1、第一章数 列2 等差数列2.1 等差数列第1课时 等差数列的概念及通项公式内 容 标 准学 科 素 养1.理解等差数列的概念.2.掌握等差数列的判定方法.3.了解等差数列的通项公式的推导过程及思想，掌握等差数列的通项公式，学会其应用.加强概念理解形成逻辑推理提升数学运算01 课前 自主预习02 课堂 合作探究03 课后 讨论探究04 课时 跟踪训练基础认识知识点一 等差数列的概念预习教材P1012，思考并完成以下问题观察下列几组数列0，5，10，15，20，25，9，6，3，0，3，6，2，2，2，2，2，2，(1)每个数列从第2项起，每一项与前一项的差分别是几？提示：从第2项起，每一项与前一
2、项的差分别是5，3，0.(2)每个数列中，相邻两项的递推关系是什么？提示：分别是an1an5，an1an3，an1an0.(3)这几个数列都有什么共同特点？提示：从第2项起，每一项与前一项的差都是同一常数知识梳理 等差数列的定义(1)文字语言：如果一个数列从第_项起，每一项与前一项的差是_，我们称这样的数列为等差数列，称这个_为等差数列的公差，通常用字母_表示(2)符号语言：an1and，(d为常数，nN)2 同一个常数常数d知识点二 等差数列的通项公式思考并完成以下问题1等差数列1，3，5，7，中，你能归纳出它的通项公式吗？怎样表示提示：能an2n1.提示：a2a1da3a2da4a3dan
3、an1d(n1)个将以上(n1)个等式两边分别相加，可得ana1(n1)d，即ana1(n1)d.2结合等差数列的定义，你能得出等差数列的通项公式吗？3确定等差数列an的通项公式的关键是确定哪些量？提示：等差数列an的首项a1与公差d.知识梳理 等差数列的通项公式若等差数列an的首项是a1，公差是d，则这个等差数列的通项公式是_ana1(n1)d自我检测1若数列an的通项公式为an2n5，则此数列是()A公差为2的等差数列B公差为5的等差数列C首项为5的等差数列D公差为n的等差数列解析：an2n5，an12(n1)52n7，an1an(2n7)(2n5)2，数列an是公差为2的等差数列故选A.
4、答案：A2已知等差数列an的首项a14，公差d2，则通项公式an()A42nB2n4 C62nD2n6解析：ana1(n1)d4(n1)(2)2n6.答案：C3等差数列1，1，3，5，89的项数为_解析：因为a11，d112，所以ana1(n1)d2n3.由2n389，得n46.答案：46探究一 等差数列的判断阅读教材P11例1及解答判断下面数列是否为等差数列(1)an2n1.(2)an(1)n.题型：等差数列的判断方法步骤：(1)定义法：作差anan1(n2，nN)，化简差，下结论(2)通项公式法：找出数列的通项公式an.看an是否为anknb(k、b为常数，nN)的形式例1 判断下列数列是
5、否是等差数列，并给出证明(1)an42n；(2)ann2n.解析(1)是等差数列an1an42(n1)(42n)42n242n2(常数)，an是等差数列，且公差为2.(2)不是等差数列a12，a26，a312.a2a1a3a2，an不是等差数列方法技巧 判断等差数列的方法(1)本例给出了数列的通项公式，要判断是否为等差数列可以用定义法，也可以直接看通项公式是否为anknb(k，b为常数，nN)的形式，若符合形式则为等差数列，否则不是(2)定义是判断一个数列是否为等差数列的重要依据，要证明一个数列为等差数列，可用an1and(常数)或它的等价命题，但若要说明一个数列不是等差数列，则只需举出反例跟
6、踪探究 1.如果数列a1，a2，a3，an，(nN)是等差数列，那么下列数列中不是等差数列的是()Aa13，a23，a33，an3，B2a1，2a2，2a3，2an，C.1a1，1a2，1a3，1an，D2a11，2a21，2a31，2an1，解析：因数列an为等差数列，设anan1d(d为常数)，nN，且n2，选项A中，数列的第n项减去第n1项得：(an3)(an13)anan1d；选项B中，数列的第n项减去第n1项得：2an2an12(anan1)2d；选项D中，数列的第n项减去第n1项得：(2an1)(2an11)2(anan1)2d；选项C中，数列的第n项减去第n1项得：1an 1an
7、1an1ananan1 danan1，结果不是常数答案：C2若an是等差数列，下列数列中仍为等差数列的有()|an|；an1an；panq(p，q为常数)；2annA1个B2个C3个D4个解析：设anknb(k，b为常数，nN)，则an1ank，故为常数列，也是等差数列panqp(knb)qpkn(pbq)，故为等差数列.2ann2(knb)n(2k1)n2b，故为等差数列未必，如an2n4，则|an|的前4项为2，0，2，4，显然|an|不是等差数列答案：C3已知数列an的通项公式为anpn2qn(p，q为常数，nN)，当p和q满足什么条件时，数列an是等差数列？解析：anpn2qn，an1
