1、专题能力训练7导数的综合应用能力升级训练第13页一、选择题1.(2014河北正定中学月考)函数f(x)=x3-3x2-9x+3,若函数g(x)=f(x)-m在x-2,5上有3个零点,则m的取值范围为()A.1,8B.(-24,1C.1,8)D.(-24,8)答案:C解析:f(x)=3x2-6x-9=3(x-3)(x+1),f(x)在-2,-1,3,5上递增,在-1,3上递减.又f(-2)=1,f(-1)=8,f(3)=-24,f(5)=8,画出图象如图.f(x)-m=0在-2,5上有三个根,等价于y=f(x)与y=m的图象有三个交点,故选C.2.已知定义在R上的函数f(x),其导函数f(x)的
2、大致图象如图所示,则下列叙述正确的是()A.f(b)f(c)f(d)B.f(b)f(a)f(c)C.f(c)f(b)f(a)D.f(c)f(b)f(d)答案:C解析:由导函数f(x)的大致图象知:当xc时,f(x)0,f(x)单调递增,又abf(b)f(a).当x(c,d)时,f(x)f(d),但无法判断f(a),f(b)与f(d)的大小关系.故选C.3.已知函数f(x)=-x2+2x,x0,ln(x+1),x0.若|f(x)|ax,则a的取值范围是()A.(-,0B.(-,1C.-2,1D.-2,0答案:D解析:画出函数y=|f(x)|的大致图象如图所示.当x0时,g(x)=|f(x)|=x
3、2-2x,g(x)=2x-2,g(0)=-2,故a-2.当x0时,g(x)=|f(x)|=ln(x+1),g(x)=1x+1,由于g(x)上任意点处切线的斜率都要大于或等于a,所以a0,综上-2a0.4.(2014山东淄博一模)若函数f(x)的导函数在区间(a,b)上的图象关于直线x=a+b2对称,则函数y=f(x)在区间a,b上的图象可能是()A.B.C.D.答案:D解析:因为函数y=f(x)的导函数在区间(a,b)上的图象关于直线x=a+b2对称,即导函数要么图象无增减性,要么在直线x=a+b2两侧单调性相反.由题图得,在a处切线斜率最小,在b处切线斜率最大,故导函数图象不关于直线x=a+
4、b2对称,故不成立;由题图得,在a处切线斜率最大,在b处切线斜率最小,故导函数图象不关于直线x=a+b2对称,故不成立;由题图得,原函数为一次函数,其导函数为常数函数,故导函数图象关于直线x=a+b2对称,成立;由题图得,原函数有一对称中心,在直线x=a+b2与原函数图象的交点处,故导函数图象关于直线x=a+b2对称,成立;所以满足要求的有,故选D.5.已知函数f(x)=xn+1(nN*)的图象与直线x=1交于点P,若图象在点P处的切线与x轴交点的横坐标为xn,则log2 014x1+log2 014x2+log2 014x2 013的值为()A.-1B.1-log2 0142 013C.-l
5、og2 0142 013D.1答案:A解析:函数的导数为f(x)=(n+1)xn,所以在x=1处的切线斜率为k=f(1)=n+1,所以切线方程为y-1=(n+1)(x-1),令y=0,得xn=nn+1,所以x1x2x2 013=1223342 0132 014=12 014,所以log2 014x1+log2 014x2+log2 014x2 013=log2 01412 014=-1.6.(2014山东济南期末)设f(x)是定义在R上的可导函数,当x0时,f(x)+f(x)x0,则关于x的函数g(x)=f(x)+1x的零点个数为()A.1B.2C.0D.0或2答案:C解析:由f(x)+f(x
6、)x0,得xf(x)+f(x)x0,当x0时,xf(x)+f(x)0,即xf(x)0,函数xf(x)单调递增;当x0时,xf(x)+f(x)0,即xf(x)0时,y=xf(x)+11,当x1,所以函数y=xf(x)+1无零点,所以函数g(x)=f(x)+x-1的零点个数为0.二、填空题7.已知函数y=f(x+1)的图象关于点(-1,0)对称,且当x(-,0)时,f(x)+xf(x)ab解析:因为当x(-,0)时,f(x)+xf(x)0成立,所以y=(xf(x)1log30log319=-2,2=-log31930.31log30,所以-log319f-log31930.3f(30.3)log3
