1、四川省自贡市田家炳中学2019-2020学年高一数学下学期期中试题（含解析）一、选择题（每小题5分，共60分）1.已知向量，.若,则x =A. 1B. C. D. 1【答案】D【解析】由得，解得，故选D考点定位：本题是平面向量问题，意在考查学生对于平面向量点乘知识的理解2.已知等差数列的前三项依次为，则数列的通项公式是（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】由条件可得，解得为任意实数，故可得等差数列的前三项，由此求得数列的通项公式【详解】解：已知等差数列的前三项依次为，故有，解得为任意实数，故等差数列的前三项依次为，故数列是以为首项，以2为公差的等差数列，故通项公式，故选：D【
2、点睛】本题主要考查等差数列的定义和性质，等差数列的通项公式，属于基础题3.已知等差数列中，则等于（ ）A. B. C. D. 72【答案】C【解析】【分析】由等差数列的性质可求得，从而有，由等差数列的前项和公式即可求得答案.【详解】解：因为等差数列中，即，故选：C【点睛】本题考查等差数列的性质，掌握等差数列的性质与前n项和公式是解决问题的关键，属于中档题.4.如果向量，满足，且，则和的夹角大小为（ ）A. 30B. 45C. 75D. 135【答案】B【解析】【分析】求两向量的夹角需要求出两向量的内积与两向量的模的乘积，由题意两向量的模已知，故由两向量的垂直这个条件求出两个向量的内积即可【详解
3、】解：由题意故，即故两向量夹角的余弦值为故两向量夹角的取值范围是故选：【点睛】本题考点是数量积表示两个向量的夹角，考查利用向量内积公式的变形形式求向量夹角的余弦，并进而求出两向量的夹角属于基础公式应用题5.等差数列中，已知前13项和，则（ ）A. 10B. C. 5D. 15【答案】C【解析】【分析】由，可求【详解】解：由等差数列的求和公式可知，故选：【点睛】本题主要考查了等差数列的求和公式及等差数列的性质的应用，属于基础题6.若三个数成等比数列，它们的和等于14，它们的积等于64，则这三个数是（ ）A. 2，4，8B. 8，4，2C. 2，4，8或8，4，2D. 2，8【答案】C【解析】【分
4、析】由已知结合等比数列的性质即可直接求解【详解】解：设这三个数分别为，则由题意可得，且，解可得，或故选：C【点睛】本题主要考查了等比数列的性质的简单应用，属于基础题7.已知、分别为的边、上的中线，设,则等于（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】如图所示, ,则可得,将,代入式子中整理即可求出.【详解】解:如图所示:,又因为，则上式化为,整理可得.故选:B【点睛】本题考查了向量的三角形法则、向量共线定理、平面向量基本定理，考查了推理能力与计算能力,属于中档题.8.已知数列满足递推关系，则（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】两边取倒数，可得新的等差数列，根据等
5、差数列的通项公式，可得结果.【详解】由，所以则，又，所以所以数列是以2为首项，1为公比的等差数列所以，则所以故选：B【点睛】本题主要考查由递推公式得到等差数列，难点在于取倒数，学会观察，属基础题.9.设点A（1，2）、B（3，5），将向量按向量=（1，1）平移后得到为( )A. （1，2）B. （2，3）C. （3，4）D. （4，7）【答案】B【解析】【分析】根据向量是既有大小又有方向的量,向量的要素是大小、方向;向量平移后为相等向量,故坐标相同.【详解】A（1，2）、B（3，5），（3，5）（1，2）=（2，3），将向量向左平移1个单位，再向下平移1个单位得到，则与的方向相同，大小相等，只
6、是位置不同，于是（2，3），故选B【点睛】本题考查向量的性质:平移只改变位置不改变坐标,属于基础题.10.若(，2)，(3,5)，且与的夹角是钝角，则的取值范围是()A. B. C. D. 【答案】A【解析】由题意可得： ，求解关于 的不等式可得的取值范围是 .本题选择A选项.11.等差数列满足，则其前10项之和为（）A. 9B. 15C. 15D. 【答案】D【解析】由已知(a4a7)29，所以a4a73，从而a1a103.所以S101015故选D.12.在各项均为正数的等比数列中，公比，若，数列的前项和为，则取最大值时，的值为（ ）A. B. C. D. 或【答案】D【解析】【分析】利用等
7、比数列的性质求出、的值，可求出和的值，利用等比数列的通项公式可求出，由此得出，并求出数列的前项和，然后求出，利用二次函数的性质求出当取最大值时对应的值.【详解】由题意可知，由等比数列的性质可得，解得，所以，解得，则数列为等差数列，因此，当或时，取最大值，故选D.【点睛】本题考查等比数列的性质，同时也考查了等差数列求和以及等差数列前项和的最值，在求解时将问题转化为二次函数的最值求解，考查方程与函数思想的应用，属于中等题.二、填空题（每小题5分，共20分）13.已知向量和向量的夹角为，则向量和向量的数量积= 【答案】3【解析】试题分析：由数量积的运算公式可得：考点：向量的数量积14.已知非零向量，
