1、山东省泰安市泰安实验中学2019-2020学年高一数学下学期期中试题（含解析）第卷（选择题)一、单选题(共8小题，每小题5分，共40分在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求)1.已知向量，则（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】因为，所以=（5，7），故选A.考点：本小题主要考查平面向量的基本运算，属容易题.2.若复数对应复平面内的点，且，则复数的虚部为A. B. C. D. 【答案】B【解析】依题意，故，故复数的虚部为，故选B3.设是两条不同的直线,是两个不同的平面,下列命题中正确的是（）A. 若,则B. 若，,则C. 若,则D. 若,则【答案】C【解析】【分析】在A中，与
2、相交或平行；在B中，或；在C中，由线面垂直的判定定理得；在D中，与平行或详解】设是两条不同的直线，是两个不同的平面，则：在A中，若，则与相交或平行，故A错误；在B中，若，则或，故B错误；在C中，若，则由线面垂直的判定定理得，故C正确；在D中，若，则与平行或，故D错误故选C【点睛】本题考查命题真假的判断，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，是中档题4.设R，向量且，则( )A. B. C. D. 10【答案】C【解析】试题分析:向量且，从而，因此，故选C考点：1.向量的模；2.向量的平行与垂直5.若线段AB的长等于它在平面内的射影长的2倍，则AB所在直线与平面所成的角为 A. B.
3、 C. D. 【答案】C【解析】【分析】根据图形找到线面角,进而在直角三角形中求解即可.【详解】如图，AC，ABB，则BC是AB在平面内的射影，则BCAB，所以ABC60，它是AB与平面所成的角故选C【点睛】本题主要考查了线面角的求解,属于基础题.6.如图，O是ABC的重心，=，=，D是边BC上一点，且=3，则（）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】由O为ABC的重心，则点E为BC的中点，且，又由3，得：D是BC的四等分点，再利用平面向量的线性运算可得则，故得解【详解】如图，延长AO交BC于E，由已知O为ABC的重心，则点E为BC的中点，且由3，得：D是BC的四等分点，则，故选A
4、【点睛】本题考查了平面向量的基本定理及重心的特征，属中档题7.在ABC中，sin A，则ABC的形状为（ ）A. 直角三角形B. 等边三角形C. 等腰三角形D. 等腰或直角三角形【答案】A【解析】【分析】等式变形为，再根据，展开变形，判断三角形的形状.【详解】由条件可知,因为，所以 ，所以，所以，整理为：,即 因为，所以， ，所以是直角三角形.故选：A【点睛】本题考查判断三角形的形状，重点考查三角函数恒等变换，属于基础题型，本题的重点是利用公式，变形，化简三角函数.8.已知S，A，B，C是球O表面上的点，平面ABC，则球O的体积等于A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】根据直线平面
5、垂直的判定与性质得出，为直角三角形，可得SC的中点O为球心，又可求得，求出球的半径，即可得解【详解】解：平面ABC，面SAB，面SAB，中AC的中点O，为球O的直径，又可求得，球O的半径，体积，故选B【点睛】本题综合考查了空间几何体的性质，空间思维能力的运用，平面，立体问题的转化，巧运用直角三角形的性质二、多选题(本题共4小题，每小题5分，共20分在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对得5分，部分选对得2，有选错的得0分)9.下列各式中，化简结果为 的是（ ）A. B. C. D. 【答案】ABC【解析】分析】根据向量加减法的法则，分别判断每个选项，得到正确答案.【详解】A.，
6、故A正确；B.，故B正确；C. ，故C正确；D.，故D不正确.故选：ABC【点睛】本题考查向量加法和减法，属于简单题型.10.下列命题正确的是（ ）A. 复数z1，z2的模相等，则z1，z2是共轭复数B. z1，z2都是复数，若z1z2是虚数，则z1不是z2的共轭复数C. 复数z是实数的充要条件是z(是z的共轭复数)D. 已知复数z112i，z21i，z332i(i是虚数单位)，它们对应的点分别为A，B，C，O为坐标原点，若(x，yR)，则xy1【答案】BC【解析】【分析】A.根据共轭复数的定义，举例判断；B.根据是虚数，判断两个复数的虚部的关系，判断选项；C.分别判断充分和必要条件；D.利用