8、anp(n1)2q(n1)pn2qn2pnpq.若是等差数列，其差应该是一个与n无关的常数，2p0.p0，q为常数时，数列an为等差数列探究二 求等差数列的通项公式阅读教材P12例3及解答(1)求等差数列9，5，1，的第10项；(2)已知等差数列an，an4n3，求首项a1和公差d.题型：求等差数列的通项公式方法步骤：(1)写出首项a1，求出公差d.写出通项公式an.求出a10.(2)求出a1.求出a2.求出公差da2a1.例2(2016高考全国卷改编)等差数列an中，a3a44，a5a76.(1)求an的通项公式(2)49是不是此数列中的项？若是，是第几项？若不是，说明理由解析(1)设数列a
9、n的公差为d，由题意有2a15d4，a15d3.解得a11，d25，所以an的通项公式为an2n35.(2)49是此数列中的项令an2n3549，得2n242.故n121.因此49是此数列中的第121项方法技巧 求等差数列通项公式的四个步骤跟踪探究 4.(1)求等差数列8，5，2，的第20项；(2)判断401是不是等差数列5，9，13，的项，如果是，是第几项？解析：(1)a18，a25，得da2a1583，由n20得，a208(201)(3)49.(2)由a15，d9(5)4，得这个数列的通项公式an5(n1)(4)4n1.由题意令4014n1，得n100，即401是这个数列的第100项探究三
10、 等差数列通项公式的应用阅读教材P12例4及解答已知在等差数列an中，a520，a2035，试求出数列的通项公式题型：等差数列通项公式的应用方法步骤：设出等差数列通项公式ana1(n1)d(nN)分别取n5，20得二元一次方程组解方程组得a1、d的值写出数列an的通项公式例3 已知数列an满足a14，an4 4an1(n2，nN)，令bn1an2.(1)求证：数列bn是等差数列(2)求数列bn的通项公式解析(1)证明：因为bn1an2，所以bn11an12(n2)，所以当n2时，bnbn11an21an1214 4an121an1212 4an11an12an12an141an12 an122
11、an1412.所以数列bn为等差数列，公差为12.(2)因为a14，所以b11a1212，所以bn1212(n1)n2.延伸探究 本例中，条件不变，求“数列an的通项公式”解析：由例题解法知bnn2，因为bn1an2，所以n21an2，解得an2n2.方法技巧 等差数列通项公式的四个应用(1)已知an，a1，n，d中的任意三个量，求出第四个量(2)由等差数列的通项公式可以求出该数列中的任意项，也可以判断某一个数是不是该数列中的项(3)根据等差数列的两个已知条件建立关于“基本量”a1和d的方程组，求出a1和d，从而确定通项公式，求得所需求的项(4)若数列an的通项公式是关于n的一次函数或常数函数
12、，则可判断数列an是等差数列跟踪探究 5.等差数列an中，已知a510，a1231.(1)求a20；(2)85是不是该数列中的项？若不是说明原因，若是，是第几项？解析：(1)由ana1(n1)d得，a14d10，a111d31，解得a12，d3.a20219355.(2)a12，d3，an2(n1)33n5，令3n585，n30.85是该数列的第30项.课后小结(1)判断一个数列是否为等差数列的常用方法：an1and(d为常数，nN)an是等差数列；2an1anan2(nN)an是等差数列；anknb(k，b为常数，nN)an是等差数列但若要说明一个数列不是等差数列，则只需举出一个反例即可(2
13、)由等差数列的通项公式ana1(n1)d可以看出，只要知道首项a1和公差d，就可以求出通项公式，反过来，在a1，d，n，an四个量中，只要知道其中任意三个量，就可以求出另一个量素养培优对等差数列的定义理解不深致误已知数列an满足a11，an1an2n，求数列an的通项公式易错分析 等差数列的定义是判断或证明一个数列是不是等差数列的重要依据，要说明an是等差数列，应证明an1and，其中d必须是一个与n无关的常数本题中易由an1an2n得出an2n22n1的错误结论考查定义理解的学科素养自我纠正 由已知得an1an2n，所以a2a121，a3a222，a4a323，anan12(n1)(n2)，以上各式相加得ana12123(n1)n(n1)所以ann2n1.当n1时，a11适合ann2n1，所以ann2n1(nN).课时跟踪训练
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