1、第七节抛物线时间：45分钟分值：100分 一、选择题1抛物线y24x的焦点到双曲线x21的渐近线的距离是()A. B.C1 D.解析抛物线y24x的焦点F(1,0)，双曲线x21的渐近线是yx，即xy0.所求距离为.选B.答案B2(2014辽宁卷)已知点A(2,3)在抛物线C：y22px的准线上，记C的焦点为F，则直线AF的斜率为()A B1C D解析由已知，得准线方程为x2，F的坐标为(2,0)又A(2,3)，直线AF的斜率为k.故选C.答案C3已知圆x2y26x70与抛物线y22px(p0)的准线相切，则p的值为()A1 B2C. D4解析圆的标准方程为(x3)2y216，圆心为(3,0)
2、，半径为4.圆心到准线的距离为34，解得p2.答案B4(2014新课标全国卷)已知抛物线C：y2x的焦点为F，A(x0，y0)是C上一点，|AF|x0，则x0()A1 B2C4 D8解析由抛物线方程y2x知，2p1，即其准线方程为x.因为点A在抛物线上，由抛物线的定义知|AF|x0x0，于是x0x0，解得x01.答案A5(2014新课标全国卷)已知抛物线C：y28x的焦点为F，准线为l，P是l上一点，Q是直线PF与C的一个交点若4，则|QF|()A. B3C. D2解析如图，由抛物线的定义知焦点到准线的距离p|FM|4.过Q作QHl于H，则|QH|QF|.由题意，得PHQPMF，则有，|HQ|
3、3.|QF|3.答案B6已知抛物线y22px(p0)的焦点弦AB的两端点坐标分别为A(x1，y1)，B(x2，y2)，则的值一定等于()A4 B4Cp2 Dp2解析若焦点弦ABx轴，则x1x2，则x1x2；若焦点弦AB不垂直于x轴，可设AB：yk，联立y22px得k2x2(k2p2p)x0，则x1x2.则y1y2p2.故4.答案A二、填空题7若点P到直线y1的距离比它到点(0,3)的距离小2，则点P的轨迹方程是_解析由题意可知点P到直线y3的距离等于它到点(0,3)的距离，故点P的轨迹是以点(0,3)为焦点，以y3为准线的抛物线，且p6，所以其标准方程为x212y.答案x212y8已知抛物线y
4、24x上一点M与该抛物线的焦点F的距离|MF|4，则点M的横坐标x0_.解析抛物线y24x的焦点为F(1,0)，准线为x1.根据抛物线的定义，点M到准线的距离为4，则M的横坐标为3.答案39抛物线x22py(p0)的焦点为F，其准线与双曲线1相交于A，B两点，若ABF为等边三角形，则p_.解析如图，在等边三角形ABF中，DFp，BDp，B点坐标为.又点B在双曲线上，故1.解得p6.答案6三、解答题10抛物线的顶点在原点，对称轴为y轴，它与圆x2y29相交，公共弦MN的长为2，求该抛物线的方程，并写出它的焦点坐标与准线方程解由题意，抛物线方程为x22ay(a0)设公共弦MN交y轴于A，则MAAN
5、，而AN.ON3，OA 2，N(，2)N点在抛物线上，52a(2)，即2a，故抛物线的方程为x2y或x2y.抛物线x2y的焦点坐标为，准线方程为y.11已知抛物线y24x截直线y2xm所得弦长AB3，(1)求m的值；(2)设P是x轴上的一点，且ABP的面积为9，求P的坐标解(1)由4x24(m1)xm20，由根与系数的关系得x1x21m，x1x2，|AB|.由|AB|3，即3m4.(2)设P(a,0)，P到直线AB的距离为d，则d，又SABP|AB|d，则d，|a2|3a5或a1，故点P的坐标为(5,0)或(1,0) 1已知抛物线C1：yx2(p0)的焦点与双曲线C2：y21的右焦点的连线交C
6、1于第一象限的点M，若C1在点M处的切线平行于C2的一条渐近线，则p()A. B.C. D.解析由题可知，抛物线开口向上且焦点坐标为，双曲线焦点坐标为(2,0)，所以两个焦点连线的直线方程为y(x2)设M(x0，y0)，则有yx0x0p.因为y0x，所以y0.又M点在抛物线的切线上，即有p，故选D.答案D2如图，抛物线C1：y22px和圆C2：(x)2y2，其中p0，直线l经过C1的焦点，依次交C1，C2于A，B，C，D四点，则的值为()Ap2 B.C. D.解析设抛物线的焦点为F，A(x1，y1)，D(x2，y2)，则|AB|AF|BF|x1x1，同理|CD|x2.又|AB|CD|x1x2.
7、答案B3已知过点P(4,0)的直线与抛物线y24x相交于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，则yy的最小值是_解析当直线的斜率不存在时，直线方程为x4，代入y24x，得交点为(4,4)，(4，4)，yy161632；当直线的斜率存在时，设直线方程为yk(x4)，与y24x联立，消去x得ky24y16k0，由题意，知k0，则y1y2，y1y216.yy(y1y2)22y1y23232.综上知，(yy)min32.答案324(2014陕西卷)如图，曲线C由上半椭圆C1：1(ab0，y0)和部分抛物线C2：yx21(y0)连接而成，C1与C2的公共点为A，B，其中C1的离心率为.(1)求a，b的
8、值；(2)过点B的直线l与C1，C2分别交于点P，Q(均异于点A，B)，若APAQ，求直线l的方程解(1)在C1，C2的方程中，令y0，可得b1，且A(1,0)，B(1,0)是上半椭圆C1的左右顶点设C1的半焦距为c，由及a2c2b21得a2.a2，b1.(2)由(1)知，上半椭圆C1的方程为x21(y0)易知，直线l与x轴不重合也不垂直，设其方程为yk(x1)(k0)，代入C1的方程，整理得(k24)x22k2xk240.(*)设点P的坐标为(xP，yP)，直线l过点B，x1是方程(*)的一个根，由求根公式，得xP，从而yP，点P的坐标为.同理，由得Q点的坐标为(k1，k22k)(k，4)，k(1，k2)APAQ，0，即k4(k2)0，k0，k4(k2)0，解得k.经检验，k符合题意，故直线l的方程为y(x1)，即8x3y80.
