1、2022精编复习题（四十五） 抛 物 线小题对点练点点落实对点练(一)抛物线的定义及其应用1已知AB是抛物线y28x的一条焦点弦，|AB|16，则AB中点C的横坐标是()A3 B4 C6D8解析：选C设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则|AB|x1x2p16，又p4，所以x1x212，所以点C的横坐标是6.2设抛物线y212x上一点P到y轴的距离是1，则点P到该抛物线焦点的距离是()A3B4 C7D13解析：选B依题意，点P到该抛物线的焦点的距离等于点P到其准线x3的距离，即等于314.3若抛物线y22x上一点P到准线的距离等于它到顶点的距离，则点P的坐标为()A.B.C.D.解析：选A设
2、抛物线的顶点为O，焦点为F，P(xP，yP)，由抛物线的定义知，点P到准线的距离即为点P到焦点的距离，所以|PO|PF|，过点P作PMOF于点M(图略)，则M为OF的中点，所以xP，代入y22x，得yP，所以P.4已知抛物线y22px的焦点F与双曲线1的右焦点重合，抛物线的准线与x轴的交点为K，点A在抛物线上，且|AK|AF|，则AFK的面积为()A4B8 C16D32解析：选D由题可知抛物线焦点坐标为F(4,0)过点A作直线AA垂直于抛物线的准线，垂足为A，根据抛物线定义知，|AA|AF|，在AAK中，|AK|AA|，故KAA45，所以直线AK的倾斜角为45，直线AK的方程为yx4，代入抛物
3、线方程y216x得y216(y4)，即y216y640，解得y8，x4.所以AFK为直角三角形，故AFK的面积为8832.5已知P为抛物线y24x上一个动点，Q为圆x2(y4)21上一个动点，那么点P到点Q的距离与点P到抛物线的准线距离之和的最小值是()A21B22C.1D.2解析：选C由抛物线定义可知，点P到准线的距离可转化为其到焦点F的距离，即求|PQ|PF|的最小值设圆的圆心为点C，因为|PQ|PC|1，所以|PQ|PF|PC|1|PF|FC|11，故选C.6抛物线y22px(p0)上的动点Q到焦点的距离的最小值为1，则p_.解析：抛物线上到焦点距离最小的点是抛物线的顶点，最小距离为，则
4、1，解得p2.答案：27(2021河南三门峡模拟)过抛物线y24x的焦点F且倾斜角为的直线交抛物线于A，B两点，|FB|FA|_.解析：抛物线y24x的焦点F(1,0)，准线为x1.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，由可得x26x10，解得x132，x232，由抛物线的定义可得|FA|x1142，|FB|x2142，则|FB|FA|4.答案：4对点练(二)抛物线的标准方程及性质1抛物线y22px(p0)的准线截圆x2y22y10所得弦长为2，则p()A1B2 C4D6解析：选B抛物线y22px(p0)的准线为x，而圆化成标准方程为x2(y1)22，圆心M(0,1)，半径r，圆心到准线的距离
5、为，所以22()2，解得p2.2设O是坐标原点，F是抛物线y24x的焦点，A是抛物线上的一点，FA与x轴正方向的夹角为60，则OAF的面积为()A.B2 C.D1解析：选C过点A作ADx轴于点D，令|FD|m，则|FA|2m,2m2m，m2，所以|AD|2，所以SOAF12.3直线l过抛物线C：y22px(p0)的焦点F，且与C相交于A，B两点，且AB的中点M的坐标为(3,2)，则抛物线C的方程为()Ay22x或y24xBy24x或y28xCy26x或y28xDy22x或y28x解析：选B由题可得直线l的方程为yk，与抛物线方程C：y22px(p0)联立，得k2x2k2px2px0.AB的中点
