1、第三节 等比数列 第三节 等比数列 考点探究挑战高考 考向瞭望把脉高考 双基研习面对高考 双基研习面对高考 基础梳理 1等比数列的相关概念 相关名词等比数列an的相关概念及公式定义an1an q(q 是常数且 q0，nN*)或_q(q 是常数且 q0，nN*且_)anan1n2相关名词等比数列an的相关概念及公式通项公式an_amqnm前 n项和公式_ _=_a1qn1na11(1)1naqq11naa qq(1)q(1)q Sn相关名词 等比数列an的相关概念及公式 等比中项 设a、b为任意两个同号的实数，则a、b的等比中项G_ ab2.等比数列的性质(1)对任意的正整数m、n、p、q，若m
2、npq则_.特别地mn2p则_(2)有穷等比数列中，与首末两项距离相等的两项积相等，都等于首末两项的积，特别地，若项数为奇数，还等于中间项的平方，即a1ana2an1a3an2.amanapaqaaman.a2中.(3)在等比数列中，每隔相同的项抽出来的项按照原来顺序排列，构成的新数列仍是等比数列，即am，amk，am2k，am3k，仍是等比数列(4)若数列an是等比数列，Sn为其前n项和，则Sm，S2mSm，S3mS2m，是等比数列(5)若数列am是等比数列，则a1a2am，am1am2a2m，a2m1a2m2a3m，是等比数列(6)若 数 列 an 与 bn 均 为 等 比 数 列，则 数
3、 列manbn(m为常数，m0)，都是等比数列 anbnG ab是 a、G、b 成等比数列的什么条件？提示：G ab/a、G、b 成等比数列，如 G0，a0 或 b0；a、G、b 成等比数列/G ab，有可能 G ab.G ab是 a、G、b 成等比数列的既不充分也不必要条件 思考感悟课前热身 1(2011 年徐州质检)下面四个数列：1,1,2,4,8,16,32,64；数列an中，已知a2a12，a3a22；常数列 a，a，a，；在数列an中an1an q，其中 nN*，且q0.其中为等比数列的是_答案：2等比数列an中an0，且a5a69，则log3a2log3a9_.答案：2 3在等比数
4、列an(nN*)中，若 a11，a418，则该数列的前 10项和为_答案：2 1294若等比数列an的前n项和为Sn2nr，则r的值是_ 答案：1 考点探究挑战高考 考点突破 等比数列的判定或证明 等比数列的判定方法有：(1)定义法：an1an q(q 为非零常数)或 anan1q(q为非零常数且 n2)，则an是等比数列(2)中项公式法：若数列an中，an0 且 a2n1anan2(nN*)，则数列an是等比数列(3)通项公式法：若数列通项公式可写成ancqn，(c、q均为不为0的整数，nN*)，则an是等比数列(4)前n项和公式法：若数列an的前n项和Snkqnk(k为常数且k0，q0,1
5、)，则an是等比数列(此法适用于填空题)数列an的前n项和为Sn，数列bn中，b1a1，bnanan1(n2)，若anSnn.(1)设cnan1，求证：数列cn是等比数列；(2)求数列bn的通项公式【思路分析】首先由已知条件得到数列an中项与项之间的关系，再根据数列bn、cn与an中项的关系判断或求解 例1【解】(1)证明：由 a1S11 及 a1S1，得 a112.由 anSnn 及 an1Sn1n1，得an1anan11，2an1an1.2(an11)an1，即 2cn1cn，数列cn是以 c1a1112为首项，12为公比的等比数列(2)法一：由(1)知 2an1an1，2anan11(n
6、2)，2an12ananan1，2bn1bn(n2)又 b1a112，a2a1a22，a234.b2341214，b212b1，数列bn是首项为12，公比为12的等比数列bn12(12)n1(12)n.法二：由(1)cn12(12)n1(12)n，an(12)n1，bn(12)n1(12)n11(12)n1(12)n(12)n(n2)又 b1a112也适合上式，bn(12)n.【名师点评】本类题目已给出构造等比数列的形式，因而解题有了“方向”，结合等比数列的定义可判断 等比数列的计算及性质的应用 等比数列中有五个量a1，n，q，an，Sn，一般利用通项公式和前n项和公式，通过方程组“知三求二”
7、利用等比数列的性质可以灵活地处理等比数列的相关问题，体现了非常强的灵活性和技巧性设首项为正数的等比数列an中，它的前n项和Sn80，前2n项和S2n6560，且前n项中数值最大的项为54.求此数列的首项a1与公比q.【思路分析】由Sn和S2n知需利用前n项和公式，应对q1和q1讨论利用单调性确定最大项 例2【解】q1 时，Snna180，S2n2na16560，显然不可能，所以 q1.Sna11qn1q80，S2na11q2n1q6560，1qn82，qn81，a11q1，qa11.又 a10，q1，数列an是递增数列前 n 项中数值最大的项为 an，an54，即 a1qn154，a1q 81
