1、1.2 类比推理 课后训练案巩固提升一、A 组1.由代数式的乘法法则类比推导向量的数量积的运算法则:“mn=nm”类比得到“ab=ba”;“(m+n)t=mt+nt”类比得到“(a+b)c=ac+bc”;“(mn)t=m(nt)”类比得到“(ab)c=a(bc)”;“t0,mt=xtm=x”类比得到“p0,ap=xpa=x”;“|mn|=|m|n|”类比得到“|ab|=|a|b|”;“”类比得到“”.以上式子中,类比得到的结论正确的个数是()A.1B.2C.3D.4解析:正确,错误.答案:B2.下列平面图形中,与空间中的平行六面体作为类比对象较为合适的是()A.三角形B.梯形C.矩形D.平行四
2、边形解析:因为平行六面体的六个面全为平行四边形,并且相对的每一对面平行且全等.类比这一性质可知平面中应类比平行四边形更合适.答案:D3.把下面在平面内成立的结论类比地推广到空间,结论仍然正确的是()A.如果一条直线与两条平行线中的一条相交,那么也与另一条相交B.如果一条直线与两条平行线中的一条垂直,那么也与另一条垂直C.如果两条直线同时与第三条直线相交,那么这两条直线相交或平行D.如果两条直线同时与第三条直线垂直,那么这两条直线平行答案:B4.类比三角形中的性质:(1)两边之和大于第三边(2)中位线长等于底边长的一半(3)三内角平分线交于一点可得四面体的对应性质:(1)任意三个面的面积之和大于
3、第四个面的面积(2)过四面体的交于同一顶点的三条棱的中点的平面面积等于该顶点所对的面面积的 (3)四面体的六个二面角的平分面交于一点其中类比推理方法正确的有()A.(1)B.(1)(2)C.(1)(2)(3)D.都不对解析:以上类比推理方法都正确,需注意的是类比推理得到的结论是否正确与类比推理方法是否正确并不等价,方法正确结论也不一定正确.答案:C5.在以原点为圆心,半径为 r 的圆上有一点 P(x0,y0),则圆的面积 S 圆=r2,过点 P 的圆的切线方程为 x0 x+y0y=r2.在椭圆 =1(ab0)中,当离心率 e 趋近于 0 时,短半轴 b 就趋近于长半轴 a,此时椭圆就趋近于圆.
4、类比圆的面积公式得椭圆面积 S 椭圆=.类比过圆上一点 P(x0,y0)的圆的切线方程,得过椭圆 =1(ab0)上一点 P(x1,y1)的椭圆的切线方程为 .解析:当椭圆的离心率 e 趋近于 0 时,椭圆趋近于圆,此时 a,b 都趋近于圆的半径 r,故由圆的面积S=r2=rr,猜想椭圆面积 S 椭=ab,其严格证明可用定积分处理.而由切线方程 x0 x+y0y=r2变形得 x+y=1,则过椭圆上一点 P(x1,y1)的椭圆的切线方程为 x+y=1,其严格证明可用导数求切线处理.答案:ab x+y=16.在平面直角坐标系xOy 中,二元一次方程Ax+By=0(A,B 不同时为0)表示过原点的直线
5、.类似地:在空间直角坐标系 O-xyz 中,三元一次方程 Ax+By+Cz=0(A,B,C 不同时为 0)表示 .解析:由方程的特点可知:平面几何中的直线类比到立体几何中应为平面,“过原点”类比仍为“过原点”,因此应得到:在空间直角坐标系 O-xyz 中,三元一次方程 Ax+By+Cz=0(A,B,C 不同时为 0)表示过原点的平面.答案:过原点的平面7.导学号 18334027 给出下列推理:(1)三角形的内角和为(3-2)180,四边形的内角和为(4-2)180,五边形的内角和为(5-2)180,所以凸 n 边形的内角和为(n-2)180;(2)三角函数都是周期函数,y=tan x 是三角
6、函数,所以 y=tan x 是周期函数;(3)狗是有骨骼的;鸟是有骨骼的;鱼是有骨骼的;蛇是有骨骼的;青蛙是有骨骼的.狗、鸟、鱼、蛇和青蛙都是动物,所以,所有的动物都是有骨骼的;(4)在平面内如果两条直线同时垂直于第三条直线,那么这两条直线互相平行;在空间中如果两个平面同时垂直于第三个平面,那么这两个平面互相平行.其中属于合情推理的是 .(填序号)解析:根据合情推理的定义来判断.因为(1)(3)都是归纳推理,(4)是类比推理,而(2)不符合合情推理的定义,所以(1)(3)(4)都是合情推理.答案:(1)(3)(4)8.已知以下过程可以求 1+2+3+n 的和.因为(n+1)2-n2=2n+1,
7、n2-(n-1)2=2(n-1)+1,22-12=21+1,有(n+1)2-1=2(1+2+n)+n,所以 1+2+3+n=-.类比以上过程求 12+22+32+n2 的和.解:因为(n+1)3-n3=3n2+3n+1,n3-(n-1)3=3(n-1)2+3(n-1)+1,23-13=312+31+1,有(n+1)3-1=3(12+22+n2)+3(1+2+3+n)+n,所以 12+22+n2=(-)=.二、B 组1.在平面几何中有如下结论:正三角形ABC的内切圆面积为S1,外接圆面积为S2,则 ,推广到空间可以得到类似结论.已知正四面体 P-ABC 的内切球体积为 V1,外接球体积为 V2,
