1、14 生活中的优化问题举例考点一：体积（容积）最大问题1、 在边长为60cm的正方形铁片的四角上切去相等的正方形，再把它的边沿虚线折起，做成一个无盖的方底箱子，箱底的边长是多少时，箱子的容积最大？最大容积是多少？ 解析 设箱高为xcm，则箱底边长为(602x)cm，则得箱子容积V是x的函数，V(x)(602x)2x(0x30)4x3240x23600x.V(x)12x2480x3600，令V(x)0，得x10，或x30(舍去)当0x0，当10x30时，V(x)0.当x10时，V(x)取极大值，这个极大值就是V(x)的最大值答：当箱子的高为10cm，底面边长为40cm时，箱子的体积最大2、已知圆
2、柱的表面积为定值S，求当圆柱的容积V最大时圆柱的高h的值 解析 设圆柱的底面半径为r，高为h，则S圆柱底2r2， S圆柱侧2rh，圆柱的表面积S2r22rh.h，又圆柱的体积Vr2h，V，令V0得S6r2，h2r，又r，h2.即当圆柱的容积V最大时，圆柱的高h为.考点二：费用最省问题1、 有甲、乙两个工厂，甲厂位于一直线河岸的岸边A处，乙厂与甲厂在河的同侧，乙厂位于离河岸40km的B处，乙厂到河岸的垂足D与A相距50km，两厂在此岸边合建一个供水站C，从供水站到甲厂和乙厂的水管费用分别为每千米3a元和5a元，问供水站C建在岸边何处才能使水管费用最省？解析 解法1：根据题意知，只有点C在线段AD
3、上某一适当位置，才能使总运费最省，设C点距D点xkm，则BD40，AC50x，BC，又设总的水管费用为y元，依题意有y3a(50x)5a (0x50)y3a，令y0，解得x30.当0x30时，y0；当30x0.因此函数在x30(km)处取得最小值，此时AC50x20(km)供水站建在A，D之间距甲厂20km处，可使水管费用最省解法2：设BCD，则BC，CD40cot.AC5040cot.设总的水管费用为f()，依题意，有f()3a(5040cot)5a150a40af()40a40a.令f()0，得cos.根据问题的实际意义，当cos时，函数取得最小值，此时sin，cot，AC5040cot2
4、0(km)，即供水站建在A，D之间距甲厂20km处，可使水管费用最省2、设有一个容积V一定的有铝合金盖的圆柱形铁桶，已知单位面积铝合金的价格是铁的3倍，问如何设计使总造价最小？由于Vr2h，得h，所以y4mr2(r0)所以y8mr，令y0，得r，此时，h4.当r时，y0，因此r是函数y4mr2(r0)的极小值点，也是最小值点故当r时，y有最小值，即hr41时，总造价最小答：当此铁桶的高与底面半径之比等于41时，总造价最小.考点三：利润最大问题1、 某工厂生产某种产品，已知该产品的月产量x(吨)与每吨产品的价格P(元/吨)之间的关系为P24200x2，且生产x吨的成本为R50000200x元问该
5、产品每月生产多少吨产品才能使利润达到最大？最大利润是多少？(利润收入成本)解析 每月生产x吨时的利润为f(x)(24200x2)x(50000200x)x324000x50000 (x0)由f (x)x2240000解得x1200，x2200(舍去)因f(x)在0，)内只有一个点x200使f (x)0，故它就是最大值点，且最大值为：f(200)200324000200500003150000(元) 答：每月生产200吨产品时利润达到最大，最大利润为315万元2、 某公司决定采用增加广告投入和技术改造投入两项措施来获得更大的收益通过对市场的预测，当对两项投入都不大于3百万元时，每投入x百万元广告
6、费，增加的销售额可近似的用函数y12x214x(百万元)来计算；每投入x百万元技术改造费用，增加的销售额可近似的用函数y2x32x25x(百万元)来计算现该公司准备共投入3百万元，分别用于广告投入和技术改造投入，请设计一种资金分配方案，使得该公司获得最大收益(注：收益销售额投入，答案数据精确到0.01)(参考数据：1.414，1.732)解析 设3百万元中技术改造投入为x百万元，广告费投入为(3x)百万元，则广告投入带来的销售额增加值为y12(3x)214(3x)(百万元)，技术改造投入带来的销售额增加值为y2x32x25x(百万元)，所以，投入带来的销售额增加值为F(x)2(3x)214(3x)x32x25x.(0x3)由于投入为常量，采取措施前的收益、投入也是常量所以该公司收益最大时就是销售额增加值最大的时候整理上式得F(x)x33x24，因为F(x)x23，令F(x)0，解得x或x(舍去)，当x0，)，F(x)0，当x(，3时，F(x)0，又因为F(0)24，F(3)24，F()242，所以x1.73时，F(x)取得最大值所以当该公司用于广告投入1.27百万元，用于技术改造投入1.73百万元时，公司将获得最大收益