1、德阳市高中2020级第一次诊断考试数学试卷（文史类）第卷（选择题共60分）一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1已知集合，则（）AQB3，2，1，0，1，3CPD3，2，1，22关于统计数据的分析，有以下几个结论，其中正确的是（）A样本数据9、3、5、7、12、13、1、8、10、18的中位数是8或9B将一组数据中的每个数据都减去同一个数后，平均数与方差均没有变化C利用残差进行回归分析时，若残差点比较均匀地落在宽度较窄的水平带状区域内，则说明线性回归模型的拟合精度较高D调查影院中观众观后感时，从15排（每排人数相同）每排任意抽取
2、一人进行调查是系统抽样法3复数的共轭复数是（）ABCD4已知等比数列的前n项和为，且，则=.A90B125C155D1805已知x、y满足约束条件，则的最小值为（）A1BCD6已知，点M关于A的对称点为S，点S关于B的对称点为N，那么（）ABCD7德阳市文庙广场设置了一些石凳供游人休息，这些石凳是由正方体形石料（如图1）截去8个一样的四面体得到的（如图2），则下列对石凳的两条边AB与CD所在直线的描述中正确的是（）直线AB与CD是异面直线直线AB与CD是相交直线直线AB与CD成60角直线AB与CD垂直ABCD8已知某曲线方程为，则下列描述中不正确的是（）A若该曲线为双曲线，且焦点在x轴上，则B
3、若该曲线为圆，则m4C若该曲线为椭圆，则其焦点可以在x轴上，也可以在y轴上D若该曲线为双曲线，且焦点在y轴上，则9函数的大致图像为（）ABCD10如图是旌湖边上常见的设施，从两个高为1米的悬柱上放置一根均匀铁链，让其自然下垂轻触地面（视为相切）形成的曲线称为悬链线（又称最速降线）建立恰当的直角坐标系后，其方程可以是，那么两悬柱间的距离大致为（）（可能会用到的数据）A2.5米B2.6米C2.8米D2.9米11已知奇函数的定义域为，其图象是一条连续不断的曲线若，则函数在区间内的零点个数至少为（）A1B2C3D412已知a、b、c是正实数，且，则a、b、c的大小关系不可能为（）A B C D第卷（非
4、选择题共90分）本卷包括必考题和选考题两部分，第1321题为必考题，每个试题考生都必须作答，第22、23题为选考题，考生根据要求作答二、填空题：共4小题，每小题5分，共20分将答案填在答题卡上13设函数，则_14已知，是单位向量，且，若，那么当时，_15已知函数（，）的部分图象如图所示，则f（x）_16如图，矩形ABCD中，AC是对角线，设BAC，已知正方形S1和正方形S2分别内接于RtACD和RtABC，则的取值范围为_三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤17已知等差数列的首项为1，公差d0，前n项和为，且为常数(1)求数列的通项公式；(2)若，求数列的前n项和18在ABC中，
5、边a、b、c对应角分别为A、B、C，且(1)求角B的大小；(2)从条件、条件、条件中任选一个作为已知条件，使得ABC存在且唯一，求AC边上的高条件：，b1；条件：b2，；条件：a3，c2注：若选多个条件分别作答，则按第一个解答给分19买盲盒是当下年轻人的潮流之一，每个系列的盲盒分成若干个盒子，每个盒子里面随机装有一个动漫、影视作品的图片，或者设计师单独设计出来的玩偶，消费者不能提前得知具体产品款式，具有随机属性，某礼品店2022年1月到8月售出的盲盒数量及利润情况的相关数据如下表所示：月份月12345678月销售量百个45678101113月利润千元4.14.64.95.76.78.08.49
6、.6(1)求出月利润y（千元）关于月销售量x（百个）的回归方程（精确到0.01）；(2)2022年“一诊”考试结束后，某班数学老师购买了装有“五年高考三年模拟”和“教材全解”玩偶的两款盲盒各3个，从中随机选出3个作为礼物赠送给同学，求3个盲盒中装有“五年高考三年模拟”玩偶的个数至少为2个的概率参考公式：回归方程中斜率和截距最小二乘估计公式分别为：，参考数据：，20已知函数(1)求函数f（x）的极值；(2)当a1时，记f（x）在区间1,2的最大值为M，最小值为m已知设f（x）的三个零点为x1，x2，x3，求的取值范围21已知函数，(1)判断函数的单调性；(2)证明：请考生在22、23二题中任选一
