1、6.2 等差数列及其前 n 项和1等差数列的定义如果一个数列从第 2 项起，每一项减去它的前一项所得的差都等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，通常用字母_d_表示2等差数列的通项公式如果等差数列an的首项为 a1，公差为 d，那么它的通项公式是 ana1(n1)d.3等差中项如果 Aab2，那么 A 叫做 a 与 b 的等差中项4等差数列的常用性质(1)通项公式的推广：anam(nm)d(n，mN*)(2)若an为等差数列，且 klmn(k，l，m，nN*)，则 akalaman.(3)若an是等差数列，公差为 d，则a2n也是等差数列，公差为 2d.(4)
2、若an，bn是等差数列，则panqbn也是等差数列(5)若an是等差数列，公差为 d，则 ak，akm，ak2m，(k，mN*)是公差为 md 的等差数列5等差数列的前 n 项和公式设等差数列an的公差为 d，其前 n 项和 Snna1an2或 Snna1nn12d.6等差数列的前 n 项和公式与函数的关系Snd2n2a1d2 n.数列an是等差数列SnAn2Bn(A、B 为常数)7等差数列的前 n 项和的最值在等差数列an中，a10，d0，则 Sn 存在最_大_值；若 a10，则 Sn 存在最_小_值【思考辨析】判断下面结论是否正确(请在括号中打“”或“”)(1)若一个数列从第二项起每一项与
3、它的前一项的差都是常数，则这个数列是等差数列()(2)数列an为等差数列的充要条件是对任意 nN*，都有 2an1anan2.()(3)等差数列an的单调性是由公差 d 决定的()(4)数列an为等差数列的充要条件是其通项公式为 n 的一次函数()(5)数列an满足 an1ann，则数列an是等差数列()(6)已知数列an的通项公式是 anpnq(其中 p，q 为常数)，则数列an一定是等差数列()1(2014福建)等差数列an的前 n 项和为 Sn，若 a12，S312，则 a6 等于()A8 B10 C12D14答案 C解析 由题意知 a12，由 S33a1322 d12，解得 d2，所以
4、 a6a15d25212，故选 C.2设an为等差数列，公差 d2，Sn 为其前 n 项和，若 S10S11，则 a1 等于()A18 B20 C22 D24答案 B解析 因为 S10S11，所以 a110.又因为 a11a110d，所以 a120.3在等差数列an中，已知 a4a816，则该数列前 11 项和 S11 等于()A58 B88 C143 D176答案 B解析 S1111a1a11211a4a8288.4(2013课标全国)等差数列an的前 n 项和为 Sn，已知 S100，S1525，则 nSn 的最小值为_答案 49解析 由题意知 a1a100，a1a15103.两式相减得
5、a15a10103 5d，d23，a13.nSnnna1nn12d n310n23f(n)，令 f(x)x310 x23，x0，f(x)13x(3x20)令 f(x)0 得 x0(舍)或 x203.当 x203 时，f(x)是单调递增的；当 0 x0，a7a100，a80.a7a10a8a90，a9a80Ba2a1000，a4a70，则an的前 n 项和 Sn 的最大值为()AS4BS5CS6DS7答案 B解析 a4a7a5a60，a50，a60，a10a110，a10a110 可知 d0，a110，a710；又数列an是等差数列，因此在该数列中，前 6 项均为正数，自第 7 项起以后各项均为
6、负数，于是当 Sn 取最大值时，n6.8已知数列an中，a11 且 1an1 1an13(nN*)，则 a10_.答案 14解析 由已知 1a10 1a1(101)13134，a1014.9在等差数列an中，a11，a33.(1)求数列an的通项公式；(2)若数列an的前 k 项和 Sk35，求 k 的值解(1)设等差数列an的公差为 d，则 ana1(n1)d.由 a11，a33，可得 12d3，解得 d2.从而 an1(n1)(2)32n.(2)由(1)可知 an32n，所以 Snn132n22nn2.由 Sk35，可得 2kk235，即 k22k350，解得 k7 或 k5.又 kN*，
7、故 k7.10设等差数列an的前 n 项和为 Sn，若 a10，S2 0150.(1)求 Sn 的最小值及此时 n 的值；(2)求 n 的取值集合，使其满足 anSn.解(1)设公差为 d，则由 S2 01502 015a12 0152 0142d0a11 007d0，d11 007a1，a1an2 015n1 007 a1，Snn2(a1an)n22 015n1 007 a1 a12 014(2 015nn2)a10，nN*，当 n1 007 或 1 008 时，Sn 取最小值 504a1.(2)an1 008n1 007 a1，Snan a12 014(2 015nn2)1 008n1 0
8、07 a1.a10，n22 017n2 0160，即(n1)(n2 016)0，解得 1n2 016.故所求 n 的取值集合为n|1n2 016，nN*B 组 专项能力提升(时间：30 分钟)11已知数列an为等差数列，若a11a100 的 n 的最大值为()A11B19C20D21答案 B解析 a11a100，a110，且 a10a110，S2020a1a20210(a10a11)0 的 n 的最大值为 19.12(2013辽宁)下面是关于公差 d0 的等差数列an的四个命题：p1：数列an是递增数列；p2：数列nan是递增数列；p3：数列ann 是递增数列；p4：数列an3nd是递增数列其
9、中，真命题为()Ap1，p2Bp3，p4Cp2，p3Dp1，p4答案 D解析 由于 p1：ana1(n1)d，d0，anan1d0，命题 p1 正确对于 p2：nanna1n(n1)d，nan(n1)an1a12(n1)d 与 0 的大小和 a1 的取值情况有关故数列nan不一定递增，命题 p2 不正确对于 p3：ann a1n n1n d，ann an1n1a1dnn1，当 da10，即 da1 时，数列ann 递增，但 da1 不一定成立，则 p3 不正确对于 p4：设 bnan3nd，则 bn1bnan1an3d4d0.数列an3nd是递增数列，p4 正确综上，正确的命题为 p1，p4.
10、13设等差数列an，bn的前 n 项和分别为 Sn，Tn，若对任意自然数 n 都有SnTn2n34n3，则a9b5b7a3b8b4的值为_答案 1941解析 an，bn为等差数列，a9b5b7a3b8b4 a92b6 a32b6a9a32b6 a6b6.S11T11a1a11b1b112a62b6211341131941，a6b61941.14已知数列an的各项均为正数，前 n 项和为 Sn，且满足 2Sna2nn4(nN*)(1)求证：数列an为等差数列；(2)求数列an的通项公式(1)证明 当 n1 时，有 2a1a2114，即 a212a130，解得 a13(a11 舍去)当 n2 时，
11、有 2Sn1a2n1n5，又 2Sna2nn4，两式相减得 2ana2na2n11，即 a2n2an1a2n1，也即(an1)2a2n1，因此 an1an1 或 an1an1.若 an1an1，则 anan11.而 a13，所以 a22，这与数列an的各项均为正数相矛盾，所以 an1an1，即 anan11，因此数列an为等差数列(2)由(1)知 a13，d1，所以数列an的通项公式 an3(n1)1n2，即 ann2.15已知数列an中，a112，an1 3anan3.(1)求 an；(2)设数列bn的前 n 项和为 Sn，且 bnn34anan1，求证：12Sn1.(1)解 由已知得 an0，则由 an1 3anan3，得 1an1an33an，即 1an11an13，而1a12，1an是以 2 为首项，以13为公差的等差数列 1an213(n1)n53，an 3n5.(2)证明 bnn34anan1，则由(1)得 bn1nn1，Snb1b2bn(112)(1213)(1314)(1n 1n1)1 1n1关于 n 单调递增，12Sn1.