1、课时作业18抛物线的简单几何性质基础巩固1抛物线y24x上一点M到焦点的距离为3，则点M的横坐标x等于()A1B2C3 D4解析：x3，p2，x2，选B.答案：B2过定点P(0,2)作直线l，使l与曲线y24x有且仅有1个公共点，这样的直线l共有()A1条 B2条C3条 D4条解析：一条切线，一条y轴，一条平行于x轴答案：C3过抛物线y24x的焦点作直线交抛物线于P(x1，y1)，Q(x2，y2)两点，若x1x26，则|PQ|的值为()A10 B8C5 D6解析：如图1，F(1,0)由定义知|PQ|x1x228.图1答案：B4设抛物线y24px的焦点弦的两端点为(x1，y1)、(x2，y2)，
2、则y1y2的值是()Ap2 B1p2C4p2 D4p2解析：F(p,0)设弦方程消去x得ky24py4kp20.由韦达定理y1y24p2.答案：D5若抛物线y22px的焦点与椭圆1的右焦点重合，则该抛物线的准线方程为_. 解析：由题意椭圆1，故它的右焦点坐标是(2,0)，又y22px(p0)的焦点与椭圆1相同，故p4抛物线的准线方程为x2.答案：x26(2017年高考课标全国卷)已知F是抛物线C：y28x的焦点，M是C上一点，FM的延长线交y轴于点N.若M为FN的中点，则|FN|_.解析：解法1：依题意，抛物线C：y28x的焦点F(2,0)，准线x2，因为M是C上一点，FM的延长线交y轴于点N
3、，M为FN的中点，设M(a，b)(b0)，所以a1，b2，所以N(0,4)，|FN|6.解法2：依题意，抛物线C：y28x的焦点F(2,0)，准线x2，因为M是C上一点，FM的延长线交y轴于点N，M为FN的中点，则点M的横坐标为1，所以|MF|1(2)3，|FN|2|MF|6.答案：67已知直线l1：4x3y60和直线l2：x1，抛物线y24x上一动点P到直线l1和直线l2的距离之和的最小值是_解析：由抛物线定义知P到准线l2：x1的距离等于它到焦点(1,0)的距离，所以P到直线l1和l2的距离之和最小值等于焦点到l1的距离d2.答案：28斜率为1的直线经过抛物线y24x的焦点，与抛物线相交于
4、两点A、B，求线段AB的长解：如图2，由抛物线的标准方程可知，焦点F(1,0)，准线方程为x1，由题设，直线AB的方程为yx1，代入抛物线方程y24x，图2整理得x26x10.解法1：解上述方程得x132，x232，分别代入直线方程得y122，y222，即A、B的坐标分别为(32，22)、(32，22)，|AB|8.解法2：设A(x1，y1)、B(x2，y2)，则x1x26，x1x21，|AB|x1x2|8.解法3：设A(x1，y1)、B(x2，y2)由抛物线的定义可知，|AF|AA|x11，|BF|BB|x21，|AB|x1x22628.能力提升1已知抛物线关于x轴对称，它的顶点在坐标原点O
5、，并且经过点M(2，y0)若点M到该抛物线焦点的距离为3，则|OM|()A2 B2C4 D2解析：由题意设抛物线方程为y22px(p0)，则点M到焦点的距离为xM23，p2.抛物线方程为y24x.点M(2，y0)在抛物线y24x上，y42.y02.|OM|2.答案：B2设抛物线y28x的准线与x轴交于点Q，若过点Q的直线l与抛物线有公共点，则直线l的斜率的取值范围是()A， B2,2C1,1 D4,4解析：设直线方程为yk(x2)，与抛物线方程联立，得消去x，得到关于y的方程ky28y16k0.当k0时，上述方程有解，所以直线与抛物线有公共点；当k0时，应有0，即6464k20，解得1k1且k
6、0.综上可知，l斜率的取值范围是1,1答案：C3设抛物线y28x的焦点为F，准线为l，P为抛物线上一点，PAl，A为垂足如果直线AF的斜率为，那么|PF|()A4 B8C8 D16解析：如图3所示，因为AF的斜率为，所以AFx120，又因为PAx轴，所以PAF18012060，再加之抛物线的定义得PAPF，因此PAF为等边三角形此题可通过构造以下三种情境将|PF|解出情境1：如图4，设准线与x轴相交于M，易得AFM60，所以在RtAMF中，cosAFM，所以|AF|2|MF|8，又因为APF为等边三角形，故|PF|AF|8.情境2：如图5，过F点作AP的垂线，设垂足为N，因为APF为等边三角形
7、，所以|PA|2|AN|2|MF|8，故|PF|PA|8.情境3：如图6，过点P作x轴的垂线，设垂足为Q，因为PFQ60，所以在RtPFQ中，|FQ|PF|cos60|PF|，又因为|PA|PF|MQ|MF|FQ|4|PF|，易得|PF|8.答案：B4抛物线y24x的焦点弦被焦点分成长是m和n的两部分，则m与n的关系是()Amnmn Bmn4Cmn4 D无法确定解析：由消y得k2x2(2k24)xk20，则x1x21，x1x2，mnmn.答案：A5已知抛物线y22px(p0)，过其焦点且斜率为1的直线交抛物线于A、B两点，若线段AB的中点的纵坐标为2，则该抛物线的准线方程为()Ax1 Bx1C
