1、学案 55 曲线与方程导学目标：了解曲线的方程与方程的曲线的对应关系自主梳理1曲线的方程与方程的曲线在直角坐标系中，如果某曲线 C(看作点的集合或适合某种条件的点的轨迹)上的点与一个二元方程 f(x，y)0 的实数解建立了如下的关系：(1)_都是这个方程的_(2)以这个方程的解为坐标的点都是_，那么，这个方程叫做曲线的方程，这条曲线叫做方程的曲线2平面解析几何研究的两个主要问题(1)根据已知条件，求出表示平面曲线的方程；(2)通过曲线的方程研究曲线的性质3求曲线方程的一般方法(五步法)求曲线(图形)的方程，一般有下面几个步骤：(1)建立适当的坐标系，用有序实数对(x，y)表示_；(2)写出适合
2、条件 p 的点 M 的集合 P_；(3)用坐标表示条件 p(M)，列出方程 f(x，y)0；(4)化方程 f(x，y)0 为_；(5)说明以化简后的方程的解为坐标的点都在_自我检测1(2011湛江月考)已知动点 P 在曲线 2x2y0 上移动，则点 A(0，1)与点 P 连线中点的轨迹方程是()Ay2x2By8x2C2y8x21D2y8x212一动圆与圆 O：x2y21 外切，而与圆 C：x2y26x80 内切，那么动圆的圆心P 的轨迹是()A双曲线的一支B椭圆C抛物线D圆3(2011佛山模拟)已知直线 l 的方程是 f(x，y)0，点 M(x0，y0)不在 l 上，则方程 f(x，y)f(x
3、0，y0)0 表示的曲线是()A直线 lB与 l 垂直的一条直线C与 l 平行的一条直线D与 l 平行的两条直线4若 M、N 为两个定点且|MN|6，动点 P 满足PM PN0，则 P 点的轨迹是()A圆B椭圆C双曲线D抛物线5(2011江西)若曲线 C1：x2y22x0 与曲线 C2：y(ymxm)0 有四个不同的交点，则实数 m 的取值范围是()A(33，33)B(33，0)(0，33)C 33，33 D(，33)(33，)探究点一 直接法求轨迹方程例 1 动点 P 与两定点 A(a,0)，B(a,0)连线的斜率的乘积为 k，试求点 P 的轨迹方程，并讨论轨迹是什么曲线变式迁移 1 已知两
4、点 M(2,0)、N(2,0)，点 P 为坐标平面内的动点，满足|MN|MP|MN NP0，则动点 P(x，y)的轨迹方程为_探究点二 定义法求轨迹方程例 2 (2011包头模拟)已知两个定圆 O1 和 O2，它们的半径分别是 1 和 2，且|O1O2|4.动圆 M 与圆 O1 内切，又与圆 O2 外切，建立适当的坐标系，求动圆圆心 M 的轨迹方程，并说明轨迹是何种曲线变式迁移 2 在ABC 中，A 为动点，B、C 为定点，Ba2，0，Ca2，0，且满足条件sin Csin B12sin A，则动点 A 的轨迹方程是()A.16x2a2 16y215a21(y0)B.16y2a2 16x23a
5、2 1(x0)C.16x2a2 16y215a21(y0)的左支D.16x2a2 16y23a2 1(y0)的右支探究点三 相关点法(代入法)求轨迹方程例 3 如图所示，从双曲线 x2y21 上一点 Q 引直线 xy2 的垂线，垂足为 N.求线段 QN 的中点 P 的轨迹方程变式迁移 3 已知长为 1 2的线段 AB 的两个端点 A、B 分别在 x 轴、y 轴上滑动，P 是AB 上一点，且AP 22 PB.求点 P 的轨迹 C 的方程分类讨论思想的应用例 (12 分)过定点 A(a，b)任作互相垂直的两直线 l1 与 l2，且 l1 与 x 轴交于点 M，l2 与 y 轴交于点 N，如图所示，