6、为M(3,2)，解得k1或k2，p2或p4，抛物线C的方程为y24x或y28x.4已知抛物线关于x轴对称，它的顶点在坐标原点O，并且经过点M(2，y0)，若点M到该抛物线焦点的距离为3，则|OM|()A2B2C4D2解析：选B设抛物线方程为y22px(p0)，则点M(2，2)，焦点为.点M到该抛物线焦点的距离为3，23，解得p2.|OM|2.5某抛物线形拱桥跨度是20米，拱桥高度是4米，在建桥时，每4米需用一根支柱支撑，则其中最长支柱的长为_米解析：如图，建立直角坐标系，设抛物线方程为x22py(p0)，依题意知，点P(10，4)在抛物线上，1002p(4)，2p25，即抛物线方程为x225y
7、.每4米需用一根支柱支撑，支柱横坐标分别为6、2、2、6.由图知，AB是最长的支柱之一，点B的坐标为(2，yB)，代入x225y，得yB，|AB|43.84，即最长支柱的长为3.84米答案：3.846抛物线x22py(p0)的焦点为F，其准线与双曲线1相交于A，B两点，若ABF为等边三角形，则p_.解析：在等边三角形ABF中，AB边上的高为p，p，所以B.又因为点B在双曲线上，故1，解得p6.答案：67已知F1，F2分别是双曲线3x2y23a2(a0)的左、右焦点，P是抛物线y28ax与双曲线的一个交点，若|PF1|PF2|12，则抛物线的准线方程为_解析：将双曲线方程化为标准方程得1，则F1
8、(2a,0)，F2(2a,0)抛物线的准线为x2a，联立得x3a(x舍去)，即点P的横坐标为3a.而由得|PF2|6a，|PF2|3a2a6a，得a1，抛物线的准线方程为x2.答案：x2大题综合练迁移贯通1已知抛物线y22px(p0)的焦点为F，A是抛物线上横坐标为4，且位于x轴上方的点，A到抛物线准线的距离等于5，过A作AB垂直于y轴，垂足为B，OB的中点为M.(1)求抛物线的方程；(2)若过点M作MNFA，垂足为N，求点N的坐标解：(1)抛物线y22px的准线为x，于是45，p2，抛物线方程为y24x.(2)由(1)知点A的坐标是(4,4)，由题意得B(0,4)，M(0,2)又F(1,0)
9、，kFA.MNFA，kMN.FA的方程为y(x1)，MN的方程为yx2，联立解方程组得x，y，点N的坐标为.2已知过抛物线y22px(p0)的焦点，斜率为2的直线交抛物线于A(x1，y1)，B(x2，y2)(x1x2)两点，且|AB|9.(1)求该抛物线的方程；(2)O为坐标原点，C为抛物线上一点，若，求的值解：(1)由题意得直线AB的方程为y2，与y22px联立，消去y有4x25pxp20，所以x1x2.由抛物线定义得|AB|x1x2pp9，所以p4，从而该抛物线的方程为y28x.(2)由(1)得4x25pxp20，即x25x40，则x11，x24，于是y12，y24，从而A(1，2)，B(
10、4,4)设C(x3，y3)，则(x3，y3)(1，2)(4，4)(41,42)又y8x3，所以2(21)28(41)，整理得(21)241，解得0或2.故的值为0或2.3.如图，已知抛物线C：y22px(p0)，焦点为F，过点G(p,0)作直线l交抛物线C于A，M两点，设A(x1，y1)，M(x2，y2)(1)若y1y28，求抛物线C的方程；(2)若直线AF与x轴不垂直，直线AF交抛物线C于另一点B，直线BG交抛物线C于另一点N.求证：直线AB与直线MN斜率之比为定值解：(1)设直线AM的方程为xmyp，代入y22px得y22mpy2p20，则y1y22p28，得p2.抛物线C的方程为y24x.(2)证明：设B(x3，y3)，N(x4，y4)由(1)可知y3y42p2，y1y3p2.又直线AB的斜率kAB，直线MN的斜率kMN，2.故直线AB与直线MN斜率之比为定值