1、第三章测评(时间:120分钟满分:150分)一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分)1.已知函数f(x)=2x2-1的图像上一点(1,1)及邻近一点(1+x,1+y),则yx等于() A.4B.4xC.4+2xD.4+2(x)2解析:yx=2(1+x)2-1-1x=4x+2(x)2x=4+2x.答案:C2.若f(x0)=-3,则limh0f(x0+h)-f(x0-3h)h=()A.-3B.-12C.-9D.-6解析:法一(注重导数概念的应用的解法):因为f(x0)=limh0f(x0+h)-f(x0)h=-3,所以limh0f(x0+h)-f(x0-3h)h=limh0f(x0+h
2、)-f(x0)-f(x0-3h)-f(x0)h=limh0f(x0+h)-f(x0)h-limh0f(x0-3h)-f(x0)h=limh0f(x0+h)-f(x0)h+3lim-3h0f(x0-3h)-f(x0)-3h=f(x0)+3f(x0)=4f(x0)=-12,故选B.法二(注重导数定义中各变量的联系的解法):因为f(x0)=limh0f(x0+h)-f(x0)h=-3,所以limh0f(x0+h)-f(x0-3h)h=4limh0f(x0+h)-f(x0-3h)4h=4f(x0)=-12,故选B.答案:B3.数列cn为等比数列,其中c1=2,c8=4,f(x)=x(x-c1)(x-c
3、2)(x-c8),f(x)为函数f(x)的导函数,则f(0)=()A.0B.26C.29D.212解析:c1=2,c8=4,c1c2c8=84=212,f(x)=(x-c1)(x-c2)(x-c8)+x(x-c1)(x-c2)(x-c8),则f(0)=c1c2c8=212.答案:D4.已知函数f(x)的导函数f(x),且满足f(x)=2xf(1)+ln x,则f(1)=()A.-eB.-1C.1D.e解析:f(x)=2xf(1)+ln x,f(x)=2xf(1)+(ln x)=2f(1)+1x,f(1)=2f(1)+1,即f(1)=-1.答案:B5.函数f(x)=excos x的图像在点(3,
4、f(3)处的切线的倾斜角为()A.2B.0C.钝角D.锐角解析:f(x)=excos x-exsin x=ex(cos x-sin x)=2excosx+4,f(3)=2e3cos3+4,又cos3+40,f(3)0,切线的倾斜角为钝角.答案:C6.曲线y=xx-2在点(1,-1)处的切线方程为()A.2x+y-1=0B.2x-y-3=0C.2x-y+1=0D.2x+y-3=0解析:因为y=-2(x-2)2,所以切线斜率k=-2(1-2)2=-2,于是切线方程为y+1=-2(x-1),即2x+y-1=0.答案:A7.若函数f(x)满足f(x)=13x3-f(1)x2-x,则f(1)的值为()A
5、.0B.2C.1D.-1解析:f(x)=x2-2f(1)x-1,所以f(1)=1-2f(1)-1,则f(1)=0.答案:A8.函数y=ln x在x=e2处的切线与坐标轴所围成的三角形的面积为()A.92e2B.12e2C.2e2D.e2解析:y=1x,在x=e2处的切线斜率为k=1e2,切线方程为y-2=1e2(x-e2).令x=0,得y=1.令y=0,得x=-e2,所求三角形的面积为121e2=12e2.答案:B9.已知函数f(x)=32x-14x2,若该函数图像在点(x0,y0)处的切线的倾斜角是图像在点-3,-94的切线的倾斜角的两倍,则x0的值等于()A.33B.-33C.0D.3解析
6、:f(x)=32-12x,所以图像在点-3,-94的切线的斜率k=3,因此倾斜角为60,从而图像在点(x0,y0)处的切线的倾斜角应为120,斜率为-3,于是32-12x0=-3,解得x0=33.答案:A10.函数y=(3x2+x+1)(2x+3)的导数是()A.(6x+1)(2x+3)B.2(6x+1)C.2(3x2+x+1)D.18x2+22x+5解析:y=(3x2+x+1)(2x+3)=6x3+11x2+5x+3,y=18x2+22x+5.答案:D11.函数f(x)=x3+4x+5的图像在x=1处的切线与圆x2+y2=50的位置关系为()A.相切B.相交但不过圆心C.过圆心D.相离解析:
7、f(x)=x3+4x+5,f(x)=3x2+4,f(1)=7.当x=1时,f(1)=10,切线方程为y-10=7(x-1),即7x-y+3=0,圆心到切线的距离为d=3500)处的切线与两条坐标轴围成的三角形的面积为3,则log32a=.解析:求导得f(x)=-2x-3,所以在点(a,a-2)处的切线方程为y-a-2=-2a-3(x-a).令x=0,得y=3a-2;令y=0,得x=3a2.所以切线与两条坐标轴围成的三角形的面积S=123a-232a=3,解得a=34,log32a=2.答案:2三、解答题(本大题共6小题,需写出演算过程与文字说明,共70分)17.(本小题满分10分)设t0,点P