8、x2 Dx2解析：设A(x1，y1)，B(x2，y2)由题意，x1x2，y1y24且1y2px2，y2px1，yy2p(x2x1)，(y2y1)(y2y1)2p(x2x1)，(y2y1)2p.即42p，p2，准线方程为：x1，故选B.答案：B6(2018年高考课标全国卷)已知点M(1，1)和抛物线C：y24x，过C的焦点且斜率为k的直线与C交于A，B两点若AMB90，则k_解析：解法1：由题意知抛物线的焦点为(1，0)，则过C的焦点且斜率为k的直线方程为yk(x1)(k0)，由消去y，得k2(x1)24x，即k2x2(2k24)xk20，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1x2，x1x
9、21.由消去x，得y24(y1)，即y2y40，则y1y2，y1y24，由AMB90，得(x11，y11)(x21，y21)x1x2x1x21y1y2(y1y2)10，将x1x2，x1x21与y1y2，y1y24代入，得k2.解法2：设抛物线的焦点为F，A(x1，y1)，B(x2，y2)，则所以y12y224(x1x2)，则k，取AB的中点M(x0，y0)，分别过点A，B作准线x1的垂线，垂足分别为A，B，又AMB90，点M在准线x1上，所以|MM|AB|(|AF|BF|)(|AA|BB|)又M为AB的中点，所以MM平行于x轴，且y01，所以y1y22，所以k2.答案：27若抛物线y2mx与椭
10、圆1有一个共同的焦点，则m_.解析：椭圆焦点为(2,0)，抛物线为y28x.答案：88过抛物线x22py(p0)的焦点F作倾斜角为30的直线，与抛物线分别交于A、B两点(点A在y轴左侧)，则_.解析：图7解法1：几何法：如图7，令AFx，则AA1x；FBy，则BB1yHB2y，HB2xxy2y，解法2：特殊值法：令p2，则，求出A、B坐标即可答案：9已知抛物线y2x上存在两点关于直线l：yk(x1)1对称，求实数k的取值范围解：设抛物线上的A点的坐标为(y，y1)，B点的坐标为(y，y2)，并且关于直线l对称，则得y1，y2是方程t2kt0的两个不同的实数根，k240，得2k0)的焦点，点A(
11、2，m)在抛物线E上，且|AF|3.图8(1)求抛物线E的方程；(2)已知点G(1,0)，延长AF交抛物线E于点B，证明：以点F为圆心且与直线GA相切的圆，必与直线GB相切解：(1)由抛物线的定义得|AF|2.因为|AF|3，即23，解得p2，图9所以抛物线E的方程为y24x.(2)因为点A(2，m)在抛物线E：y24x上，所以m2，由抛物线的对称性，不妨设 A(2,2)由A(2,2)，F(1,0)可得直线AF的方程为y2(x1)由，得2x25x20，解得x2或x，从而B.又G(1,0)，所以kGA，kGB，所以kGAkGB0，从而AGFBGF，这表明点F到直线GA，GB的距离相等，故以F为圆
12、心且与直线GA相切的圆必与直线GB相切创新拓展1已知抛物线y22px(p0)的焦点为F，点P1(x1，y1)、P2(x2，y2)、P3(x3，y3)在抛物线上，且2x2x1x3，则有()A|FP1|FP2|FP3|B|FP1|2|FP2|2|FP3|2C2|FP2|FP1|FP3|D|FP2|2|FP1|FP3|图10解析：如图10所示，由定义知|FP1|x1，|FP2|x2，|FP3|x3，由2x2x1x3知，2|FP2|FP1|FP3|.答案：C2已知双曲线C1：1(a0，b0)的离心率为2.若抛物线C2：x22py(p0)的焦点到双曲线C1的渐近线的距离为2，则抛物线C2的方程为()Ax
13、2y Bx2yCx28y Dx216y解析：抛物线x22py(p0)的焦点为(0，)双曲线的一条渐近线为yx即bxay0.由题意：2即p2.2p8抛物线方程为x216y选D.答案：D3已知以F为焦点的抛物线y24x上的两点A、B满足3，则弦AB的中点到准线的距离为_图11解析：如图11，分别过A、B作准线x1的垂线，垂足分别为E、G，又过B作BKAE于K交x轴于H，由3，可设|m，|3m，由抛物线的性质得，|AE|3m，|BG|m，|HF|2m；又由HFAE有.，m，所以弦AB的中点到准线的距离为(|BG|AE|)|AB|4m2.答案：4设抛物线(t为参数，p0)的焦点为F，准线为l.过抛物线上一点A作l的垂线，垂足为B.设C，AF与BC相交于点E.若|CF|2|AF|，且ACE的面积为3，则p的值为_解析：抛物线的普通方程为y22px，(p0)，F(，0)，l：x，|CF|3p，又|CF|2|AF|，则|AF|p，由抛物线的定义得|AB|p，所以xAp，则|yA|p，由CFAB得，即2，所以SCEF2SCEA6，所以SACFSAECSCFE9，所以3pp9，p.答案：