1、数学奥林匹克高中训练题（2）第一试一、 填空题（每小题8分，共64分）1. 已知函数满足则2. 已知正四棱锥的五个顶点在同一球面上。若该四棱锥的体积为，则球的表面积的最小值为3. 设是正实数，且，则4. 一个不规则的凸立方体内部有一点，过的直线与立方体表面交于点。则使成立的直线有条5. 已知，且。则6. 从中随意取1005个不同数，使得其和为1021035。则其中至少有个奇数7. 将116这16个正整数随机地填入棋盘的16个格子中（每格填写一数）。则使每行、每列填数之和皆为偶数的概率为8. 已知可以用一系列半径为且彼此不重叠的圆盘覆盖平面上的所有格点（在平面直角坐标系中，横、纵坐标都是整数的点
2、为格点）。则4（填“大于”“小于”或“等于”）二、 解答题（共56分）9. （16分）已知，椭圆，其中，从上任一点引椭圆的切线，两个切点所连线段称为其对应的切点弦。试求椭圆内部与上述切点弦永远不相交的区域。10. （20分）操场上有100个人排成一圈，按顺时针方向依次标为主持人将编号为的纪念品按照以下方式依次分发给众人：先将第1号纪念品交给；然后顺时针跳过1个人，将第2号纪念品交给；再顺时针跳过2个人，将第3号纪念品交给；第次顺时针跳过个人，将第号纪念品交给，其中，如此下去，直到纪念品发完为止。试求得到纪念品最多的人及其所得纪念品的编号。11. （20分）在半径为4的大球内，已任意放了24个棱长为1的正方体证明：在大球内至少还可以放置4个半径为的小球，使得这些小球及正方体都在大球内且相互不重叠。加试一、（40分）已知锐角，过点的与边分别交于点，为外接圆的弧上一点证明：三线共点的充要条件是的内心与的内心重合。二、（40分）已知正实数满足证明：对任意正实数，有三、（50分）试求的最末两位非零数字四、（50分）已知为大于3的整数，将的立方体分割为个单位正方体，从一角的单位正方体起第层、第行、第列的单位正方体记为。求所有有序六元组的个数，使得一只蚂蚁从出发，经过每个小正方体恰一次到达。【注】蚂蚁可以从一个单位正方体爬到另一个与之有公共面的相邻正方体。