6、求线段 MN 的中点 P 的轨迹方程多角度审题 要求点 P 坐标，必须先求 M、N 两点，这样就要求直线 l1、l2，又 l1、l2 过定点且垂直，只要 l1 的斜率存在，设一参数 k1 即可求出 P 点坐标，再消去 k1 即得点 P 轨迹方程【答题模板】解(1)当 l1 不平行于 y 轴时，设 l1 的斜率为 k1，则 k10.因为 l1l2，所以 l2 的斜率为1k1，l1 的方程为 ybk1(xa)，l2 的方程为 yb1k1(xa)，在中令 y0，得 M 点的横坐标为 x1abk1，4 分在中令 x0，得 N 点的纵坐标为 y1bak1，6 分设 MN 中点 P 的坐标为(x，y)，则
7、有xa2 b2k1，yb2 a2k1，消去 k1，得 2ax2bya2b20(xa2)8 分(2)当 l1 平行于 y 轴时，MN 中点为a2，b2，其坐标满足方程.综合(1)(2)知所求 MN 中点 P 的轨迹方程为 2ax2bya2b20.12 分【突破思维障碍】引进 l1 的斜率 k1 作参数，写出 l1、l2 的直线方程，求出 M、N 的坐标，求出点 P 的坐标，得参数方程，消参化为普通方程，本题还要注意直线 l1 的斜率是否存在【易错点剖析】当 AMx 轴时，AM 的斜率不存在，此时 MN 中点为a2，b2，易错点是把斜率不存在的情况忽略，因而丢掉点a2，b2.1求轨迹方程的常用方法
8、：(1)直接法：如果动点运动的条件就是一些几何量的等量关系，这些条件简单明确，易于表达成含 x，y 的等式，就得到轨迹方程，这种方法称之为直接法用直接法求动点轨迹的方程一般有建系设点，列式，代换，化简，证明五个步骤，但最后的证明可以省略(2)定义法：运用解析几何中一些常用定义(例如圆锥曲线的定义)，可从曲线定义出发直接写出轨迹方程，或从曲线定义出发建立关系式，从而求出轨迹方程(3)代入法：动点所满足的条件不易表达或求出，但形成轨迹的动点 P(x，y)却随另一动点 Q(x，y)的运动而有规律的运动，且动点 Q 的轨迹为给定或容易求得，则可先将x，y表示为 x、y 的式子，再代入 Q 的轨迹方程，
9、然后整理得 P 的轨迹方程，代入法也称相关点法(4)参数法：求轨迹方程有时很难直接找出动点的横坐标、纵坐标之间的关系，则可借助中间变量(参数)，使 x、y 之间建立起联系，然后再从所求式子中消去参数，得出动点的轨迹方程2本节易错点：(1)容易忽略直线斜率不存在的情况；(2)利用定义求曲线方程时，应考虑是否符合曲线的定义(满分：75 分)一、选择题(每小题 5 分，共 25 分)1已知椭圆的焦点是 F1、F2，P 是椭圆的一个动点，如果 M 是线段 F1P 的中点，则动点M 的轨迹是()A圆B椭圆C双曲线的一支D抛物线2(2011唐山模拟)已知 A、B 是两个定点，且|AB|3，|CB|CA|2
10、，则点 C 的轨迹为()A双曲线B双曲线的一支C椭圆D线段3长为 3 的线段 AB 的端点 A、B 分别在 x 轴、y 轴上移动，AC2CB，则点 C 的轨迹是()A线段B圆C椭圆D双曲线4(2011银川模拟)如图，圆 O：x2y216，A(2，0)，B(2,0)为两个定点直线 l 是圆O 的一条切线，若经过 A、B 两点的抛物线以直线 l 为准线，则抛物线焦点所在的轨迹是()A双曲线B椭圆C抛物线D圆5已知 F1、F2 是椭圆x24y231 的两个焦点，平面内一个动点 M 满足|MF1|MF2|2，则动点 M 的轨迹是()A双曲线B双曲线的一个分支C两条射线D一条射线二、填空题(每小题 4