8、54.解得a12q3.【名师点评】本题主要应用前n项和公式及通项公式求解，应用前n项和公式时要注意对公比q的讨论，同时，还要注意单调性的判定及整体代换思想的应用(2010年高考大纲全国卷改编)已知各项均为正数的等比数列an中，a1a2a35，a7a8a910，则a4a5a6_.【思路分析】题目中每相邻三项的积构成新的等比数列例3【解析】由题易知 a1a2a3，a4a5a6，a7a8a9三 数 成 等 比 数 列，所 以(a4a5a6)2(a1a2a3)(a7a8a9)50.又 an0，a4a5a65 2.【答案】5 2【名师点评】等比数列中的计算问题要结合有关的性质，虽然用基本量能进行计算，但
9、过于繁琐，而应用性质可简化计算过程 互动探究1 若例3改为：已知各项均为正数的等比数列an中，a1a2a35，a7a8a910，则a4a5a6_.解析：a4a5a6a1q3a2q3a3q3(a1a2a3)q3，同理 a7a8a9(a1a2a3)q6，(a4a5a6)2(a1a2a3)(a7a8a9)51050.a4a5a65 2.答案：5 2等比数列的综合问题 等比数列中的判断问题，构造数列问题，求和问题以及与函数、不等式相结合的问题，都可能成为综合题中的知识线索，而主线索还应是数列的有关知识，因此解此类题目，应重视条件的转化，使所有的目标都指向数列的相关知识 已知数列an的前 n 项和为 S
10、n，a11，且 2an1Sn2(nN*)(1)求 a2，a3 的值，并求数列an的通项公式；(2)解不等式i1n3aiSn.例4【思路分析】(1)利用 anSnSn1(n2)结合题目中的条件 2an1Sn2可证明数列an为等比数列；(2)先判断数列 3an怎样求前 n 项和，求出 Sn，观察第(2)问题中的不等式，求解【解】(1)a11,2a2S12a123，a232.2a3S22a1a2292，a394.2an1Sn2，2anSn12(n2)，两式相减，得 2an12anSnSn1.2an12anan，则 an132an(n2)a232a1，an132an(nN*)a110，an为等比数列，
11、an(32)n1.(2)3an3(23)n1，数列 3an是首项为 3，公比为23的等比数列数列 3an的前 5 项为：3,2，43，89，1627.an的前 5 项为：1，32，94，278，8116.n1,2,3 时，i1n3aiSn 成立；当 n4 时，i1n3aiSn；n5 时，3an1，i1n3aiSn.不等式i1n3aiSn(nN*)的解集为1,2,3【名师点评】本题中(2)问中的不等式，关键是分析出不等式的结构特点，再利用相关的知识求解；而i1n3ai为数列求和，所以求数列的和是解不等式的前提这就要求必须熟知有关数列求和的方法和题型变式训练 2 设数列an是由正数组成的等比数列，
12、公比为 q，Sn 是其前 n 项和(1)证明：SnSn20，q0.当 q1 时，Snna1，于是 SnSn 2S2n1na1(n2)a1(n1)2a21a210.当 q1 时，Sna11qn1q，于是 SnSn2S2n1a211qn1qn21q2a211qn121q2a21qn0.由和，得 SnSn2S2n10.所以 SnSn2S2n1，SnSn20，所以 Tnq2Sn.法二：Tnk1nbkk1n(415akq345akq25ak)415q3Sn45qSn25Sn，由 Tnq2Sn 415q 45q 25q2，因为 q0，所以 415q 45q2 41545 8153(当且仅当 415q 45
13、q，即 q 3时取“”号)，因为 815 3 25q228 3151，所以 Tnq2Sn1，即 Tnq2Sn.方法感悟 方法技巧1解决等比数列有关问题的常见思想方法(1)方程思想：等比数列中有五个量 a1、n、q、an、Sn，一般可以“知三求二”，通过列方程(组)求关键量 a1 和 q，问题可迎刃而解(2)数形结合思想：通项 ana1qn1 可化为an(a1q)qn，因此 an 是关于 n 的函数即an中的各项所表示的点(n，an)在曲线y(a1q)qx上，是一群孤立的点单调性：当a10q1或a100q00q1 或a11时，an是递减数列；当 q1 时，an为常数列；当 q0 时，an为摆动数
14、列(3)分类思想：当 q1 时，an的前 n 项和 Snna1；当 q1 时，an的前 n 项和 Sna11qn1qa1anq1q.等比数列的前n项和公式涉及对公比q的分类讨论，此处是常考易错点2当公比 q1 时，Sna11qn1q可变形为 Sn a11qqn a11q，设 A a11q，上式写成 SnAqnA.由此可见，非常数列的等比数列的前 n项和 Sn是由关于 n 的一个指数式与一个常数的和构成的，而指数式的系数与常数项互为相反数当公比 q1 时，因为 a10，所以Snna1 是 n 的正比例函数反过来，如果已知数列的前 n 项和公式 SnAqnA(A0，q0 且 q1，nN*)，那么这
