1、第八节 函数与方程A组基础对点练1已知函数f(x)则函数f(x)的零点为()A，0 B2，0C D0解析：当x1时，由f(x)2x10，解得x0；当x1时，由f(x)1log2x0，解得x，又因为x1，所以此时方程无解综上，函数f(x)的零点只有0答案：D2(2021江西赣中南五校联考)函数f(x)3xx2的零点所在区间是()A(0，1) B(1，2)C(2，1) D(1，0)解析：f(2)，f(1)，f(0)1，f(1)2，f(2)5，f(0)f(1)0，f(1)f(2)0，f(2)f(1)0，f(1)f(0)0.答案：D3函数f(x)的零点个数是()A0 B1C2 D3解析：当x0时，由l
2、n x0可得x1，当x0时，由x(x2)0，即x2或x0，故函数的零点个数为3.答案：D4若abc，则函数f(x)(xa)(xb)(xb)(xc)(xc)(xa)的两个零点分别位于区间()A.(a，b)和(b，c)内B(，a)和(a，b)内C(b，c)和(c，)内D(，a)和(c，)内解析：令y1(xa)(xb)(xb)(xc)(xb)2x(ac)，y2(xc)(xa)，由abc作出函数y1，y2的图象(图略)，由图可知两函数图象的两个交点分别位于区间(a，b)和(b，c)内，即函数f(x)的两个零点分别位于区间(a，b)和(b，c)内答案：A5(2020宁夏育才中学模拟)已知函数f(x)(a
3、R).若函数f(x)在R上有两个零点，则a的取值范围是()A(，1) B(，0)C(1，0) D1，0)解析：当x0时，f(x)3x1有一个零点x，所以只需要当x0时，exa0有一个根即可，即exa.当x0时，ex(0，1，所以a(0，1，即a1，0).答案：D6函数yln xx2的零点所在的区间为()A B(1，2)C(2，e) D(e，3)解析：由题意可知，函数yln xx2的零点，即为两个函数y ln x与yx2的交点，又因为yln x为增函数，故交点只有一个因为f(2)ln 222ln 20，f(e)ln ee2(e2)0，所以f(2)f(e)0，故函数yln xx2的零点在区间(2，
4、e)内答案：C7(2021贵州贵阳模拟)函数f(x)lg xsin x在(0，)上的零点个数是()A1 B2C3 D4解析：函数f(x)lg xsin x的零点个数，即函数ylg x的图象和函数ysin x的图象的交点个数(图略)，显然，函数ylg x的图象和函数ysin x的图象的交点个数为3.答案：C8已知函数f(x)2axa3，若x0(1，1)，使得f(x0)0，则实数a的取值范围是()A(，3)(1，) B(，3)C(3，1) D(1，)解析：依题意可得f(1)f(1)0，即(2aa3)(2aa3)0，解得a1.答案：A9(2021内蒙古模拟)已知函数f(x)x22|x|m的零点有两个
5、，则实数m的取值范围为()A(1，0) B1(0，)C1，0)(0，) D(0，1)解析：在同一直角坐标系内作出函数yx22|x|的图象和直线ym，可知当m0或m1时，直线ym与函数yx22|x|的图象有两个交点，即函数f(x)x22|x|m有两个零点答案：B10已知函数f(x)有两个不同的零点，则实数a的取值范围是()A(，2 B(，2)C2，) D(2，)解析：由题意得，当x1时，令3x10，得x；当x1时，令2x2ax0得x.要使函数有两个不同的零点，则只需1，解得a2.答案：C11已知函数f(x)则函数f(x)在(6，)上的零点个数为()A1 B2C3 D4解析：由题意知函数f(x)在
6、(6，)上有零点，则或解得x2或x4或xe6，即函数f(x)在(6，)上的零点个数为3.答案：C12设函数f(x)若f(x)b0有三个不等实数根，则b的取值范围是()A(0，10 BC D(1，10解析：当x0时，f(x)10，数形结合可得1b10.答案：D13已知三个函数f(x)2xx，g(x)x2，h(x)log2 xx的零点依次为a，b，c，则()Aabc BacbCbac Dcab解析：法一：由于f(1)10，f(0)10，且f(x)为R上的增函数，故f(x)2xx的零点a(1，0).因为g(2)0，所以g(x)的零点b2.因为h10，h(1)10，且h(x)为(0，)上的增函数，所以
