1、第2节一元二次不等式及其解法 【选题明细表】知识点、方法题号一元二次不等式的解法1、3、9、14其他不等式的解法2、8恒成立问题10、12、13、15实际应用问题4、16综合应用5、6、7、11一、选择题1.(2013渭南模拟)函数y=的定义域为(B)(A)(-,-4)(1,+)(B)(-4,1)(C)(-4,0)(0,1)(D)(-1,4)解析:由-x2-3x+40得x2+3x-40,解得-4x1,所以函数的定义域为(-4,1).故选B.2.(2012年高考重庆卷)不等式0的解集为(A)(A)(B)(C)1,+)(D)1,+)解析:不等式0-x1.故选A.3.如果关于x的不等式5x2-a0的
2、正整数解是1,2,3,4,那么实数a的取值范围是(A)(A)80a125(B)80a125(C)a125解析:5x2-a0,得-x,而正整数解是1,2,3,4,则45,80a320,即x2-28x+1920,解得12x0在R上恒成立”的一个必要不充分条件是(C)(A)m(B)0m0(D)m1解析:不等式x2-x+m0在R上恒成立,则有=1-4m,它的一个必要不充分条件应为m0.故选C.6.(2013莆田二模)不等式(x2-2)log2x0的解集是(A)(A)(0,1)(,+)(B)(-,1)(,+)(C)(,+)(D)(-,)解析:原不等式等价于或x或0x1,即不等式的解集为(0,1)(,+)
3、.故选A.7.(2013厦门模拟)对于实数x,当nxn+1(nZ)时,规定x=n,则不等式4x2-36x+450的解集为(A)(A)x|2x8(B)x|2x8(C)x|2x8(D)x|2x8解析:由4x2-36x+450可解得x,又由题意,当nxn+1(nZ)时,x=n,则2n7,x的取值范围应为2x8.故选A.二、填空题8.(2013山东师大附中第三次模拟)不等式0的解集是.解析:原不等式等价为x(x-1)(x+2)0,解得x-2或0x0的解集为-,则不等式-cx2+2x-a0的解集为.解析:依题意知,解得a=-12,c=2,不等式-cx2+2x-a0,即为-2x2+2x+120,即x2-x
4、-60,解得-2x0时,f(x)=(x-1)2;若当x时,nf(x)m恒成立,则m-n的最小值为.解析:当x0,f(x)=f(-x)=(x+1)2,x,f(x)min=f(-1)=0,f(x)max=f(-2)=1,m1,n0,m-n1.答案:111.(2013年高考重庆卷)设0,不等式8x2-(8sin )x+cos 20,对xR恒成立,则a的取值范围为.解析:由题意知,(8sin )2-48cos 20,2sin2-cos 20,2sin2-(1-2sin2)0,4sin2-10,sin2,又0,0sin .0或.答案:0,12.(2013威海质检)不等式ax2+4x+a1-2x2对一切x
5、R恒成立,则实数a的取值范围是.解析:由题意知,不等式(a+2)x2+4x+a-10对一切xR恒成立,显然a=-2时,不等式4x-30不恒成立,a-2时应有解得a2.答案:(2,+)13.定义在R上的运算:x*y=x(1-y),若不等式(x-y)*(x+y)1对一切实数x恒成立,则实数y的取值范围是.解析:(x-y)*(x+y)=(x-y)(1-x-y)=x-x2-y+y21,-y+y2x2-x+1,要使该不等式对一切实数x恒成立,则需有-y+y2(x2-x+1)min=,解得-y.答案:三、解答题14.(2013日照模拟)已知函数f(x)=的定义域为R.(1)求a的取值范围;(2)若函数f(
6、x)的最小值为,解关于x的不等式x2-x-a2-a0.解:(1)函数f(x)=的定义域为R,ax2+2ax+10恒成立,当a=0时,10恒成立.当a0时,则有00,当x=-1时,f(x)min=,由题意得,=,a=,不等式x2-x-a2-a0可化为x2-x-0.解得-x,所以不等式的解集为-,.15.已知f(x)=x2-2ax+2,当x-1,+)时,f(x)a恒成立,求a的取值范围.解:法一f(x)=(x-a)2+2-a2,此二次函数图象的对称轴为x=a,当a(-,-1)时,结合图象知,f(x)在-1,+)上单调递增,f(x)min=f(-1)=2a+3,要使f(x)a恒成立,只需f(x)mi
7、na,即2a+3a,解得a-3.又a-1,-3a-1.当a-1,+)时,f(x)min=f(a)=2-a2,由2-a2a,解得-2a1.又a-1,-1a1.综上所述,所求a的取值范围为-3a1.法二由已知得x2-2ax+2-a0在-1,+)上恒成立,令g(x)=x2-2ax+2-a,即=4a2-4(2-a)0,或解得-3a1.16.一个服装厂生产风衣,月销售量x(件)与售价p(元/件)之间的关系为p=160-2x,生产x件的成本R=500+30x(元).(1)该厂月产量多大时,月利润不少于1300元?(2)当月产量为多少时,可获得最大利润,最大利润是多少?解:(1)由题意知,月利润y=px-R,即y=(160-2x)x-(500+30x)=-2x2+130x-500.由月利润不少于1300元,得-2x2+130x-5001300.即x2-65x+9000,解得20x45.故该厂月产量在2045件范围内时,月利润不少于1300元.(2)由(1)得,y=-2x2+130x-500=-2x-2+,由题意知,x为正整数.故当x=32或33时,y最大为1612.所以当月产量为32或33件时,可获最大利润,最大利润为1612元.