1、第一章数 列2 等差数列2.1 等差数列第2课时 等差数列的性质内 容 标 准学 科 素 养1.掌握等差数列的图像与一次函数图像的关系.2.理解等差数列公差的符号与等差数列单调性的关系.3.理解并掌握等差中项.提升数学运算加强数形结合精确性质应用01 课前 自主预习02 课堂 合作探究03 课后 讨论探究04 课时 跟踪训练基础认识知识点一 等差数列与一次函数的关系预习教材P1314，思考并完成以下问题1若等差数列ana1(n1)d，首项a1与公差d为已知量，an与n之间有什么函数关系吗？提示：ana1(n1)ddn(a1d)，且nN，故an与n是一次函数关系，n为自变量，nN.2等差数列的单
2、调性与d之间有什么关系吗？提示：根据一次函数的性质，当d0时，an的值由n的增大而增大；d0时，an的值相等；d0时，an的值由n的增大而减小知识梳理 1.等差数列的图像由ana1(n1)d_，可知其图像是直线ydx(a1d)上的一些_，其中_是该直线的斜率2等差数列的单调性对于andn(a1d)(1)当d0时，数列an为_(2)当d0时，数列an为_(3)当d0时，数列an为_dn(a1d)等间隔的点公差d递增数列递减数列常数列知识点二 等差数列的性质思考并完成以下问题1已知等差数列an，对于数列中的任意两项an，am存在怎样的关系？提示：由等差数列的通项公式可知ana1(n1)d，ama1
3、(m1)d，两式相减，得anam(nm)d，所以anam(nm)d.2观察等差数列an的项与项数，回答问题：(1)3645，a3a6与a4a5相等吗？提示：相等(2)若mnpq(m，n，p，qN)，则amanapaq吗？提示：相等因为am3m，an3n，ap3p，aq3q，aman3(mn)，apaq3(pq)，因为mnpq，故amanapaq.3若三个数a，A，b满足2Aab，这三个数a，A，b成等差数列吗？提示：成等差数列因为2Aab，所以AabA，即a，A，b成等差数列知识梳理 1.等差数列的性质在等差数列an中，若mnpq(m，n，p，qN)，有aman_2等差中项如果在a与b中间插入
4、一个数A，使a，A，b成_，那么A叫作a与b的_，且Aab2.apaq等差数列等差中项自我检测1若一个等差数列an中，a23，a76，则其公差为()A.35B.53C35D53解析：a7a25d，5d3，d35.故选A.答案：A2在等差数列an中，a4a515，a712，则a2()A3 B3 C.32D32解析：由等差数列性质知，a4a5a7a2，a2(a4a5)a73.故选A.答案：A3若等差数列an(2a1)na为单调递增数列，则a的范围是_解析：由2a10，解得a12.答案：12，探究一 等差数列与一次函数的关系阅读教材P13例5及解答已知(1，1)，(3，5)是等差数列an图像上的两点
5、(1)求这个数列的通项公式；(2)画出这个数列的图像；(3)判断这个数列的单调性题型：等差数列与一次函数的关系方法步骤：由(1，1)，(3，5)两点求解a1，d；由通项公式an画出图像；结合图像判断数列的单调性例1 已知数列an的通项公式anpnq(nN)，其中p，q为常数，那么这个数列一定是等差数列吗？若是，首项和公差分别是多少？解析 取数列an中任意相邻两项an和an1(n1)，求差得anan1(pnq)p(n1)qpnq(pnpq)p.它是一个与n无关的常数，所以an是等差数列由于anpnqqp(n1)p，所以首项a1pq，公差dp.方法技巧 根据等差数列an的通项公式ana1(n1)d
6、dn(a1d)，可知an为等差数列anpnq(p，q为常数)，此结论可用来判断an是否为等差数列，也揭示了等差数列的函数本质跟踪探究 1.若数列an满足a115，3an13an2(nN)，则使akak10的k值为_解析：由3an13an2，得an1an23，又a115，an是首项为15，公差为23的等差数列，ana1(n1)d15(n1)23 23n473.令an0，解得n472 23.5；d23，数列an是递减数列a230，a240.答案：23探究二 等差数列性质的应用阅读教材P14例6及解答一个木制梯形架的上、下两底边分别为33 cm，75 cm，把梯形的两腰各6等分，用平行木条连接各对应
7、分点，构成梯形架的各级，试计算梯形架中间各级的宽度题型：等差数列性质的应用方法步骤：利用等差中项说明构成等差数列由a133 cm，a775 cm.得出公差d7 cm.由通项公式的推广写出中间5层的宽度例2(1)已知等差数列an满足a1a2a3a1010，则有()Aa1a1010 Ba2a1010Ca3a390 Da5151(2)(2019孝感市模拟)在等差数列an中，a7a116，a4a145，则该数列公差d等于()A.14B.13或12C14D.14或14解析(1)根据性质得：a1a101a2a100a50a522a51，由于a1a2a3a1010，所以a510，a3a992a510.(2)