7、h(x)的零点c，因此acb.法二：如图所示，在同一直角坐标系中，作出函数y12x，y22，y3log2x，y4x的图象，y1，y2，y3与y4图象交点的横坐标分别为a，b，c，由图知acb.答案：B14已知函数f(x)aR.若函数f(x)在R上有两个零点，则a的取值范围是()A(，1) B(，1C1，0) D(0，1解析：因为当x0时，f(x)2x1，由f(x)0得x，所以要使f(x)在R上有两个零点，则必须2xa0在(，0上有一解，又当x(，0时，2x(0，1，故所求a的取值范围是(0，1.答案：D15若函数f(x)4x2xa，x1，1有零点，实数a的取值范围为_解析：函数f(x)4x2x
8、a，x1，1有零点，方程4x2xa0在1，1上有解，a4x2x.x1，1，2x，即a.答案：16已知函数f(x)2ln x，g(x)mx1.若f(x)与g(x)的图象上存在关于直线y1对称的点，则实数m的取值范围是_解析：由题意知f(x)与g(x)的图象上存在关于直线y1对称的点，又g(x)mx1的图象关于直线y1对称的图象的解析式为ymx1，则直线ymx1与y2ln x的图象在上有交点，直线ymx1过定点(0，1)，当直线ymx1经过点时，得m3e，若直线ymx1与y2ln x的图象相切，设切点为(x1，y1)，则解得m3e时，直线ymx1与y2ln x的图象在上有交点，即f(x)与g(x)
9、的图象上存在关于直线y1对称的点，故实数m的取值范围是2e，3e.答案：2e，3eB组素养提升练1已知a，bR，定义运算“”：ab设函数f(x)2x1(24x)，xR.若函数yf(x)c的图象与x轴恰有两个公共点，则实数c的取值范围是()A(0，1) B(0，2)(2，3)C(0，2) D(0，1)(1，2)解析：若2x1(24x)1，则(2x)222x30，即2x1，解得x0；若2x1(24x)1，则(2x)222x30，解得2x1或2x3(舍去)，即x0，f(x)作出函数f(x)的图象和yc的图象如图所示yf(x)c有两个零点，f(x)c有两个解，0c1.答案：A2定义在R上的偶函数f(x
10、)满足：当x0时，f(x3)f(x).当0x3时，f(x)2|x2|，则函数g(x)f(x)x的零点的个数是()A6 B7C8 D无数个解析：函数g(x)f(x)x的零点个数即为函数yf(x)的图象与直线yx的交点个数由当x0时，f(x3)f(x)可知，函数f(x)在x0时，图象向右平移3个单位长度后，函数值变为原来的.由当0x3时，f(x)2|x2|可知f(x)所以函数f(x)的大致图象如图所示由图象可知函数yf(x)的图象与直线yx共有7个交点答案：B3已知a为正实数，f(x)若x1，x2R，使得f(x1)f(x2)，则实数a的取值范围是_解析：因为a0，所以抛物线yx2ax3的对称轴在y
11、轴左侧，所以函数yx2ax3在0，)上单调递增，且当x0时有最小值为3.又函数y2xa在(，0)上为增函数若x1，x2R，使得f(x1)f(x2)，只需20a3，解得a2，则实数a的取值范围为(2，).答案：(2，)4已知函数f(x)ln x(aR).若f(x)有两个零点，求实数a的取值范围解析：函数f(x)ln x(aR)的定义域为(0，)，要使函数f(x)ln x(aR)有两个零点，则方程x2ln xa有两个正实根令g(x)x2ln x，则g(x)2x ln xx(2ln x1).令g(x)0，可得x，所以g(x)在上单调递减，在上单调递增，因此函数g(x)在x处取得最小值.作出函数g(x
12、)的图象如图所示要使g(x)x2ln x的图象与直线ya有两个交点，则a，即实数a的取值范围是.5据气象中心观察和预测：发生于沿海M地的台风一直向正南方向移动，其移动速度v(单位：km/h)与时间t(单位：h)的函数图象如图所示，过线段OC上一点T(t，0)作横轴的垂线l，梯形OABC在直线l左侧部分的面积即为时间t内台风所经过的路程s(单位：km).(1)当t4时，求s的值；(2)将s随t变化的规律用数学关系式表示出来；(3)若N城位于M地正南方向，且距M地650 km，试判断这场台风是否会侵袭到N城，如果会，在台风发生后多长时间将侵袭到N城？如果不会，请说明理由解析：(1)由图象可知，线段OA的方程是v3t(0t10).当t4时，v12，所以s41224.(2)当0t10时，st3tt2；当10t20时，s1030(t10)3030t150；当20t35时，线段BC的方程是v2t70(0t35).s150300(t20)(2t7030)t270t550.综上可知，s随t变化的规律是s(3)会，在台风发生30 h后将侵袭到N城当t0，10时，smax102150650，当t(10，20时，smax3020150450650，当t(20，35时，令t270t550650，解得t30或t40(舍去)，即在台风发生30 h后将侵袭到N城