1、1.2 函数的极值 A 组1.若函数 f(x)=2x3-3x2+a 的极大值为 6,则 a 的值是()A.0B.1C.5D.6解析:f(x)=2x3-3x2+a,f(x)=6x2-6x=6x(x-1).令 f(x)=0,得 x=0 或 x=1,经判断易知极大值为 f(0)=a=6.答案:D2.函数 y=x4-x3的极值点的个数为()A.0B.1C.2D.3解析:y=x3-x2=x2(x-1),由 y=0 得 x1=0,x2=1.当 x 变化时,y,y 的变化情况如下表:x(-,0)0(0,1)1(1,+)y-0-0+y 无极值 极小值 因此函数只有一个极值点.答案:B3.下列函数中,x=0 是
2、其极值点的是()A.y=-x3B.y=-cos xC.y=sin x-xD.y=解析:A.y=-3x20 恒成立,所以函数在 R 上是减少的,无极值点.B.y=sin x,当-x0 时函数是减少的,当 0 x0 得 m 的取值范围为(-,-3)(6,+).答案:B5.已知 a0,b0,且函数 f(x)=4x3-ax2-2bx+2 在 x=1 处有极值,若 t=ab,则 t 的最大值为()A.2B.3C.6D.9解析:f(x)=4x3-ax2-2bx+2,f(x)=12x2-2ax-2b.又 f(x)在 x=1 处取得极值,f(1)=12-2a-2b=0,a2+24b0.a+b=6,t=ab()
3、=9(当且仅当 a=b=3 时等号成立),tmax=9,故选 D.答案:D6.函数 f(x)=(aR)的极大值等于 .解析:f(x)=-,令 f(x)=0,得 x=e1-a,当 0 x0;当 xe1-a时,f(x)0,所以函数的极大值等于 f(e1-a)=-=ea-1.答案:ea-17.若函数 f(x)=x3+x2-ax-4 在区间(-1,1)上恰有一个极值点,则实数 a 的取值范围为 .解析:由题意,f(x)=3x2+2x-a,则 f(-1)f(1)0,即(1-a)(5-a)0,解得 1a5,另外,当 a=1 时,函数f(x)=x3+x2-x-4 在区间(-1,1)上恰有一个极值点,当 a=
4、5 时,函数 f(x)=x3+x2-5x-4 在区间(-1,1)没有极值点.故实数 a 的取值范围为1,5).答案:1,5)8.已知函数 f(x)=x3+ax2+bx+4 在 x=1 处取得极值 .(1)求 a,b 的值;(2)求函数的另一个极值.解(1)因为 f(x)=x3+ax2+bx+4,所以 f(x)=3x2+2ax+b.依题意可得 f(1)=0,f(1)=,即 解得 a=-,b=-2.(2)由(1)知 f(x)=x3-x2-2x+4,f(x)=3x2-x-2=(3x+2)(x-1).令 f(x)=0,得 x=-或 x=1,当 x 变化时,f(x),f(x)的变化情况如下表:x()-(
5、)1(1,+)f(x)+0-0+f(x)极大值 极小值 所以函数的另一个极值在 x=-处取得,是极大值,极大值为 f(-).9.导学号 01844045 已知二次函数 f(x)=ax2+bx-1 在 x=-1 处取得极值,且 f(x)的图像在点(0,-1)处的切线与直线 2x-y=0 平行.(1)求 f(x)的解析式;(2)求函数 g(x)=xf(x)+2x 的极值.解(1)由 f(x)=ax2+bx-1,得 f(x)=2ax+b.由题设,可得 -即-解得 所以 f(x)=x2+2x-1.(2)由(1),得 g(x)=xf(x)+2x=x3+2x2+x,所以 g(x)=3x2+4x+1=(3x