11、分，共 12 分)6已知两定点 A(2,0)，B(1,0)，如果动点 P 满足|PA|2|PB|，则点 P 的轨迹所包围的图形的面积等于_7(2011泰安月考)已知ABC 的顶点 B(0,0)，C(5,0)，AB 边上的中线长|CD|3，则顶点A 的轨迹方程为_8平面上有三点 A(2，y)，B0，y2，C(x，y)，若ABBC，则动点 C 的轨迹方程为_三、解答题(共 38 分)9(12 分)已知抛物线 y24px(p0)，O 为顶点，A，B 为抛物线上的两动点，且满足 OAOB，如果 OMAB 于点 M，求点 M 的轨迹方程10(12 分)(2009宁夏，海南)已知椭圆 C 的中心为平面直角
12、坐标系 xOy 的原点，焦点在 x轴上，它的一个顶点到两个焦点的距离分别是 7 和 1.(1)求椭圆 C 的方程；(2)若 P 为椭圆 C 上的动点，M 为过 P 且垂直于 x 轴的直线上的一点，|OP|OM|，求点 M的轨迹方程，并说明轨迹是什么曲线11(14 分)(2011石家庄模拟)在平面直角坐标系 xOy 中，有一个以 F1(0，3)和 F2(0，3)为焦点、离心率为 32 的椭圆，设椭圆在第一象限的部分为曲线 C，动点 P 在 C 上，C 在点P 处的切线与 x 轴，y 轴的交点分别为 A，B，且OM OA OB.求：(1)点 M 的轨迹方程；(2)|OM|的最小值学案 55 曲线与
13、方程自主梳理1(1)曲线上的点的坐标 解(2)曲线上的点 3.(1)曲线上任意一点 M 的坐标(2)M|p(M)(4)最简形式(5)曲线上自我检测1C 2.A 3.C 4.A5B C1：(x1)2y21，C2：y0 或 ymxmm(x1)当 m0 时，C2：y0，此时 C1 与 C2 显然只有两个交点；当 m0 时，要满足题意，需圆(x1)2y21 与直线 ym(x1)有两交点，当圆与直线相切时，m 33，即直线处于两切线之间时满足题意，则 33 m0 或 0m 33.综上知 33 m0 或 0mB0，表示焦点在 x 轴上的椭圆；2 AB0，表示圆；3 0A0B，表示焦点在 x 轴上的双曲线；
14、5 A0B，表示焦点在 y 轴上的双曲线；6 A，B0，点 P 的轨迹是焦点在 x 轴上的双曲线(除去 A、B 两点)若 k0，(*)式可化为x2a2y2ka21.1 当1k0 时，点 P 的轨迹是焦点在 x 轴上的椭圆(除去 A、B 两点)；2 当 k1 时，(*)式即 x2y2a2，点 P 的轨迹是以原点为圆心，|a|为半径的圆(除去A、B 两点)；3 当 k1 时，点 P 的轨迹是焦点在 y 轴上的椭圆(除去 A、B 两点)变式迁移 1 y28x解析 由题意：MN(4,0)，MP(x2，y)，NP(x2，y)，|MN|MP|MN NP0，4202x22y2(x2)4y00，移项两边平方，
15、化简得 y28x.例 2 解题导引(1)由于动点 M 到两定点 O1、O2 的距离的差为常数，故应考虑是否符合双曲线的定义，是双曲线的一支还是两支，能否确定实轴长和虚轴长等，以便直接写出其方程，而不需再将几何等式借助坐标转化；(2)求动点的轨迹或轨迹方程时需注意：“轨迹”和“轨迹方程”是两个不同的概念，前者要指出曲线的形状、位置、大小等特征，后者指方程(包括范围)解 如图所示，以 O1O2 的中点 O 为原点，O1O2 所在直线为 x 轴建立平面直角坐标系由|O1O2|4，得 O1(2,0)、O2(2,0)设动圆 M 的半径为 r，则由动圆 M 与圆 O1 内切，有|MO1|r1；由动圆 M
