1、专题八不等式(见学生用书P53)(见学生用书P53)一、不等式的性质不等式有八个性质，考查频率较高也是容易出错的有：1ab且c0acbc；ab且c0acb0，cd0acbd0.二、不等式的解法1一元二次不等式的解法：求不等式ax2bxc0(a0)的解集，先求ax2bxc0的根，再由二次函数yax2bxc的图象写出解集2分式不等式：先将右边化为零，左边通分，转化为整式不等式求解3一元三次不等式，用“穿针引线法”求解三、线性规划1解答线性规划的应用问题，其一般步骤如下：(1)设出所求的未知数；(2)列出约束条件及目标函数；(3)画出可行域；(4)将目标函数转化为直线方程，平移直线，通过截距的最值找
2、到目标函数最值；(5)将直线交点转化为方程组的解，找出最优解2求解整点最优解有两种方法：(1)平移求解法：先打网格，描述点，平移目标函数所在的直线l，最先经过的或最后经过的整点便是最优整点解(2)调整优值法：先求非整点最优解及最优值，再借助不定方程的知识调整最优值，最后筛选出整点最优解四、基本不等式1a，bR，a2b22ab，当且仅当ab时，等号成立2a，bR，当且仅当ab时，等号成立使用基本不等式要注意：“一正、二定、三相等”3已知x0，y0，则有：(1)若乘积xy为定值p，则当xy时，xy有最小值2；(2)若xy为定值s，则当xy时，乘积xy有最大值(见学生用书P54)考点一 不等式性质考
3、点精析1同向不等式可以相加，异向不等式可以相减：若ab，cd，则acbd(若ab，cbd)2左右同正不等式：同向的不等式可以相乘，异向不等式可以相除：若ab0，cd0，则acbd(若ab0，0c)3左右同正不等式：两边可以同时乘方或开方：若ab0，则anbn或.4若ab0，ab，则；若abb，则.例 11(2014四川卷)若ab0，cd B. D.0，b0，ab2，则下列不等式对一切满足条件的a，b恒成立的是_(写出所有正确命题的编号)ab1；a2b22；a3b33；2.解析：a0，b0，ab2，即22，ab1.故恒成立；对于，()2ab2222，.故不成立；对于，a2b2(ab)22ab42
4、ab2，恒成立；对于可采用特殊值代入法，a1，b1满足题意，a3b320时，f(x)x24x，则不等式f(x)x的解集用区间表示为_考点：一元二次不等式的解法以及函数的奇偶性分析：先求出函数f(x)在R上的解析式，然后分段求解不等式f(x)x，即得不等式的解集解析：设x0，于是f(x)(x)24(x)x24x.因为f(x)是R上的奇函数，所以f(x)x24x，即f(x)x24x，且f(0)0，于是f(x)当x0时，由x24xx，得x5；当xx，得5x1的解集为()A(2，3) B(，)C(2，3)(3，2) D(，)(，)考点：一元二次不等式的解法；导数的几何意义分析：由函数yf(x)的图象，
5、知x0时，f(x)是减函数由f(2)1，f(3)1，不等式f(x26)1的解集满足x|2x263，由此能求出结果解析：函数yf(x)的图象如题图所示，当x0时，f(x)是减函数f(2)1，f(3)1，由不等式f(x26)1得2x263，解得3x2或2x0在R上恒成立，则实数a的取值范围是_解析：由关于x的不等式x2ax2a0在R上恒成立，可得二次函数f(x)x2ax2a的图象在x轴的上方，即一元二次方程x2ax2a0的判别式(a)28a0，b0，2当且仅当时，“”成立，即ab2，(ab)min2.故选C.(方法2)由，通分可得，ab，即(2ab)2a3b3.又由(2ab)28ab，得8aba3
6、b3，即a2b28，ab2，所以(ab)min2.故选C.答案：C点评：本题考查了基本不等式的应用，考查了学生的推理论证能力，属于中档题例 32 (2013山东卷)设正实数x，y，z满足x23xy4y2z0，则当取得最大值时，的最大值为()A0 B1C. D3考点：基本不等式分析：依题意，当取得最大值时x2y，代入所求关系式f(y)，利用配方法即可求得其最大值解析：x23xy4y2z0，zx23xy4y2.又x，y，z均为正实数，1(当且仅当x2y时取“”)，1，此时，x2y.zx23xy4y2(2y)232yy4y22y2，11.的最大值为1.答案：B点评：本题考查基本不等式，由取得最大值时