7、向量，复数，坐标的关系，利用向量相等求得的值.【详解】A.模相等的复数不一定是共轭复数，比如：，这两个复数的模相等，但不是共轭复数，故A不正确；B.设， ，若是虚数，两个复数的虚部不互为相反数，所以不是的共轭复数，故B正确；C.设，若，则，所以复数是实数，若是实数，则 则，所以C正确；D.由条件可知，若(x，yR)，则，所以 ，解得：，所以，故D不正确.故选：BC【点睛】本题考查复数的定义和相关概念，属于基础题型，本题的关键是正确理解复数的有关概念.11.如图所示是斜二测画法画出的水平放置的三角形的直观图，D为BC的中点，且ADy轴，BCx轴，那么在原平面图形ABC中（ ）A. AB与AC相等
8、B. AD的长度大于AC的长度C. AB的长度大于AD的长度D. BC长度大于AD的长度【答案】AC【解析】【分析】首先根据斜二测画法的直观图还原几何图形，根据实际图形的长度关系判断选项.【详解】根据斜二测画法的直观图，还原几何图形，首先建立平面直角坐标系，轴，并且，点是的中点，并且作轴，即，且，连结，所以是等腰三角形，,的长度大于的长度，由图可知，由图观察，所以,即.故选：AC【点睛】本题考查由直观图还原实际图形，判断长度关系，重点考查斜二测画法的规则，属于基础题型.12.如图,正方体的棱长为1,则下列四个命题正确的是( )A. 直线与平面所成的角等于B. 点C到面的距离为C. 两条异面直线
9、和所成的角为D. 三棱柱外接球半径为【答案】ABD【解析】【分析】根据线面角的定义及求法，点面距的定义，异面直线所成角的定义及求法，三棱柱的外接球的半径求法，即可判断各选项的真假【详解】正方体的棱长为1，对于A，直线与平面所成的角为，故选项A正确；对于B，因为面，点到面的距离为长度的一半，即，故选项B正确；对于C，因为，所以异面直线和所成的角为，而为等边三角形，故两条异面直线和所成的角为，故选项C错误；对于D，因为两两垂直，所以三棱柱外接球也是正方体的外接球，故，故选项D正确故选：【点睛】本题主要考查线面角的定义以及求法，点面距的定义以及求法，异面直线所成角的定义以及求法，三棱柱的外接球的半径
10、求法的应用，属于基础题三、填空题(本题共4小题，每小题5分，共20分，将答案拍在一张图片上进行上传)13.已知向量的夹角为，则在方向上的投影是_【答案】【解析】【分析】根据平面向量投影的定义可直接求出结果.【详解】由已知得，在方向上的投影为.故答案为：.【点睛】本题考查平面向量投影的定义，掌握投影的计算公式是关键，属基础题.14.若z为复数，且，则|z1|的最小值是_【答案】【解析】【分析】首先根据题意得到复数到的距离与到的距离相等，即复数在虚轴上.再设出，计算的最小值即可.【详解】因为复数满足，所以在复平面内，复数到的距离与到的距离相等.即复数在虚轴上，设，.，所以的最小值为.故答案为：【点
11、睛】本题主要考查复数代数式形式及其几何意义，同时考查学生的转化能力，属于中档题.15.一个圆柱的侧面展开图是一个正方形，这个圆柱的全面积与侧面积的比是_【答案】【解析】【分析】利用侧面展开图是正方形得到圆柱的底面半径与高的关系后可得圆柱的表面积与侧面积之比.【详解】设正方形的边长为，圆柱的底面半径为，则，所以圆柱的全面积为，故全面积与侧面积之比为，填.【点睛】圆柱的侧面展开图是矩形，其一边的长为母线长，另一边的长为底面圆的周长，利用这个关系可以得到展开前后不同的几何量之间的关系.16.已知二面角l为60，动点P，Q分别在平面，内，P到的距离为，Q到的距离为2，则P，Q两点之间距离的最小值为_，
12、此时直线PQ与平面所成的角为_【答案】 (1). (2). 【解析】【分析】（1）如图，分别作，连结，连结，则，利用勾股定理得到，并验证最小值成立条件；（2）由（1）可知，直接得到直线PQ与平面所成的角.【详解】（1）如图，分别作，连结，连结，则，因为，所以,当点与点重合时，取最小值，又此时成立，所以两点之间距离的最小值是；（2）此时点与点重合，此时，所以与平面所成的角为.故答案为：；【点睛】本题考查平面与平面之间的位置关系，以及空间中直线与平面的位置关系，考查空间想象能力，运算能力，推理论证能力，属于中档题型.四、解答题17.已知复数（）当实数m取什么值时，复数z是：实数；纯虚数；（）当时，