8、在等差数列an中，a7a116，a4a145，a7a11a4a145，a7和a11是方程x25x60的两个根，解得a72，a113，或a73，a112，d 3211714或d 2311714.即该数列公差d等于14或14.故选D.答案(1)C(2)D方法技巧 等差数列运算的两种常用思路(1)根据已知条件，列出关于a1，d的方程(组)，确定a1，d，然后求其他量(2)利用性质巧解，观察等差数列中项的序号，若满足mnpq2r(m，n，p，q，rN)，则amanapaq2ar.跟踪探究 2.(1)(2019菏泽市模拟)等差数列an中，a2a4a9a1136，则a5a8的值为()A12 B18 C9
9、D20解析：等差数列an中，a2a4a9a1136，由a5a8a2a11a4a9，可得2(a5a8)36，即有a5a818.故选B.答案：B(2)在等差数列an中，a1a3a51，求a1a2a3a4a5；已知a2a3a4a534，a2a552，且a4a2，求a5.解析：a1a3a5(a1a5)a32a3a33a31，a313，a1a2a3a4a55a3513 53.a2a3a4a534且a3a4a2a5，2(a2a5)34，a2a517，又a2a552，a24，a513，或a213，a54.又a4a2，a4a22d0，d0，a5a2，a513.探究三 等差数列的设法及运算P19A组第4题设数列
10、an是单调递增的等差数列，前三项的和为12，前三项的积为48，则它的首项是()A1 B2 C4 D8解析：记前三项分别为a2d，a2，a2d，由题意可知：3a212(a2d)a2(a2d)48将代入得(4d)(4d)12.解得d2或d2(舍去)，a1a2d422.故选B.答案：B例3 已知四个数成等差数列，它们的和为26，中间两项的积为40，求这四个数解析 法一：设这四个数分别为a，b，c，d，根据题意，得bacbdc，abcd26，bc40.解得a2，b5，c8，d11，或a11，b8，c5，d2，这四个数分别为2，5，8，11或11，8，5，2.法二：设此等差数列的首项为a1，公差为d，根
11、据题意，得a1（a1d）（a12d）（a13d）26，（a1d）（a12d）40，化简，得4a16d26，a213a1d2d240，解得a12，d3，或a111，d3，这四个数分别为2，5，8，11或11，8，5，2.法三：设这四个数分别为a3d，ad，ad，a3d，根据题意，得（a3d）（ad）（ad）（a3d）26，（ad）（ad）40，化简，得4a26，a2d240，解得a132，d32.这四个数分别为2，5，8，11或11，8，5，2.方法技巧 1.本例用对称项设法设出数列各项，在求和过程中能消去d，使解题变得简捷2对称项设法(1)当等差数列an的项数为奇数时，可设中间一项为a，再以公
12、差为d向两边分别设项，即：a2d，ad，a，ad，a2d.(2)当等差数列an的项数为偶数时，可设中间两项分别为ad，ad，再以公差为2d向两边分别设项，即a3d，ad，ad，a3d.跟踪探究 3.已知递减等差数列an的前三项和为18，前三项的乘积为66，求数列的通项公式解析：法一：依题意，得a1a2a318，a1a2a366，3a13d18，a1（a1d）（a12d）66，解得a111，d5，或a11，d5.数列an是递减等差数列，d0.故取a111，d5.an11(n1)(5)5n16.即等差数列an的通项公式为an5n16.法二：设等差数列an的前三项依次为ad，a，ad，则（ad）a（
13、ad）18，（ad）a（ad）66，解得a6，d5.又an是递减等差数列，d0，取a6，d5.等差数列an的首项a111，公差d5.通项公式an11(n1)(5)5n16.课后小结(1)等差数列an的公差本质上是相应直线的斜率，所以等差数列的单调性仅与公差d的正负有关特别地，如果已知等差数列an的任意两项an，am，由anam(nm)d，类比直线方程的斜率公式，得danamnm(mn)(2)在等差数列an中，每隔相同数目的项抽出来的项按照原来的顺序排列，构成的新数列仍然是等差数列(3)在等差数列an中，首项a1与公差d是两个最基本的元素，有关等差数列的问题，如果条件与结论间的联系不明显，则均可根据a1，d的关系列方程组求解，但是，要注意公式的变形及整体计算，以减少计算量素养培优等差数列性质使用不正确致误等差数列an中，已知a32，a65，求a9.易错分析 使用性质“若mnpq，则amanapaq”时，一定要注意结论中等式两边项数相同否则易范a9a3a67的错误，考查性质应用的学科素养自我纠正 a3，a6，a9构成一个新的等差数列，其中a3是第一项，a6是第二项，a9是第3项，故a98.课时跟踪训练