8、则 等于()A.B.C.D.解析:如图,正三角形的内切圆与外接圆为同心圆,其半径分别为 r1,r2,且 r1r2=12,所以 .类比此性质知正四面体 P-ABC 的内切球与外接球为同心球,其球半径分别为 r,R.则=.图图如图所示,正四面体 P-ABC 中,过点 P 作 PE平面 ABC,则 E 为底面正三角形 ABC 的中心,球心在 PE 上,设为 O,于是 OA=OP=R,OE=r,设正四面体棱长为 a,则 AE=a,PE=a.RtAOE 中有 R2=(-)(),解得 R=a.所以 r=a-a=a,.答案:D2.类比“两角和与差的正弦公式”的形式,对于给定的两个函数:S(x)=ax-a-x
9、,C(x)=ax+a-x,其中 a0,且 a1,下面正确的运算公式是()S(x+y)=S(x)C(y)+C(x)S(y);S(x-y)=S(x)C(y)-C(x)S(y);2S(x+y)=S(x)C(y)+C(x)S(y);2S(x-y)=S(x)C(y)-C(x)S(y).A.B.C.D.解析:经验证易知错误.依题意,注意到 2S(x+y)=2(ax+y-a-x-y),又S(x)C(y)+C(x)S(y)=2(ax+y-a-x-y),因此有 2S(x+y)=S(x)C(y)+C(x)S(y);同理有2S(x-y)=S(x)C(y)-C(x)S(y).综上所述,选 B.答案:B3.六个面都是平
10、行四边形的四棱柱称为平行六面体,在ABCD 中,有 AC2+BD2=2(AB2+AD2),那么在平行六面体 ABCD-A1B1C1D1 中,A +B +C +D 等于()A.2(AB2+AD2+A )B.3(AB2+AD2+A )C.4(AB2+AD2+A )D.4(AB2+AD2)解析:如图所示,四边形 AA1C1C 和 BB1D1D 也都是平行四边形,从而有A +C =2(AC2+A ),B +D =2(BD2+B ),所以A +C +B +D =2(AC2+BD2)+4A =4(AB2+AD2+A ).答案:C4.已知ABC 的顶点 A,B 分别是离心率为 e 的圆锥曲线 =1 的焦点,
11、顶点 C 在该曲线上;一同学已正确地推得:当 mn0 时有 e(sin A+sin B)=sin C.类似地,当 m0,nn0 时,=1 为椭圆,|AC|+|BC|=2,由正弦定理知,e=e(sin A+sin B)=sin C.当 m0,n(2x+3)3-x 的解是 .解析:不等式 x3-(2x+3)(2x+3)3-x 可化为 x3+x(2x+3)3+(2x+3),令 f(x)=x3+x,则原不等式为 f(x)f(2x+3),又 f(x)=3x2+10,故函数 f(x)=x3+x 是 R 上的增函数.所以 x2x+3,解得 x-3.答案:x-36.导学号 18334028 若等差数列an的前
12、 n 项和为 Sn,则 S2n-1=(2n-1)an.由类比推理可得:在等比数列bn中,若其前 n 项的积为 Pn,则 P2n-1=.解析:将等差数列前 n 项和类比到等比数列前 n 项的积,将等差中项的“倍数”类比到等比中项的“乘方”.因为等差数列an的前 n 项和为 Sn,则 S2n-1=(2n-1)an,所以类比可得:在等比数列bn中,若其前 n 项的积为 Pn,则 P2n-1=-.答案:-7.若ABC 的边长分别为 a,b,c,其对角分别为 A,B,C,那么由 a=bcos C+ccos B 可类比四面体的什么性质?解:在如图所示的四面体中,S1,S2,S3,S 分别表示PAB,PBC
13、,PCA,ABC 的面积,依次表示面 PAB,面 PBC,面 PCA 与底面 ABC 所成二面角的大小.猜想 S=S1cos+S2cos+S3cos.8.圆是平面上到定点的距离等于定长的点的集合;球是空间中到定点的距离等于定长的点的集合.这两个定义很相似.于是我们猜想圆与球会有某些相似的性质.试将平面上的圆与空间中的球进行类比.解:圆与球在它们的生成、形状、定义等方面都具有相似的属性.据此,在圆与球的相关元素之间可以建立如下的对应关系:弦截面圆,直径大圆,周长表面积,圆面积球体积,等等.于是,根据圆的性质,可以猜测球的性质如下表所示:圆的性质 球的性质 圆心与弦(不是直径)的中点的连线垂直于弦 球心与截面圆(不是大圆)的圆心的连线垂直于截面 与圆心距离相等的两弦相等,与圆心距离不等的两弦不等,距圆心较近的弦较长 与球心距离相等的两截面圆是等圆;与球心距离不等的两截面圆不等,距球心较近的截面圆较大 圆的切线垂直于经过切点的半径;经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点 球的切面垂直于经过切点的半径;经过球心且垂直于切面的直线必经过切点 经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心 经过切点且垂直于切面的直线必经过球心 圆的周长 c=d 球的表面积 S=d2 圆的面积 S=r2 球的体积 V=r3
