1、要点导学各个击破简单的线性规划问题(2014全国卷) 设x,y满足约束条件 那么z=2x-y的最大值为.思维引导线性规划问题处理的基本步骤:先画可行域,再将目标函数中令x=0得z与在y轴上的截距的关系,最后得到相应的最值或范围.答案8解析作出可行域如图中阴影部分所示,y=2x-z,根据目标函数的几何意义可知,z在点A(5,2)处取得最大值,故zmax=25-2=8.(例1)已知x,y满足约束条件那么z=x+y的最大值为.答案解析作出可行域如图中阴影部分所示,由z=x+y,得y=-x+z,平移直线y=-x+z,由图象可知当直线y=-x+z经过点B时,直线y=-x+z的截距最大,即z最大.由解得即
2、B,代入z=x+y得z=+=.(变式)非线性目标函数的最值问题已知a,b是正数,且满足2a+2b4,那么a2+b2的取值范围是.思维引导设P(a,b),则a2+b2表示区域内的动点P(a,b)到原点距离的平方,作出不等式组对应的平面区域,然后求出a2+b2的取值范围.答案解析原不等式组等价为作出可行区域如图中阴影部分所示,a2+b2表示区域内的动点P(a,b)到原点距离的平方,由图象可知当P在D点时,a2+b2最大,此时a2+b2=42=16,原点到直线a+2b-2=0的距离最小,此时d=,a2+b2=d2=,即a2+b2的取值范围是.(例2)精要点评本题与常规线性规划问题不同,主要是目标函数
3、不是直线形式,此类问题常考虑目标函数的几何意义,常见代数式的几何意义主要有以下几点:(1)表示点(x,y)与原点(0,0)的距离,表示点(x,y)与点(a,b)的距离;(2) 表示点(x,y)与原点(0,0)连线的斜率,表示点(x,y)与点(a,b)连线的斜率.这些代数式的几何意义能使所求问题得以转化,往往是解决问题的关键.已知x,y满足那么的取值范围是.答案解析由题意作出可行域如图中阴影部分所示.(变式)即为可行域内任一点与点(4,2)连线的斜率k的取值范围,由图象可得k.整点最优解问题小明准备用积攒的300元零用钱买一些科普书和文具,作为礼品送给山区的学生.已知科普书每本6元,文具每套10
4、元,并且买文具的钱不少于买科普书的钱,那么最多可以买的科普书与文具的总数是.答案40解析设买科普书x本与文具y套,总数为z=x+y.由题意得作出可行域如图中阴影部分所示,将z=x+y化为y=-x+z,作直线y=-x并平移,易知y=-x+z经过点A(15,25)时,纵截距最大.此时z最大,为40.经检验符合题意.(例3)设z=x+2y,求满足时z的最大值.解答作出表示的区域如图中阴影部分所示.解方程组得C.作出一组平行直线x+2y=z,当经过C时,有最大值,但此时点C不是整点.由图象知,当直线过点(2,3)时,有最大值,从而z有最大值,最大值为2+23=8.(变式)线性规划的实际应用(2014执
5、信中学)某公司租赁甲、乙两种设备生产A、B两类产品,甲种设备每天能生产A类产品5件和B类产品10件,乙种设备每天能生产A类产品6件和B类产品20件.已知设备甲每天的租赁费为200元,设备乙每天的租赁费为300元,现该公司至少要生产A类产品50件,B类产品140件,所需租赁费最少为元.答案2 300解析设该公司需租赁甲设备x台,乙设备y台,则有,目标函数为z=200x+300y=100(2x+3y),作出可行域如图中阴影部分所示,作直线l0:3x+2y=0,平移直线l0,易知y=100(2x+3y)在点A处取得最小值,联立解得即点A(4,5),即zmin=100(24+35)=2 300.(例4
6、)精要点评解线性规划实际问题时,首先设出变量,找出变量间的关系即约束条件,然后确定目标函数并画出可行域最终求得最优解并作答.线性规划实际问题的常见类型有:(1) 任务安排问题;(2) 配料问题;(3) 落料问题;(4) 布局问题;(5) 库存问题.雾霾严重影响人们生活,某科技公司拟投资开发新型节能环保产品,策划部制定投资计划时,不仅要考虑可能获得的盈利,而且还要考虑可能出现的亏损,经过市场调查,公司打算投资甲、乙两个项目,根据预测,甲、乙项目可能的最大盈利率分别为100%和60%,可能的最大亏损率分别为20%和10%,投资人计划投资金额不超过10万元,并确保可能的资金亏损不超过1.6万元.(1
7、) 若投资人用x万元投资甲项目,y万元投资乙项目,试写出x,y所满足的条件,并在平面直角坐标系内作出表示x,y范围的图形;(2) 根据(1)的规划,投资公司对甲、乙两个项目投资多少万元,才能使可能的盈利最大?解答(1) 由题意得不等式组表示的平面区域如图(1)中阴影部分(含边界)所示. 图(1) 图(2)(变式)(2) 目标函数为z=x+0.6y,如图(2),作直线l0:x+0.6y=0,并平移,当经过直线x+y=10与0.2x+0.1y=1.6的交点A时其截距最大,解方程组得即A(6,4).此时z=6+0.64=8.4(万元),所以当x=6,y=4时,z取得最大值,即投资人用6万元投资甲项目
8、,4万元投资乙项目,才能确保亏损不超过1.6万元,使可能的利润最大.某小型工厂安排甲、乙两种产品的生产,已知工厂生产甲、乙两种产品每吨所需要的原材料A,B,C的数量和一周内可用资源数量如下表所示:原材料甲(t)乙(t)资源数量(t)A1150B40160C25200如果甲产品每吨的利润为300元,乙产品每吨的利润为200元,那么应如何安排生产,工厂每周才可获得最大利润?规范答题设工厂一周内安排生产甲产品x t、乙产品y t,所获周利润为z元.(2分)依据题意,得目标函数为z=300x+200y,(4分)约束条件为 (8分)(范题赏析)画出可行域,如图中阴影部分所示.可求得A(40,0),B(4
9、0,10),C,D(0,40).将直线300x+200y=0向上平移,可以发现,经过可行域中的点B时,函数z=300x+200y的值最大,最大值为14 000元.(12分)所以工厂每周生产甲产品40 t、乙产品10 t时,工厂可获得的周利润最大.(14分)1. (2014安徽卷)不等式组表示的平面区域的面积为.答案4解析作出可行域如图中阴影部分所示,则其表示的面积SABC=SABD+SACD=22+22=4.(第1题)2. 在平面直角坐标系xOy中,M为不等式组所表示的区域上一动点,则直线OM斜率的最小值为.(第2题)答案-解析作出可行域如图中阴影部分所示.联立解得P(3,-1),当点M与点P
10、重合时,直线OM的斜率最小,此时kOM=-.3. (2014福建卷)若变量x,y满足约束条件则z=3x+y的最小值为.答案1解析作出可行域如图中阴影部分所示,把z=3x+y变形为y=-3x+z,则当直线y=-3x+z经过点A(0,1)时,z取得最小值,即zmin=1.(第3题)4. 设z=kx+y,其中实数x,y满足若z的最大值为12,则实数k=.答案2解析作出可行域如图中阴影部分所示,易得A(2,0),B(4,4),C(0,2),要使z的最大值为12,只能z=kx+y经过点B,此时12=4k+4,解得k=2.(第4题)温馨提醒趁热打铁,事半功倍.请老师布置同学们完成配套检测与评估中的练习(第91-92页).