7、题作答注意：只能做所选定的题目如果多做，则按所做第一个题目计分，做答时，请用2B铅笔在答题卡上将所选题号后的方框涂黑22在平面直角坐标系中，曲线C1的方程为，曲线C2的参数方程为（t为参数），直线l过原点O且与曲线C1交于A、B两点，点P在曲线C2上且OPAB以O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系(1)写出曲线C1的极坐标方程并证明为常数；(2)若直线l平分曲线C1，求PAB的面积23已知函数(1)画出的图象，并根据图象写出不等式的解集；(2)若恒成立，求实数k的取值范围1A【分析】化简集合，然后根据交集的定义运算即得.【详解】因为，又，所以.故选：A.2C【分析】按照中位数，平均数和方差的
8、计算方法判断选项A，B的正误，根据残差图的含义判断选项C的正误，区分不同抽样方法的概念判断D的正误.【详解】对于A，样本数据1、3、5、7、8、9、10、12、13、18的中位数为，A错误；对于B，每个数据都减去同一个数后，平均数也应为原平均数减去这个数，B错误；对于C，残差点比较均匀地落在宽度较窄的水平带状区域内，则拟合精度高，C正确；对于D，每排任意抽取一人应为简单随机抽样，D错误；故答案为：C.3B【分析】根据复数的除法运算化简，根据共轭复数的概念可得答案.【详解】,故的共轭复数为 ，故选：B4C【分析】由等比数列的性质，成等比数列，即可求得，再得出答案.【详解】因为等比数列的前项和为，
9、根据性质所以成等比数列，因为，所以，故故选C【点睛】本题考查了等比数列的性质，若等比数列的前项和为，则也成等比数列，这是解题的关键，属于较为基础题.5D【分析】由约束条件作出可行域，数形结合求出的最小值.【详解】由约束条件作出可行域如图，表示可行域内的点与点连线的斜率，联立方程，得交点坐标，由图得，当过点时，斜率最小为，所以的最小值为.故选：D.6D【分析】根据点的对称关系，结合向量中点公式进行化简即得.【详解】因为点M关于A的对称点为S，点S关于B的对称点为N，所以，所以，又，所以.故选：D.7C【分析】根据异面直线和异面直线所成角的定义判断即可.【详解】如图所示，延长、和正方体的一条边，会
10、交于点，所以直线与是相交直线，故错，对；连接，设正方体的边长为1，所以，即三角形为等边三角形，所以直线与成角，故对，错.故选：C.8B【分析】根据双曲线的标准方程结合条件可判断AD，根据圆及椭圆的方程结合曲线方程可判断BC.【详解】对于A，若该曲线为双曲线，且焦点在x轴上，则，解得，故A正确；对于B，若该曲线为圆，则，即，故B错误；对于C，由，可得，此时该曲线为椭圆，且焦点在x轴上；由，可得，此时该曲线为椭圆，且焦点在y轴上；故C正确；对于D，该曲线为双曲线，且焦点在y轴上，则，解得，故D正确.故选：B.9A【分析】根据函数的奇偶性和符号判断.【详解】 ， 是奇函数；令 ，则有 ， 是增函数，
11、当 时， ，即 ；故选：A.10B【分析】根据条件建立直角坐标系，可得，根据条件结合参考数据可得，进而即得.【详解】因为，所以函数为偶函数，如图建立直角坐标系，则时，所以，即，所以，由题可设，又，由题可知时函数单调递增，所以，所以两悬柱间的距离大致为2.6米.故选：B.11C【分析】根据奇函数的定义域为R可得，由和奇函数的性质可得、，利用零点的存在性定理即可得出结果.【详解】奇函数的定义域为R，其图象为一条连续不断的曲线，得，由得，所以，故函数在之间至少存在一个零点，由奇函数的性质可知函数在之间至少存在一个零点，所以函数在之间至少存在3个零点.故选：C12D【分析】根据指数函数的性质结合条件逐
12、项分析即得.【详解】因为，a、b、c是正实数，所以，对于A，若，则，满足题意；对于B，若，则，满足题意；对于C，若，则，满足题意；对于D，若，则，不满足题意.故选：D.132【分析】将0代入函数解析式，根据分段函数的解析式计算结果.【详解】由题，因为，所以，故答案为：2.14#0.5【分析】根据，是单位向量，且设向量，的坐标，进而表示出的坐标，由列出方程，解出的值.【详解】因为，是单位向量，且，设，由得，当时，得.故答案为：.15【分析】由函数图象得函数的最小正周期，求得，再由函数在时取最大值，求得，得函数解析式.【详解】由函数图象得，因为，所以，又由图象知当时函数取最大值，所以，因为，所以，