13、化简【答案】（）m=1或m=2；m=（）【解析】【详解】试题分析：（I）利用复数为实数、纯虚数的充要条件即可得出（II）当m=0时，z=-2+2i，再利用复数的运算法则即可得出试题解析：（）当m23m+2=0时，即m=1或m=2时，复数z为实数当时，解得，即m=时，复数z为纯虚数（）当m=0时，z=2+2i，考点：复数的代数表示法及其几何意义18.设是不共线的非零向量，且 （1）若，求，u的值（2）若是互相垂直的单位向量，求与的夹角【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）首先求，根据向量相等，建立方程求解；（2）根据公式求解.【详解】（1）,， ，；（2） ，【点睛】本题考查向量相等，向量夹
14、角，重点考查基本公式，计算能力，属于基础题型.19.养路处建造圆锥形仓库用于贮藏食盐(供融化高速公路上的积雪之用)，已建的仓库的底面直径为12 m，高为4 m养路处拟建一个更大的圆锥形仓库，以存放更多食盐现有两种方案：一是新建的仓库的底面直径比原来大4 m(高不变)；二是高度增加4 m(底面直径不变)（1）分别计算按这两种方案所建的仓库的体积；（2）分别计算按这两种方案所建的仓库的表面积(不含底面积)；（3）哪个方案更经济些？【答案】（1），；（2），；（3）方案二.【解析】【分析】（1）根据底面半径和高，根据体积公式，分别计算两种方案的体积；（2）根据半径和高求母线长，根据公式求圆锥的表面积
15、（不含底面积）；（3）比较两种方案的体积和表面积，得出结论.【详解】（1）第一种方案底面直径为，高为，此时仓库的体积是 第二种方案底面直径为，高为，此时仓库的体积是；（2）第一种方案：底面半径是，高，则母线长，则仓库的表面积（不含底面积），第二种方案：底面半径是，高，则母线长，则仓库的表面积（不含底面积）；（3）由（1）（2）可知，第二种方案的体积大，可以贮藏更多的食盐；，第二种方案的表面积（不含底面积）小，则用料少，成本低，所以选择方案二更经济.【点睛】本题考查圆锥的实际应用，重点考查圆锥的体积和表面积，计算能力，属于基础题型.20.如图在四棱锥中，底面是矩形，点、分别是棱和的中点.（1）求
16、证：平面；（2）若，且平面平面，证明平面.【答案】(1)见证明；(2)见证明【解析】【分析】（1）可证，从而得到要求证的线面平行.（2）可证，再由及是棱的中点可得， 从而得到平面.【详解】（1）证明：因为点、分别是棱和的中点，所以，又在矩形中，所以，又面，面，所以平面（2）证明：在矩形中，又平面平面，平面平面，面，所以平面，又面，所以因为且是的中点，所以，由及面，面，所以平面 .【点睛】线面平行的证明的关键是在面中找到一条与已知直线平行的直线，找线的方法可利用三角形的中位线或平行公理.线面垂直的判定可由线线垂直得到，注意线线是相交的， 而要求证的线线垂直又可以转化为已知的线面垂直（有时它来自面
17、面垂直）来考虑.21.如图，四棱锥的底面是边长为1的正方形，垂直于底面，.（1）求证；（2）求平面与平面所成二面角的大小；（3）设棱的中点为，求异面直线与所成角的大小.【答案】（1）证明见解析；（2）；（3）.【解析】【分析】（1）根据题意，由线面垂直证线线垂直，再根据线面垂直的判定定理，证明线面垂直，再证线线垂直.（2）由（1）中线面垂直，可知所求二面角的平面角为，根据题意可求角度.（3）利用中位线将异面直线平移，则或其补角是异面直线与所成角，根据勾股定理，即可求解.【详解】（1）底面是正方形， ，底面，底面，又， 平面，平面，.（2）由（1）知，又，为所求二面角的平面角，在中，.（3）取中
18、点，连结，在，由中位线定理得 ，或其补角是异面直线与所成角，所以中，有，.【点睛】本题考查（1）垂直关系的转化证明（2）二面角的求法（3）异面直线所成角，考查逻辑推理能力，考查计算能力，考查转化与化归思想，属于中等题型.22.的内角的对边分别为，已知（1）求；（2）若为锐角三角形，且，求面积的取值范围【答案】(1) ;(2).【解析】【分析】(1)利用正弦定理化简题中等式，得到关于B的三角方程，最后根据A,B,C均为三角形内角解得.(2)根据三角形面积公式，又根据正弦定理和得到关于的函数，由于是锐角三角形，所以利用三个内角都小于来计算的定义域，最后求解的值域.【详解】(1)根据题意，由正弦定理得，因为，故，消去得，因为故或者，而根据题意，故不成立，所以，又因为，代入得，所以.(2)因为是锐角三角形，由（1）知，得到，故，解得.又应用正弦定理，由三角形面积公式有：.又因,故，故.故的取值范围是【点睛】这道题考查了三角函数的基础知识，和正弦定理或者余弦定理的使用（此题也可以用余弦定理求解），最后考查是锐角三角形这个条件的利用考查的很全面，是一道很好的考题.