8、若|1，且，(23)(k4)，则实数k的值为_【答案】6【解析】【分析】利用（23）（k4），结合数量积直接求出k的值即可【详解】由(23)(k4)2ka212b22k120，k6.故答案为6.【点睛】本题是基础题，考查向量的数量积的应用，两向量垂直，其数量积为0是解决本题的关键15.已知数列的前项和，则该数列的通项公式_【答案】【解析】【分析】根据求出；利用得到，证得数列为等比数列；再根据等比数列通项公式写出结果.【详解】由得：，即又，则由此可得，数列是以为首项，为公比的等比数列则本题正确结果：【点睛】本题考查等比数列通项公式求解问题，关键是能够利用证得数列为等比数列，即符合递推关系符合等比
9、数列定义的形式.16.已知数列满足：，则使成立的的最大值为_【答案】4【解析】【分析】从得到关于的通项 公式后可得的通项公式，解不等式后可得使成立的的最大值.【详解】易知等差数列，首项为，公差为1，令，.故答案为 4【点睛】本题考查等差数列的通项的求法及数列不等式的解，属于容易题.三、解答题（共70分）17.已知，在同一平面内，且.（1）若，且，求；（2）若，且，求与的夹角.【答案】（1）或（2）.【解析】【分析】（1）设，根据，得到 ，再根据，建立方程组求解.（2）根据，得到，结合，求得，再求夹角.【详解】（1）设，即，或或.（2），即又，.【点睛】本题主要考查平面向量的基本运算，还考查了运
10、算求解的能力，属于中档题.18.已知，与的夹角为，当实数为何值时，（1）；（2）.【答案】（1）；（2）【解析】试题分析：（1）利用平面向量共线判定条件进行求解；（2），利用平面向量的数量积为0进行求解试题解析：（1）若，则存在实数，使，即，则，解得得；（2）若，则，解得.考点：1.平面向量共线的判定；2.平面向量垂直的判定19.已知，（1）求与的夹角；（2）求与的夹角的余弦值【答案】（1）；（2）【解析】【分析】（1）将展开求出，再利用夹角公式求求与的夹角；（2）根据已知条件分别求出与的模，再用夹角公式与的夹角【详解】（1），设与的夹角为，则，而，（2）设与的夹角为，则，考点：1、向量数量积
11、；2、向量的模；3、夹角公式20.设数列的前项和为，数列的前项和为，满足.（1）求的值；（2）求数列的通项公式.【答案】（1）；（2）【解析】试题分析：（1）由题n=1可得，不难得到；（2）由题，两式相减可得，然后根据数列求和递推关系可以得到，进而得到.试题解析：（1）当n=1时，；（2）所以是以3为首项，2为公比的等比数列，.考点：数列递推关系求和【方法点睛】由数列的递推公式求通项公式时，若递推关系为an1anf(n)或an1f(n)an，则可以分别通过累加、累乘法求得通项公式，另外，通过迭代法也可以求得上面两类数列的通项公式，(如角度二)，注意：有的问题也可利用构造法，即通过对递推式的等价
12、变形，(如角度三、四)转化为特殊数列求通项21.已知公差不为0的等差数列的首项为a（，且），且，成等比数列.（1）求数列的通项公式；（2）记（），求前n项和.【答案】（1）；（2）【解析】【分析】（1）设等差数列的公差为，由题意可知，可得即通项公式（1）首先求出数列的通项，再根据等比数列的前n项和公式计算可得；【详解】解：（1）设等差数列的公差为，由题意可知，即，从而，因为，所以故通项公式（2）由（1）知，所以，所以所以【点睛】本题考查了等差、等比数列的性质，数列求和，考查了计算能力，属于基础题22.某公司生产一种产品，第一年投入资金1000万元，出售产品收入40万元，预计以后每年的投入资金是
13、上一年的一半，出售产品所得收入比上一年多80万元，同时，当预计投入的资金低于20万元时，就按20万元投入，且当年出售产品收入与上一年相等.（1）求第年的预计投入资金与出售产品的收入；（2）预计从哪一年起该公司开始盈利？（注：盈利是指总收入大于总投入）【答案】（1），；（2）第8年.【解析】试题分析：（1）设n年的投入资金和收入金额分别为，根据题意可得是首项为1000，公比是的等比数列，是首项为40，公差为80的等差数列，问题得以解决.（2）根据等差数列的求和公式等比数列的求和公式得到，再根据数列的函数特征，即可求出答案试题解析：（1）设第年的投入资金和收入金额分别为万元，万元.依题意得，当投入的资金不低于20万元，即时，此时，是首项为1000，公比为的等比数列；是首项为40，公差为80的等差数列，所以，令，得，解得，所以，.（2）由（1）可知当时，总利润，所以，因为为增函数，所以，当时，；当时，又因为，所以，当时，即前6年未盈利，当时，令，得.综上，预计该公司从第8年起开始盈利.