1、课 题：2.4.2 反函数（二）教学目的：使学生了解互为反函数的函数图象间的关系的定理及其证明.会利用互为反函数的函数图象间的关系解决有关问题.教学重点：互为反函数的函数图象间的关系定理及其证明，定理的应用；教学难点：定理的证明（但教材不作要求）.授课类型：新授课课时安排：1课时教 具：多媒体、实物投影仪教学过程：一、复习引入：1反函数的定义；2互为反函数的两个函数与间的关系：-定义域、值域相反，对应法则互逆；3反函数的求法：一解、二换、三注明4. 在平面直角坐标系中，点A(x,y)关于x轴的对称点(x,-y);点A(x,y)关于y轴的对称点(-x,y);点A(x,y)关于原点的对称点(-x,
2、-y);点A(x,y)关于y=x轴的对称点(?,？);5.我们已经知道两个互为反函数的函数间有着必然的联系（在定义域、值域和对应法则方面）. 函数图象是从“形”的方面反映这个函数的自变量x与因变量y之间的关系.因此，互为反函数的函数图象间也必然有一定的关系，今天通过观察如下图像研究互为反函数的函数图象间的关系.的反函数是的反函数是二、讲解新课：1探究互为反函数的函数的图像关系观察讨论函数、反函数的图像，归纳结论：函数的图象和它的反函数的图象关于直线对称.2证明结论（不要求掌握，根据实际情况处理）证明：设M(a,b)是的图象上的任意一点，则当x=a时，有唯一的值.有反函数，当x=b时，有唯一的值
3、，即点(b,a)在反函数的图象上.若a=b，则M，是直线y=x上的同一个点，它们关于直线y=x对称. 若ab，在直线y=x上任意取一点P(c,c)，连结PM，P，M由两点间的距离公式得：PM=,P=，PM=P. 直线y=x是线段M的垂直平分线，点M, 关于直线y=x对称.点M是y=f(x)的图象上的任意一点，图象上任意一点关于直线y=x的对称点都在它的反函数的图象上，由与互为反函数可知，函数图象上任意一点关于直线y=x的对称点也都在它的反函数的图象上，函数与的图象关于直线y=x对称.逆命题成立：若两个函数的图象关于直线y=x对称，则这两个函数一定是互为反函数.3应用：利用对称性作反函数的图像若
4、的图象已作出或比较好作，那么它的反函数的图象可以由的图象关于直线y=x对称而得到；求反函数的定义域求原函数的值域；反函数的单调性与原函数的单调性相同三、讲解例题：例1求函数的反函数,并利用对称关系作出其反函数的图象.解：原函数的定义域是x0, 由y=解出,函数的反函数是,作 y=(x(-,0)的图象，再作该函数关于直线y=x的对称曲线，即为函数的图象（如图）. 例2求函数的值域分析：灵活运用互为反函数的两个函数定义域和值域之间的关系.解： y函数的值域为y|y例3 已知=(x-1)，求；解法1：令=y=，=-，x-1，x=-;x-1，由式知1,y0; = -(x0)；=-2.分析：由y=与y=
5、互为反函数的关系可知：当y=中的x=a时y=b，则在y=中,当x=b时y=a，本题要求，设其为u，说明在函数=y=(x-1)中，当y=时，x=u，问题转化为知原来函数中的y=而求x. 解法2：令=，变形得=1+3=4，又x-1，x=-2.说明：解法2显然比解法1简捷得多，正确灵活地运用所学的有关概念，往往可以收到事半功倍的效果.四、练习：课本P6364练习：5，6，7补充：设函数y=的反函数为y=，求y=的反函数.解：在函数y=中，x为自变量，y为函数，且由题意知-x=, x=-，y=的反函数为y=-，又= ,y=的反函数为y=-. 五、小结 本节课学习了以下内容：1.互为反函数的函数图象间关系，2.求一个函数的反函数图象的方法，3.互为反函数的两个函数具有相同的增减性六、课后作业：课本P64习题2.4：2答案与提示：2.y=,x0,5;补充：求下列函数的反函数：；y=-6x+12(x3);y=(x-2).已知函数y=ax+2的反函数是y=3x+b，求a,b的值.答案： y=-(x0); y=3-(x0);y=-2(x0). a=,b=-6;.七、板书设计（略）八、课后记：