7、f(log3),又-log319f-log319=log319flog319,所以log319flog31930.3f(30.3)log3f(log3),即cab.8.(2014河北唐山一模)定义在R上的函数f(x)满足:f(-x)+f(x)=x2,当x0时,f(x)x,则不等式f(x)+12f(1-x)+x的解集为.答案:-,12解析:f(x)+f(-x)=x2,f(x)-f(-x)=2x,f(-x)=f(x)-2x.当x0时,f(x)x,f(-x)=f(x)-2x0时,f(x)x,令g(x)=f(x)+12-f(1-x)-x,g(x)=f(x)+f(1-x)-12时,求函数f(x)的单调区
8、间.解:(1)当a=2时,f(x)=x-2sin x+cos x,x(0,).f(x)=x-2cos x,由f(x)=0,得x=2.f(x),f(x)的变化情况如下表:x0,222,x-2-0+cos x+0-f(x)-0-f(x)f(0)=1,f()=-1,函数f(x)的值域为(-1,1).(2)f(x)=(x-a)cos x,当2a0时,g(x)0时,令g(x)=x2ax+(2a-1)x+1=0.x0,+),x=0或x=12a-1.当12a-112时,在区间(0,+)上,g(x)0,即函数g(x)在(0,+)上单调递增,g(x)在0,+)上无最大值,当x+时,g(x)+,此时不满足条件.当
9、12a-10,即00,不满足条件.当a0时,g(x)=x(2ax+2a-1)x+1(x0),2ax+(2a-1)0.g(x)0,即函数g(x)在0,+)上单调递减.g(x)g(0)=0成立.综上所述,实数a的取值范围是(-,0.12.(2014河北衡水中学第一次调研)已知函数f(x)=(ax2+x-1)ex,其中e是自然对数的底数,aR.(1)若a=1,求曲线f(x)在点(1,f(1)处的切线方程;(2)若a0,求f(x)的单调区间;(3)若a=-1,函数f(x)的图象与函数g(x)=13x3+12x2+m的图象有3个不同的交点,求实数m的取值范围.解:(1)f(x)=(x2+x-1)ex,f
10、(x)=(2x+1)ex+(x2+x-1)ex=(x2+3x)ex.曲线f(x)在点(1,f(1)处的切线斜率为k=f(1)=4e.又f(1)=e,所求切线方程为y-e=4e(x-1),即4ex-y-3e=0.(2)f(x)=(2ax+1)ex+(ax2+x-1)ex=ax2+(2a+1)xex.若-12a0,当x-2a+1a时,f(x)0.当0x0.f(x)的单调递减区间为(-,0,-2a+1a,+;单调递增区间为0,-2a+1a.若a=-12,则f(x)=-12x2ex0,f(x)的单调递减区间为(-,+).若a-12,当x0时,f(x)0;当-2a+1ax0.f(x)的单调递减区间为-,
11、-2a+1a,0,+);单调递增区间为-2a+1a,0.(3)由(2)知,f(x)=(-x2+x-1)ex在(-,-1)上单调递减,在-1,0)单调递增,在0,+)上单调递减.f(x)在x=-1处取得极小值f(-1)=-3e,在x=0处取得极大值f(0)=-1.由g(x)=13x3+12x2+m,得g(x)=x2+x.当x0时,g(x)0;当-1x0时,g(x)0.g(x)在(-,-1上单调递增,在-1,0单调递减,在0,+)上单调递增.g(x)在x=-1处取得极大值g(-1)=16+m,在x=0处取得极小值g(0)=m.函数f(x)与函数g(x)的图象有3个不同的交点,f(-1)g(0),即-3em.-3e-16m-1.