15、个数列一定是等比数列3若数列an，bn是等比数列，c 为非零常数，则can，1an，a2n，|an|，anbn，anbn等也是等比数列4等比数列an中每隔 k 项取出一项，按原来的顺序排成一个新数列，则该数列仍为等比数列失误防范1常数列都是等差数列，但不一定是等比数列，只有当常数列各项不为 0 时，才是等比数列2一般地若三个数成等比数列，可设为aq，a，aq.若四个数成等比数列，可设为 a，aq，aq2，aq3，但是不能设为aq3，aq，aq，aq3，因为这样公比为 q2，漏掉了公比为负值的情形3等比数列an的前 n 项和公式的推导方法即错位相减法是很重要的方法，必须熟练掌握在应用错位相减法求
16、数列的前 n项和时，若含有参数，易忽视分类讨论，一般分为 q1，q1 两类情况讨论考向瞭望把脉高考 考情分析 从近几年的江苏高考试题来看，等比数列的定义、性质、通项公式及前n项和公式是高考的热点，题型既有填空题，又有解答题，难度中等偏高客观题突出“小而巧”，考查学生对基础知识的掌握程度，主观题考查较为全面，在考查基本运算、基本概念的基础上，又注重考查函数与方程、等价转化、分类讨论等思想方法 预测2012年江苏高考，等比数列的定义、性质、通项公式及前n项和公式仍将是考查的重点，特别是等比数列的性质更要引起重视 规范解答 本题满分14分)(2010年高考四川卷)已知等差数列an的前3项和为6，前8
17、项和为4.(1)求数列an的通项公式；(2)设bn(4an)qn1(q0，nN*)，求数列bn的前n项和Sn.例【解】(1)设数列an的公差为 d，由已知得3a13d6，8a128d4.解得a13，d1.2 分故 an3(n1)4n.4 分(2)由(1)可得 bnnqn1，于是Sn1q02q13q2nqn1.6 分若 q1，将上式两边同乘 q，得qSn1q12q2(n1)qn1nqn.7 分两式相减，得(q1)Snnqn1q1q2qn1nqnqn1q1 nqn1n1qn1q1.于是，Snnqn1n1qn1q12.10 分若 q1，则 Sn123nnn12.12 分所以，Snnn12q1，nqn
18、1n1qn1q12q1.14 分【名师点评】数列基本量的运算往往是数列解答题的第(1)问要考查的问题，大多利用“知三求二”的方程思想求解，有些题目也可以借助数列的性质解出结果；本考题第(2)问是错位相减法求和，当q1和q1讨论求解，是常规问题，应关注计算化简能力的训练才可准确解答此类问题名师预测 1在等比数列an中，若 a3a5a7a9a1132，则a29a11的值为_解析：根据等比数列的性质可得 a3a5a7a9a11a5732，故 a72，而a29a11a21q16a1q10a1q6a72.答案：2 2已知数列an共有 m 项，定义an的所有项和为 S(1)，第二项及以后所有项和为S(2)
19、，第三项及以后所有项和为 S(3)第 n 项以后所有项和为 S(n)若 S(n)是首项为 2，公比为12的等比数列的前 n 项和，则当 nm 时，an 等于_解析：设数列的前 n 项和为 T(n)，所有项的和为 T(m)M，则由定义可得 S(n)MT(n1)，而由 S(n)是首项为 2 公比为12的等比数列的前 n 项和，易求得 S(n)2112n1124 12n2，因此有 T(n)MS(n1)M 12n14，于是当 n0，且ln(an1an)2n1.(1)若数列an是等比数列，求p的值；(2)求数列an的前n项和Sn.解：(1)由 ln(an1an)2n1 得 an1ane2n1.a1p0，
20、a2e3p，a3e5a2pe2.又an是等比数列，a22a1a3，e6p2p2e2，p4e4，pe.(2)法一：由 ln(an1an)2n1 得 an1ane2n1.an2an1e2n3，an2an e2.a1，a3，a5，；a2，a4，a6，分别是以 e2 为公比的等比数列又 a1p，a2e3a1e3p.当 n 为偶数时，Sna1a21e2n21e2(pe3p)1en1e2.当 n 为奇数时，n1 为偶数，an1a2(e2)n12 11pen2，SnSn1an1(pe3p)1en11e2 1pen2.法二：由 ln(an1an)2n1 得 an1ane2n1en1en，an1en1anen1
21、.设anenbn，则 bn1bn1，bn1 1bn，bn2 1bn1bn，b1b3b5b2k1(kN*)，b2b4b6b2k(kN*)，又 b1a1e pe，b2 1b1ep，b2k1pe，b2kep.anenbn，a2k1e2k1b2k1pe2k2，a2ke2kb2k1pe2k1.当 n2k 时，Sna1a2a2k(a1a3a2k1)(a2a4a2k)p(1e2e2k2)1p(e3e5e2k1)p1e2k1e2 1pe31e2k1e2.此时，kn2，Snp1en1e21pe31en1e2 1en1e2(pe3p)当 n2k1 时，Sna1a2a2ka2kp1e2k1e2 1pe31e2k1e21pe2k1.此时，kn12，Snp1en11e2 1pe31en11e21pen2.本部分内容讲解结束 点此进入课件目录按ESC键退出全屏播放谢谢使用