1、第二章 圆锥曲线与方程2.1 椭圆2.1.2 椭圆的简单几何性质第1课时 椭圆的简单几何性质A级基础巩固一、选择题1椭圆25x29y2225的长轴长、短轴长、离心率依次是()A5，3，0.8B10，6，0.8C5，3，0.6 D10，6，0.6解析：将方程25x29y2225化为椭圆的标准方程为1，所以a5，b3，c4，所以e0.8，长轴长2a10，短轴长2b6.故选B.答案：B2曲线1与曲线1(k9)的()A长轴长相等 B短轴长相等C离心率相等 D焦距相等解析：两方程都表示椭圆，由方程可知c2都为16，所以焦距2c相等答案：D3椭圆以两条坐标轴为对称轴，一个顶点是(0，13)，另一个顶点是(
2、10，0)，则焦点坐标为()A(13，0) B(0，10)C(0，13) D(0，)解析：由题意知椭圆焦点在y轴上，且a13，b10，则c，故焦点坐标为(0，)答案：D4已知中心在原点的椭圆C的右焦点为F(1，0)，离心率等于，则椭圆C的方程是()A.1 B.1C.1 D.1解析：设椭圆C的方程为1(ab0)，则c1，e，所以 a2，b，所以 椭圆C的方程是1.答案：D5(2017全国卷)已知椭圆C：1(ab0)的左、右顶点分别为A1，A2，且以线段A1A2为直径的圆与直线bxay2ab0相切，则C的离心率为()A.B.C.D.解析：以线段A1A2为直径的圆的圆心为坐标原点O(0，0)，半径为
3、a.由题意，圆心到直线bxay2ab0的距离为da，则a23b2.又e21，所以e，故选A.答案：A二、填空题6已知椭圆C：x23y23，则椭圆C的离心率为_解析：椭圆C的标准方程为y21，所以a，b1，c，故e.答案：7已知椭圆的短半轴长为1，离心率0e.则长轴长的取值范围为_解析：因为0e，所以 0e2.又因为e21，b1，而01，所以 10，所以 1，所以 1a24，而1a2所以 长轴长2a(2，4答案：(2，48若椭圆1的离心率e，则k的值等于_解析：分两种情况进行讨论：当焦点在x轴上时，a2k8，b29，得c2k1，又因为e，所以 ，解得k4。当焦点在y轴上时，a29，b2k8，得c
4、21k，又因为e，所以 ，解得k.所以 k4或k答案：4或三、解答题9分别求适合下列条件的椭圆的标准方程：(1)离心率是，长轴长是6；(2)在x轴上的一个焦点与短轴两个端点的连线互相垂直，且焦距为6.解：(1)设椭圆的方程为1(ab0)或1(ab0)由已知得2a6，e，所以 a3，c2.所以 b2a2c2945.所以 椭圆方程为1或1.(2)设椭圆方程为1(ab0)如图所示，A1FA2为一等腰直角三角形，OF为斜边A1A2上的中线(高)，且|OF|c，|A1A2|2b，所以 cb3所以 a2b2c218，故所求椭圆的方程为1.10.如图所示，椭圆的中心在原点，焦点F1，F2在x轴上，A，B是椭
5、圆的顶点，P是椭圆上一点，且PF1x轴，PF2AB，求此椭圆的离心率解：由题意可设椭圆的方程为1(ab0)如题图所示，则有F1(c，0)，F2(c，0)，A(0，b)，B(a，0)，直线PF1的方程为xc，代入方程1，得y，所以P.又PF2AB，所以PF1F2AOB.所以，所以，所以b2c.所以b24c2，所以a2c24c2，所以.所以e.B级能力提升1设椭圆的两个焦点分别为F1，F2，过F2作椭圆长轴的垂线交椭圆于点P，若F1PF2为等腰直角三角形，则椭圆的离心率为()A. B.C2 D.1解析：因为|F1F2|2c，|PF2|2c，所以|PF1|F1F2|2c.所以|PF1|PF2|2c2
6、c.又|PF1|PF2|2a，所以2c2c2a.所以1，即e1.答案：D2已知AB为过椭圆1中心的弦，F(c，0)为椭圆的右焦点，则AFB面积的最大值为()Ab2 Bab Cac Dbc解析：设A的坐标为(x，y)，则根据对称性得B(x，y)则AFB面积S|OF|2 y|c|y|由椭圆图象知，当A点在椭圆的顶点时，其AFB面积最大值为bc.答案：D3.如图，已知椭圆1(ab0)，F1，F2分别为椭圆的左、右焦点，A为椭圆的上顶点，直线AF2交椭圆于另一点B.(1)若F1AB90，求椭圆的离心率；(2)若2，求椭圆的方程解：(1)若F1AB90，则AOF2为等腰直角三角形，所以有|OA|OF2|，即bc.所以ac，e.(2)由题意知A(0，b)，F1(c，0)，F2(c，0)其中c，设B(x，y). 因为2即(c，b)2(xc，y)，所以解得x，y，即B.将B点坐标代入1，得1，即1，解得a23c2.又由(c，b)得b2c21，即有a22c21.由解得c21，a23，从而有b22.所以椭圆方程为1.