1、2.4平面向量的数量积24.1平面向量数量积的物理背景及其含义【课时目标】1.通过物理中“功”等实例，理解平面向量数量积的含义及其物理意义.2.体会平面向量的数量积与向量投影的关系.3.掌握向量数量积的运算律【知识梳理】1平面向量数量积(1)定义：已知两个非零向量a与b，我们把数量_叫做a与b的数量积(或内积)，记作ab，即ab|a|b|cos ，其中是a与b的夹角(2)规定：零向量与任一向量的数量积为_(3)投影：设两个非零向量a、b的夹角为，则向量a在b方向的投影是_，向量b在a方向上的投影是_2数量积的几何意义ab的几何意义是数量积ab等于a的长度|a|与b在a的方向上的投影_的乘积3向
2、量数量积的运算律(1)ab_(交换律)；(2)(a)b_(结合律)；(3)(ab)c_(分配律)【作业反馈】一、选择题1|a|2，|b|4，向量a与向量b的夹角为120，则向量a在向量b方向上的投影等于()A3 B2 C2 D12已知ab，|a|2，|b|3，且3a2b与ab垂直，则等于()A. B C D13已知向量a，b满足ab0，|a|1，|b|2，则|2ab|等于()A0 B2 C4 D84在边长为1的等边ABC中，设a，b，c，则abbcca等于()A B0 C. D35若非零向量a，b满足|a|b|，(2ab)b0，则a与b的夹角为()A30 B60 C120 D1506若向量a与
3、b的夹角为60，|b|4，(a2b)(a3b)72，则向量a的模为()A2 B4 C6 D12题号123456答案二、填空题7已知向量a与b的夹角为120，且|a|b|4，那么b(2ab)的值为_8给出下列结论：若a0，ab0，则b0；若abbc，则ac；(ab)ca(bc)；ab(ac)c(ab)0.其中正确结论的序号是_9设非零向量a、b、c满足|a|b|c|，abc，则a，b_.10已知a是平面内的单位向量，若向量b满足b(ab)0，则|b|的取值范围是_三、解答题11已知|a|4，|b|3，当(1)ab；(2)ab；(3)a与b的夹角为60时，分别求a与b的数量积12已知|a|b|5，
4、向量a与b的夹角为，求|ab|，|ab|.能力提升13已知|a|1，|b|1，a，b的夹角为120，计算向量2ab在向量ab方向上的投影14设n和m是两个单位向量，其夹角是60，求向量a2mn与b2n3m的夹角【归纳总结】1两向量a与b的数量积是一个实数，不是一个向量，其值可以为正(当a0，b0,090时)，也可以为负(当a0，b0,90180时)，还可以为0(当a0或b0或90时)2数量积对结合律一般不成立，因为(ab)c|a|b|cosa，bc是一个与c共线的向量，而(ac)b|a|c|cosa，cb是一个与b共线的向量，两者一般不同3向量b在a上的射影不是向量而是数量，它的符号取决于角，
5、注意a在b方向上的射影与b在a方向上的射影是不同的，应结合图形加以区分2.4平面向量的数量积24.1平面向量数量积的物理背景及其含义答案【知识梳理】1(1)|a|b|cos (2)0(3)|a|cos |b|cos 2|b|cos 3.(1)ba(2)(ab)a(b)(3)acbc【作业反馈】1Da在b方向上的投影是|a|cos 2cos 1201.2A(3a2b)(ab)3a2(23)ab2b23a22b212180.3B|2ab|2(2ab)24|a|24ab|b|2414048，|2ab|2.4Aab|cos 60.同理bc，ca，abbcca.5C由(2ab)b0，得2abb20，设a
6、与b的夹角为，2|a|b|cos |b|20.cos ，120.6Cab|a|b|cos 602|a|，(a2b)(a3b)|a|26|b|2ab|a|22|a|9672.|a|6.70解析b(2ab)2ab|b|2244cos 120420.8解析因为两个非零向量a、b垂直时，ab0，故不正确；当a0，bc时，abbc0，但不能得出ac，故不正确；向量(ab)c与c共线，a(bc)与a共线，故不正确；正确，ab(ac)c(ab)(ab)(ac)(ac)(ab)0.9120解析abc，|c|2|ab|2a22abb2.又|a|b|c|，2abb2，即2|a|b|cosa，b|b|2.cosa，
7、b，a，b120.100,1解析b(ab)ab|b|2|a|b|cos |b|20，|b|a|cos cos (为a与b的夹角)，0，0|b|1.11解(1)当ab时，若a与b同向，则a与b的夹角0，ab|a|b|cos 43cos 012.若a与b反向，则a与b的夹角为180，ab|a|b|cos 18043(1)12.(2)当ab时，向量a与b的夹角为90，ab|a|b|cos 904300.(3)当a与b的夹角为60时，ab|a|b|cos 60436.12解ab|a|b|cos 55.|ab|5.|ab|5.13解(2ab)(ab)2a22ababb22a2abb221211cos 12012.|ab|1.|2ab|cos2ab，ab|2ab|.向量2ab在向量ab方向上的投影为.14解|n|m|1且m与n夹角是60，mn|m|n|cos 6011.|a|2mn| ，|b|2n3m| ，ab(2mn)(2n3m)mn6m22n26121.设a与b的夹角为，则cos .又0，故a与b的夹角为.