1、第2讲 空间几何体的表面积与体积一、选择题1棱长为2的正四面体的表面积是()A. B4 C4 D16解析每个面的面积为：22.正四面体的表面积为：4.答案C2把球的表面积扩大到原来的2倍，那么体积扩大到原来的 ()A2倍 B2倍 C.倍 D.倍解析由题意知球的半径扩大到原来的倍，则体积VR3，知体积扩大到原来的2倍答案B3一个几何体的三视图如图所示，那么此几何体的侧面积(单位：cm2)为 ()A48 B64 C80 D120解析据三视图知，该几何体是一个正四棱锥(底面边长为8)，直观图如图，PE为侧面PAB的边AB上的高，且PE5.此几何体的侧面积是S4SPAB48580(cm2)答案C4已知
2、三棱锥SABC的所有顶点都在球O的球面上，ABC是边长为1的正三角形，SC为球O的直径，且SC2，则此棱锥的体积为()A. B. C. D.解析在直角三角形ASC中，AC1，SAC90，SC2，SA；同理SB.过A点作SC的垂线交SC于D点，连接DB，因SACSBC，故BDSC，故SC平面ABD，且平面ABD为等腰三角形，因ASC30，故ADSA，则ABD的面积为1 ，则三棱锥的体积为2.答案A5某品牌香水瓶的三视图如下(单位：cm)，则该几何体的表面积为 ()A.cm2 B.cm2C.cm2 D.cm2解析该几何体的上下为长方体，中间为圆柱S表面积S下长方体S上长方体S圆柱侧2S圆柱底244
3、442233431212294.答案C6已知球的直径SC4，A，B是该球球面上的两点，AB，ASCBSC30，则棱锥S-ABC的体积为()A3 B2 C. D1解析由题可知AB一定在与直径SC垂直的小圆面上，作过AB的小圆交直径SC于D，设SDx，则DC4x，此时所求棱锥即分割成两个棱锥S-ABD和C-ABD，在SAD和SBD中，由已知条件可得ADBDx，又因为SC为直径，所以SBCSAC90，所以DCBDCA60，在BDC中 ，BD(4x)，所以x(4x)，所以x3，ADBD，所以三角形ABD为正三角形，所以VSABD4.答案C二、填空题7已知S、A、B、C是球O表面上的点，SA平面ABC，
4、ABBC，SAAB1，BC，则球O的表面积等于_解析将三棱锥SABC补形成以SA、AB、BC为棱的长方体，其对角线SC为球O的直径，所以2RSC2，R1，表面积为4R24.答案48如图所示，已知一个多面体的平面展开图由一个边长为1的正方形和4个边长为1的正三角形组成，则该多面体的体积是_解析由题知该多面体为正四棱锥，底面边长为1，侧棱长为1，斜高为，连接顶点和底面中心即为高，可求得高为，所以体积V11.答案9已知某几何体的直观图及三视图如图所示，三视图的轮廓均为正方形，则该几何体的表面积为_解析借助常见的正方体模型解决由三视图知，该几何体由正方体沿面AB1D1与面CB1D1截去两个角所得，其表
5、面由两个等边三角形、四个直角三角形和一个正方形组成计算得其表面积为124.答案12410如图所示，正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为6，则以正方体ABCDA1B1C1D1的中心为顶点，以平面AB1D1截正方体外接球所得的圆为底面的圆锥的全面积为_解析设O为正方体外接球的球心，则O也是正方体的中心，O到平面AB1D1的距离是体对角线长的，即为.又球的半径是正方体对角线长的一半，即为3，由勾股定理可知，截面圆的半径为2，圆锥底面面积为S1(2)224，圆锥的母线即为球的半径3，圆锥的侧面积为S22318.因此圆锥的全面积为SS2S11824(1824).答案(1824)三、解答题11 .一个几
6、何体的三视图如图所示已知主视图是底边长为1的平行四边形，左视图是一个长为，宽为1的矩形，俯视图为两个边长为1的正方形拼成的矩形(1)求该几何体的体积V；(2)求该几何体的表面积S. 解 (1)由三视图可知，该几何体是一个平行六面体(如 图)，其底面是边长为1的正方形，高为，所以V11.(2)由三视图可知，该平行六面体中，A1D平面ABCD，CD平面BCC1B1，所以AA12，侧面ABB1A1，CDD1C1均为矩形，S2(11112)62.12在直三棱柱ABCA1B1C1中，底面为直角三角形，ACB90，AC6，BCCC1，P是BC1上一动点，如图所示，求CPPA1的最小值解PA1在平面A1BC
7、1内，PC在平面BCC1内，将其铺平后转化为平面上的问题解决铺平平面A1BC1、平面BCC1，如图所示计算A1BAB1，BC12，又A1C16，故A1BC1是A1C1B90的直角三角形CPPA1A1C.在AC1C中，由余弦定理，得A1C5，故(CPPA1)min5.13某高速公路收费站入口处的安全标识墩如图1所示，墩的上半部分是正四棱锥PEFGH，下半部分是长方体ABCDEFGH.图2、图3分别是该标识墩的主视图和俯视图(1)请画出该安全标识墩的左视图；(2)求该安全标识墩的体积解(1)左视图同主视图，如图所示：(2)该安全标识墩的体积为VVPEFGHVABCDEFGH402604022064 000(cm3)14如图(a)，在直角梯形ABCD中，ADC90，CDAB，AB4，ADCD2，将ADC沿AC折起，使平面ADC平面ABC，得到几何体DABC，如图(b)所示(1)求证：BC平面ACD；(2)求几何体DABC的体积(1)证明在图中，可得ACBC2，从而AC2BC2AB2，故ACBC，又平面ADC平面ABC，平面ADC平面ABCAC，BC平面ABC，BC平面ACD.(2)解由(1)可知，BC为三棱锥BACD的高，BC2，SACD2，VBACDSACDBC22，由等体积性可知，几何体DABC的体积为.