6、+1)(x+1).令 g(x)=0,解得 x=-1 或 x=-,当 x 变化时,g(x),g(x)的变化情况如下表:x(-,-1)-1()-()g(x)+0-0+g(x)极大值 极小值 所以 g(x)的极大值为 g(-1)=-1+2-1=0,极小值为 g(-)=-=-.B 组1.设函数 f(x)=xex,则()A.x=1 为 f(x)的极大值点B.x=1 为 f(x)的极小值点C.x=-1 为 f(x)的极大值点D.x=-1 为 f(x)的极小值点解析:求导得 f(x)=ex+xex=ex(x+1),令 f(x)=ex(x+1)=0,解得 x=-1,当 x-1 时,f(x)-1 时,f(x)0
7、,从而 x=-1 是函数 f(x)的极小值点.答案:D2.已知函数 f(x)=x3-px2-qx 的图像与 x 轴切于(1,0)点,则 f(x)的极大值、极小值分别为()A.,0B.0,C.-,0D.0,-解析:f(x)=3x2-2px-q,由 f(1)=0,f(1)=0,得-解得 -f(x)=x3-2x2+x.由 f(x)=3x2-4x+1=0,得 x=或 x=1,易得当 x=时 f(x)取极大值 .当 x=1 时 f(x)取极小值 0.答案:A3.已知 f(x)=x3+ax2+(a+6)x+1 有极大值和极小值,则 a 的取值范围是()A.-1a2B.-3a6C.a2D.a6解析:f(x)
8、=3x2+2ax+a+6,f(x)有极大值与极小值,f(x)=0 有两不等实根,=4a2-12(a+6)0,a6.答案:D4.直线 y=a 与函数 f(x)=x3-3x 的图像有相异的三个公共点,则 a 的取值范围是 .解析:f(x)=3x2-3,由 3x2-3=0 得 x=1 或 x=-1,当 x1 时,f(x)0,f(x)是增加的;当-1x1时,f(x)0,f(x)是减少的.当 x=-1 时,f(x)取到极大值 f(-1)=2,当 x=1 时,f(x)取到极小值 f(1)=-2,欲使直线 y=a 与函数 f(x)的图像有相异的三个公共点,应有-2a1 时,y0,当-1x1 时,y0,当 x
9、-1 时,y0,故 x=1 为 y=3x-x3的极大值点,即 b=1.c=3b-b3=31-1=2,bc=2.又a,b,c,d 成等比数列,ad=bc=2.答案:26.导学号 01844046(2015 重庆高考)已知函数 f(x)=ax3+x2(aR)在 x=-处取得极值.(1)确定 a 的值;(2)若 g(x)=f(x)ex,讨论 g(x)的单调性.解(1)对 f(x)求导得 f(x)=3ax2+2x,因为 f(x)在 x=-处取得极值,所以 f(-)=0,即 3a +2(-)=0,解得 a=.(2)由(1)得 g(x)=()ex,故 g(x)=()ex+()ex=()ex=x(x+1)(
10、x+4)ex.令 g(x)=0,解得 x=0,x=-1 或 x=-4.当 x-4 时,g(x)0,故 g(x)是减少的;当-4x0,故 g(x)是增加的;当-1x0 时,g(x)0 时,g(x)0,故 g(x)是增加的.综上知 g(x)在(-,-4)和(-1,0)上是减少的,在(-4,-1)和(0,+)上是增加的.7.导学号 01844047 设函数 f(x)=x3+bx2+cx+d(a0),且方程 f(x)-9x=0 的两个根分别为1,4.(1)当 a=3 且曲线 y=f(x)过原点时,求 f(x)的解析式;(2)若 f(x)在(-,+)内无极值点,求 a 的取值范围.解由 f(x)=x3+bx2+cx+d,得 f(x)=ax2+2bx+c.因为 f(x)-9x=ax2+2bx+c-9x=0 的两个根分别为 1,4,所以 -(*)(1)当 a=3 时,由(*)式得 -解得 b=-3,c=12.又因为曲线 y=f(x)过原点,所以 d=0.故 f(x)=x3-3x2+12x.(2)因为 a0,所以“f(x)=x3+bx2+cx+d 在(-,+)内无极值点”等价于“f(x)=ax2+2bx+c0 在(-,+)内恒成立”.由(*)式得 2b=9-5a,c=4a.又=(2b)2-4ac=9(a-1)(a-9),解 -得 a1,9,即 a 的取值范围是1,9.