13、所以.故答案为：.16【分析】设两个正方形边长分别为，用，表示AC建立方程，将两个三角形的周长比表示为的三角函数，求取值范围.【详解】设两个正方形，边长分别为，则在中，有，在中，有，所以，的周长与的周长比为，设，因为，所以，则，因为在上单调递增，所以，所以周长比为.故答案为：.【点睛】注意到的关系，换元用表示，注意换元后新未知数的取值范围.17(1)(2)【分析】（1）根据条件知 ，据此求出d；（2）运用错位相减法求和.【详解】（1）由题意知：，即 ， ，化简得： ， ；经检验，成立.（2）由（1）知： ， ， ，-得： ， ；综上，.18(1)(2)答案见解析【分析】（1）利用正弦定理边化角
14、，然后整理计算可得答案；（2）若选择条件：由三角形的三角一边可得ABC唯一确定，再利用正弦定理计算求答案；若选择条件：根据正弦定理计算得，得到ABC不存在；若选择条件：由三角形的两边及其夹角确定可得ABC存在且唯一，再利用正弦定理计算求答案.【详解】（1）由正弦定理边化角得，得，（2）若选择条件：，b1，则ABC中均唯一确定，又，则ABC存在且唯一，由正弦定理，AC边上的高为；若选择条件：b2，由正弦定理得，ABC不存在；若选择条件：a3，c2，由a3，c2，可得ABC存在且唯一，由余弦定理，则，由正弦定理得，AC边上的高为；19(1)(2)【分析】（1）将表格数据代入公式，计算回归方程；（2
15、）列举从6个盲盒中抽取3个的所有结果，由所有基本事件个数和“五年高考三年模拟”玩偶个数至少为2个的基本事件个数，求得概率.【详解】（1）由题，所以，所以回归方程为.（2）记装有“五年高考三年模拟”玩偶的3个盲盒为，记装有“教材全解”玩偶的3个盲盒为，从中选出3个，共有：，共20个基本事件，其中，“五年高考三年模拟”玩偶个数至少为2个的基本事件有10个，故所求事件发生的概率.20(1)极大值为，极小值为；(2).【分析】（1）求导，根据单调性得到当时取得极大值，时取得极小值，然后代入求极值即可；（2）根据在上的单调性得到，然后列不等式得到的范围，令，结合韦达定理得到，最后根据的范围求的范围即可.
16、【详解】（1），令，解得或，令，解得，所以在，上单调递增，在上单调递减，当时取得极大值，当时取得极小值，所以的极大值为，极小值为.（2）因为，所以在上单调递减，上单调递增，因为，所以，解得，设，令，所以，在上单调递减，当，所以的取值范围为.21(1)在上单调递减，理由见解析；(2)证明见解析.【分析】（1）求出函数的导数，构造函数利用导数判断函数的单调性，从而判断原函数导数的正负，进而即得；（2）将不等式转化为，然后构造函数，利用导数判断函数的单调性，从而证明不等式.【详解】（1）函数在给定区间内单调递减，理由如下：因为函数，所以，设，则，所以在区间上单调递减，故，即，所以函数在区间上单调递减
17、；（2），先证时，即，设，则，所以在区间上单调递增，所以，即；再证时，即，设，则，所以在上单调递增，所以，所以；综上，.【点睛】方法点睛：利用导数证明不等式问题，方法如下：（1）直接构造函数法：证明不等式（或）转化为证明（或），进而构造辅助函数；（2）适当放缩构造法：一是根据已知条件适当放缩；二是利用常见放缩结论；（3）构造“形似”函数，稍作变形再构造，对原不等式同解变形，根据相似结构构造辅助函数.22(1)，证明见解析(2)【分析】（1）写出的极坐标方程，设直线l的极坐标方程为，代入的方程，利用韦达定理证明为定值；（2）直线l平分曲线得直线l的方程，因为，得直线OP的方程，求得点P的坐标，计
18、算三角形面积.【详解】（1）的一般方程为，由，得的极坐标方程为，证明：设直线l的极坐标方程为，点，将代入，得，为方程的两个根，.（2）因为直线l平分曲线，所以直线l过点，直线l的方程为，因为，所以直线OP为，曲线的普通方程为，与直线OP的方程联立，得，点P到直线l的距离，圆的直径，所以的面积.23(1)图象见解析，不等式解集为；(2).【分析】（1）分类讨论得到，然后画图，根据图象解不等式即可；（2）分、和五种情况求解即可.【详解】（1）当时，当时，当时，所以，图象如下所示，不等式的解集为.（2）当时，整理得恒成立，所以；当时，整理得；当时，成立，所以；当时，整理得；当时，整理得恒成立，即，所以，综上可得，的取值范围为.