1、高考资源网（） 您身边的高考专家2.2.2 反证法考点一：用反证法证明否定性命题1.设an是公比为q的等比数列，Sn是它的前n项和(1)求证：数列Sn不是等比数列；(2)数列Sn是等差数列吗？为什么？分析本题(1)是否定性命题，可以尝试反证法解析(1)证法1：(反证法)若Sn是等比数列，则SS1S3，即a(1q)2a1a1(1qq2)a10，(1q)21qq2，即q0，这与q0矛盾，故Sn不是等比数列证法2：只需证明SnSn2S，Sn1a1qSn，Sn2a1qSn1，SnSn2SSn(a1qSn1)(a1qSn)Sn1a1(SnSn1)a1an10.(2)当q1时，Sn是等差数列当q1时，Sn
2、不是等差数列，否则S1，S2，S3成等差数列即2S2S1S3，2a1(1q)a1a1(1qq2)来源:学科网ZXXK由于a10，2(1q)2qq2，qq2，q1，q0，与q0矛盾2.平面上有四个点，没有三点共线证明以每三点为顶点的三角形不可能都是锐角三角形证明假设以每三点为顶点的四个三角形都是锐角三角形，记这四个点为A、B、C、D.考虑ABC，点D在ABC之内或之外两种情况(1)如果点D在ABC之内(图1)，根据假设以D为顶点的三个角都是锐角，其和小于270，这与一个圆周角等于360矛盾(2)如果点D在ABC之外(图2)，根据假设BAD、B、BCD、D都小于90，这和四边形内角之和等于360矛
3、盾综上所述，原结论成立.考点二：用反证法证明“至多”“至少”等类型问题1. 设f(x)x2bxc，x1,1，证明：b2时，在其定义域范围内至少存在一个x，使|f(x)|成立证明假设不存在x1,1上一个x满足|f(x)|.则对于x1,1上任意x，都有f(x)成立当b1，f(x)在x1,1上是单调递减函数，b与b2矛盾假设不成立，因此当b0.与假设矛盾，所以假设不成立故原命题成立即a，b，c至少有一个大于0.考点三：用反证法证明唯一性问题1.已知：一点A和平面.求证：经过点A只能有一条直线和平面垂直解析根据点A和平面的位置关系，分两种情况证明(1)如图1，点A在平面内，假设经过点A至少有平面的两条
4、垂线AB、AC，那么AB、AC是两条相交直线，它们确定一个平面，平面和平面相交于经过点A的一条直线a.因为AB平面，AC平面，a，所以ABa，ACa，在平面内经过点A有两条直线都和直线a垂直，这与平面几何中经过直线上一点只能有已知直线的一条垂线相矛盾(2)如图2，点A在平面外，假设经过点A至少有平面的两条垂线AB和AC(B、C为垂足)，那么AB、AC是两条相交直线，它们确定一个平面，平面和平面相交于直线BC，因为AB平面，AC平面，BC，所以ABBC，ACBC.在平面内经过点A有两条直线都和BC垂直，这与平面几何中经过直线外一点只能有已知直线的一条垂线相矛盾综上，经过一点A只能有平面的一条垂线
5、2.求证：两条相交直线有且只有一个交点证明假设结论不成立，即有两种可能：无交点；不只有一个交点(1)若直线a，b无交点，那么ab或a，b是异面直线，与已知矛盾；(2)若直线a，b不只有一个交点，则至少有两个交点A和B，这样同时经过点A，B就有两条直线，这与“经过两点有且只有一条直线”相矛盾故假设不成立，原命题正确考点四：反证法的综合应用1.已知0x0或f(x0)x01，由f(x)在1，)上为增函数，则f(f(x0)f(x0)，来源:学&科&网Z&X&X&K又f(f(x0)x0，x0f(x0)，与假设矛盾，若x0f(x0)1，则f(x0)f(f(x0)，又f(f(x0)x0，f(x0)x0也与假设矛盾综上所述，当x01，f(x0)1且f(f(x0)x0时有f(x0)x0.2.已知p3q32，求证：pq2.来源:Z,xx,k.Com证明假设pq2，那么p2q，p3(2q)3812q6q2q3.将p3q32代入得，6q212q60，即6(q1)20.由此得出矛盾pq2.附件1：律师事务所反盗版维权声明附件2：独家资源交换签约学校名录（放大查看）学校名录参见： 附件1：律师事务所反盗版维权声明来源:学_科_网附件2：独家资源交换签约学校名录（放大查看）学校名录参见： - 6 - 版权所有高考资源网