16、与圆 O2 外切，有|MO2|r2.|MO2|MO1|34.点 M 的轨迹是以 O1、O2 为焦点，实轴长为 3 的双曲线的左支a32，c2，b2c2a274.点 M 的轨迹方程为4x29 4y27 1(xb0)连接 MO，由三角形的中位线可得|F1M|MO|a(a|F1O|)，则 M 的轨迹为以 F1、O 为焦点的椭圆2B A、B 是两个定点，|CB|CA|24|AB|.根据椭圆的定义知，焦点 F 的轨迹是一个椭圆5D 因为|F1F2|2，|MF1|MF2|2，所以轨迹为一条射线64解析 设 P(x，y)，由题知有：(x2)2y24(x1)2y2，整理得 x24xy20，配方得(x2)2y2
17、4，可知圆的面积为 4.7(x10)2y236(y0)解析 方法一 直接法设 A(x，y)，y0，则 Dx2，y2，|CD|x25 2y243.化简得(x10)2y236，A、B、C 三点构成三角形，A 不能落在 x 轴上，即 y0.方法二 定义法如图所示，设 A(x，y)，D 为 AB 的中点，过 A 作 AECD 交 x 轴于 E，则 E(10,0)|CD|3，|AE|6，A 到 E 的距离为常数 6.A 的轨迹为以 E 为圆心，6 为半径的圆，即(x10)2y236.又 A、B、C 不共线，故 A 点纵坐标 y0.故 A 点轨迹方程为(x10)2y236(y0)8y28x解析 AB2，y
18、2，BCx，y2.ABBC，ABBC0，得 2xy2y20，得 y28x.9解 设 M(x，y)，直线 AB 斜率存在时，设直线 AB 的方程为 ykxb.由 OMAB 得 kxy.设 A、B 两点坐标分别为(x1，y1)、(x2，y2)，由 y24px 及 ykxb 消去 y，得 k2x2x(2kb4p)b20，所以 x1x2b2k2.消去 x，得 ky24py4pb0，所以 y1y24pbk.(4 分)由 OAOB，得 y1y2x1x2，所以4pbk b2k2，b4kp.故 ykxbk(x4p)(8 分)用 kxy代入，得 x2y24px0(x0)(10 分)AB 斜率不存在时，经验证也符
19、合上式故 M 的轨迹方程为 x2y24px0(x0)(12 分)10解(1)设椭圆长半轴长及半焦距分别为 a、c，由已知得ac1，ac7，解得a4，c3，又b2a2c2，b 7，所以椭圆 C 的方程为x216y271.(4 分)(2)设 M(x，y)，其中 x4,4，由已知|OP|2|OM|22 及点 P 在椭圆 C 上可得 9x211216x2y22，整理得(1629)x2162y2112，其中 x4,4(5 分)当 34时，化简得 9y2112，所以点 M 的轨迹方程为 y4 73(4x4)轨迹是两条平行于 x 轴的线段(7 分)当 34时，方程变形为x21121629 y21121621，其中 x4,4当 034时，点 M 的轨迹为中心在原点、实轴在 y 轴上的双曲线满足4x4 的部分当34b0，由a2b233a 32得a24b21，所以曲线 C 的方程为 x2y241(0 x1,0y2)(3 分)y2 1x2(0 x1)，y2x1x2.设 P(x0，y0)，因为 P 在 C 上，有 0 x01，y2)(10 分)(2)|OM|2x2y2，y2411x244x21，所以|OM|2x214x215459，当且仅当 x214x21，即 x 3时，上式取等号故|OM|的最小值为 3.(14 分)