行向量的加减运算，在解题时，注意方程思想的运用如解答本题(2)的关键是根据平面向量基本定理列出关于，的方程组变式训练 1 如图 4-2-1，在梯形 ABCD 中，ADBC，且
7、 AD13BC，E，F 分别为线段 AD 与 BC 的中点设BAa，BC b，则 EF _，DF _，CD _(用向量 a，b 表示)图 4-2-113ba 16ba a23b EFEAABBF16ba12b13ba，DF DE EF16b13ba 16ba，CD CFFD 12b16ba a23b.平面向量的坐标运算 已知 A(2,4)，B(3，1)，C(3，4)设ABa，BCb，CAc，且CM 3c，CN 2b，(1)求 3ab3c；(2)求满足 ambnc 的实数 m，n；(3)求 M，N 的坐标及向量MN 的坐标解 由已知得 a(5，5)，b(6，3)，c(1,8).2 分(1)3ab
8、3c3(5，5)(6，3)3(1,8)(1563，15324)(6，42).5 分(2)mbnc(6mn，3m8n)，6mn5，3m8n5，解得m1，n1.8 分(3)设 O 为坐标原点CM OM OC 3c，OM 3cOC(3,24)(3，4)(0,20)M(0,20).10 分又CN ON OC 2b，ON 2bOC(12,6)(3，4)(9,2)，N(9,2)，MN(9，18).12 分规律方法 1.向量的坐标运算主要是利用向量加、减、数乘运算的法则来进行求解的，若已知有向线段两端点的坐标，则应先求向量的坐标常利用向量相等则其坐标相同列方程(组)求解2平面向量的坐标运算的引入为向量提供了
9、新的语言“坐标语言”，实质是“形”化为“数”向量的坐标运算，使得向量的线性运算都可用坐标来进行，实现了向量运算完全代数化，将数与形紧密结合起来变式训练 2(2017合肥三次质检)已知 a(1，t)，b(t，6)，则|2ab|的最小值为_2 5 由条件得 2ab(2t,2t6)，所以|2ab|2t22t625t2220，当 t2 时，|2ab|的最小值为 2 5.平面向量共线的坐标表示(1)已知向量 a(1,1)，b(3，m)，若 a(ab)，则 m()A2 B2 C3 D3(2)已知梯形 ABCD，其中 ABCD，且 DC2AB，三个顶点 A(1,2)，B(2,1)，C(4,2)，则点 D 的
10、坐标为_(1)C(2)(2,4)(1)由题意可知 ab(2,1m)，a(ab)，2(m1)0m3.(2)在梯形 ABCD 中，DC2AB，DC 2AB.设点 D 的坐标为(x，y)，则DC(4,2)(x，y)(4x,2y)AB(2,1)(1,2)(1，1)，(4x,2y)2(1，1)，即(4x,2y)(2，2)，4x2，2y2，解得x2，y4，故点 D 的坐标为(2,4)规律方法 1.两平面向量共线的充要条件有两种形式：(1)若 a(x1，y1)，b(x2，y2)，则 ab 的充要条件是 x1y2x2y10；(2)若 ab(a0)，则 ba.2向量共线的坐标表示既可以判定两向量平行，也可以由平
11、行求参数当两向量的坐标均非零时，也可以利用坐标对应成比例求解 变式训练 3 (1)(2017郑州模拟)已知向量 a(1sin，1)，b12，1sin ，若 ab，则锐角 _.(2)已知向量OA(1，3)，OB(2，1)，OC(k1，k2)，若 A，B，C 三点能构成三角形，则实数 k 应满足的条件是_.【导学号：31222146】(1)4(2)k1(1)由 ab，得(1sin)(1sin)12，所以 cos212，所以 cos 22 或 22，又 为锐角，所以 4.(2)若点 A，B，C 能构成三角形，则向量AB，AC不共线因为ABOB OA(2，1)(1，3)(1,2)，ACOC OA(k1
12、，k2)(1，3)(k，k1)，所以 1(k1)2k0，解得 k1.思想与方法1平面向量基本定理实质上是平面向量的分解定理，是平面向量正交分解、坐标表示的理论基础，用平面向量基本定理可将平面内任一向量分解成形如 a1e12e2 的形式2利用平面向量共线的坐标表示既可以证明向量平行、点共线，也可以由平行求点的坐标或参数值3若 a 与 b 不共线，ab0，则 0.易错与防范1在平面直角坐标系中，以原点为起点的向量OA a，点 A 的位置被向量 a 唯一确定，此时点 A 的坐标与 a 的坐标统一为(x，y)但表示形式与意义不同，如点 A(x，y)，向量 aOA(x，y)，向量坐标中既有大小信息又有方向信息2若 a，b 为非零向量，当 ab 时，a，b 的夹角为 0或 180，求解时容易忽视其中一种情形致误3若 a(x1，y1)，b(x2，y2)，则 ab的充要条件不能表示成x1x2y1y2，因为 x2，y2 有可能等于 0，应表示为 x1y2x2y10.课时分层训练（二十五）点击图标进入