8、(t,0)是函数f(x)=x3+ax与g(x)=bx2+c的图像的一个公共点,两函数的图像在点P处有相同的切线.试用t表示a,b,c.解因为函数f(x),g(x)的图像都过点(t,0),所以f(t)=0,即t3+at=0.因为t0,所以a=-t2.g(t)=0,即bt2+c=0,所以c=ab.又因为f(x),g(x)在点(t,0)处有相同的切线,所以f(t)=g(t).而f(x)=3x2+a,g(x)=2bx,所以3t2+a=2bt.将a=-t2代入上式得b=t.因此c=ab=-t3.故a=-t2,b=t,c=-t3.18.(本小题满分12分)设函数f(x)=xm+ax的导函数为f(x)=2x
9、+1,求数列1f(n)(nN+)的前n项和Sn.解f(x)=mxm-1+a=2x+1,m=2,a=1,f(x)=x2+x,1f(n)=1n2+n=1n-1n+1,Sn=1-12+12-13+1n-1n+1=1-1n+1=nn+1.19.(本小题满分12分)已知函数f(x)=4x3+ax2+bx+5的图像在x=1处的切线方程为y=-12x,求f(x)的解析式.解f(x)=12x2+2ax+b,y=f(x)在x=1处的切线方程为y=-12x,f(1)=-12,f(1)=-12,12+2a+b=-12,4+a+b+5=-12,解得a=-3,b=-18,f(x)=4x3-3x2-18x+5.20.导学
10、号01844039(本小题满分12分)已知函数f(x)=13ax3-14x2+cx+d(a,c,dR)满足f(0)=0,f(1)=0,且f(x)0在R上恒成立.(1)求a,c,d的值.(2)若h(x)=34x2-bx+b2-14,解不等式f(x)+h(x)0,=14-4a12-a0,a0,a-1420,解得a=14,c=14,d=0.(2)由(1)知,f(x)=14x2-12x+14,h(x)=34x2-bx+b2-14,不等式f(x)+h(x)0化为14x2-12x+14+34x2-bx+b2-140,即x2-12+bx+b20,x-12(x-b)12,则所求不等式的解集为12,b;若b=1
11、2,则所求不等式的解集为;若b12时,所求不等式的解集为12,b;当b=12时,所求不等式的解集为;当b0.设0x12a,曲线y=f(x)在点M(x1,f(x1)处的切线为l.(1)求l的方程.(2)设l与x轴交点是(x2,0),求证:0x21a;若x11a,则x1x21a.(1)解f(x)=1x-a,x(0,+),f(x)=-1x2.切线l过点M(x1,f(x1),其中0x12a,切线l的方程为y=-1x12(x-x1)+1x1-a,即y=-xx12+2x1-a.(2)证明(x2,0)是l与x轴的交点,-x2x12+2x1-a=0,x2=x1(2-ax1).0x12-ax10,0x1(2-a
12、x1)=a2x1a-x12=1a-a1a-x121a,当且仅当x1=1a时取等号,0x21a.0x11a,12-ax12.由知x21a,且x2=x1(2-ax1),x1x21a.22.导学号01844041(本小题满分12分)设函数f(x)=ax-bx,曲线y=f(x)在点(2,f(2)处的切线方程为7x-4y-12=0.(1)求f(x)的解析式.(2)求证:曲线y=f(x)上任一点处的切线与直线x=0和直线y=x所围成的三角形面积为定值,并求此定值.解(1)方程7x-4y-12=0可化为y=74x-3.当x=2时,y=12.又f(x)=a+bx2,于是2a-b2=12,a+b4=74,解得a=1,b=3,故f(x)=x-3x.(2)设P(x0,y0)为曲线上任一点.f(x0)=1+3x02,在点P(x0,y0)处的切线方程为y-y0=1+3x02(x-x0),即y-x0-3x0=1+3x02(x-x0),令x=0,得y=-6x0,切线与直线x=0的交点坐标为0,-6x0.令y=x,得y=x=2x0,切线与直线y=x的交点坐标为(2x0,2x0),点P(x0,y0)处的切线与直线x=0和直线y=x所围成的三角形面积为12-6x0|2x0|=6.故曲线y=f(x)上任一点处的切线与直线x=0和直线y=x所围成的三角形面积为定值,此定值为6.
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