7、得到x2y是关键，考查配方法求最值，属于中档题规律总结此类题型主要考查函数性质在不等式中的应用和基本不等式的应用，是考试的热点题型，试题难度中等，主要以小题形式出现解题时应注意构造函数模型并运用单调性及数形结合思想，基本不等式的应用要注意等号成立条件变式训练【31】 (2015福建卷)若直线1(a0，b0)过点(1，1)，则ab的最小值等于()A2 B3C4 D5解析：由直线1过点(1，1)，可得1，ab(ab)24，当且仅当，即ab时“”成立，所以(ab)min4，故选C.答案：C【32】 (2014湖北卷)某项研究表明：在考虑行车安全的情况下，某路段车流量F(单位时间内经过测量点的车辆数，
8、单位：辆/时)与车流速度v(假设车辆以相同速度v行驶，单位：米/秒)、平均车长l(单位：米)的值有关，其公式为F.(1)如果不限定车型，l6.05，则最大车流量为_辆/时；(2)如果限定车型，l5，则最大车流量比(1)中的最大车流量增加_辆/时解析：(1)F，v222，当v11时“”成立，F1 900，故最大车流量为1 900辆/时(2)F，v220，F2 000，2 0001 900100(辆/时)故最大车流量比(1)中的最大车流量增加100辆/时答案：(1)1 900(2)100考点四简单的线性规划考点精析解决线性规划问题的一般步骤(1)确定线性约束条件；(2)确定线性目标函数；(3)画出
9、可行域；(4)利用线性目标函数(直线)求出最优解；(5)据实际问题的需要，适当调整最优解(如整数解等)例 41(2014湖北二模)点M(a，b)在由不等式组确定的平面区域内，则点N(ab，ab)所在平面区域的面积是_考点：简单线性规划分析：设mab，nab，则N(ab，ab)为N(m，n)，由M(a，b)满足的不等式组，化简整理得到m、n满足的不等式组，最后以m为横坐标、n为纵坐标的直角坐标系内作出相应的平面区域，即可求出点N(ab，ab)所在平面区域的面积解析：由M(a，b)满足可得令mab，nab，则N(ab，ab)为N(m，n)，解得2amn，2bmn.因为a0，b0，且ab2，N(m，
10、n)满足以m为横坐标，n为纵坐标，在直角坐标系中画出不等式组表示的平面区域如图，得到OEF，其中O(0，0)，E(2，2)，F(2，2)，可得SOEFEF24.即得N(ab，ab)所在平面区域的面积是4.答案：4点评：本题给出M(a，b)满足的不等式组，求点N(ab，ab)所在平面区域的面积，着重考查了坐标变换公式和简单的线性规划及其应用等知识，属于基础题例 42(2014福建模拟)已知实数x，y满足若目标函数zaxy(a0)取得最小值时的最优解有无数个，则实数a的值为_考点：简单线性规划分析：将目标函数zaxy化成斜截式方程后得：yaxz，目标函数值z看成是直线族yaxz的截距，当直线族ya
11、xz的斜率与直线AB的斜率相等时，目标函数zaxy取得最小值的最优解有无数多个，由此不难得到a的值解析：目标函数zaxy，yaxz.故目标函数值z是直线族yaxz的截距画出不等式组表示的可行域如图所示当直线族yaxz的斜率与直线AB的斜率相等时，目标函数zaxy取得最小值的最优解有无数多个，直线AB：2x2y10的斜率为1，此时，a1，即a1.答案：1点评：目标函数的最优解有无数多个，处理方法一般是：将目标函数的解析式进行变形，化成斜截式；分析z与截距的关系，是符号相同，还是相反；根据分析结果，结合图形得出结论；根据斜率相等求出参数例 43(2014全国卷)设x，y满足约束条件则zx2y的最大
12、值为()A8 B7C2 D1考点：简单的线性规划分析：先作出可行域，再结合图形求解最大值解析：画出可行域，如图所示将目标函数zx2y变形为yx，当z取到最大值时，直线yx的纵截距最大故将直线yx平移经过可行域，当平移到过A点时，z取到最大值解得A(3，2)，所以zmax3227.答案：B点评：本题考查线性规划的基本应用作出可行域，运用截距法求最值，是解线性规划的基本方法规律总结简单线性规划问题在实际生活、生产中应用十分广泛，也是历年高考必考的一个重点考查中三种题型都有，但以选择题和填空题为主，命题的重点是简单线性规划中最值问题的求解近几年高考命题的形式趋向多样化，如以不等式组确定平面区域为背景
13、考查平面区域面积；已知线性规划中目标函数的最值确定参数的取值；线性约束条件下的非线性目标函数的最值；线性规划问题与平面向量的数量积、线性规划与其他知识模块的综合等求解最值的方法在数列、函数、平面解析几何问题中的应用等已逐步成为今后高考命题的趋势变式训练【41】 (2014肇庆二模)直角坐标系xOy中，已知两定点A(1，0)，B(1，1)动点P(x，y)满足则点M(xy，xy)构成的区域的面积等于_解析：由得设M(s，t)，则解得由得作出不等式组对应的平面区域，则区域对应平行四边形OEFG，且E(0，2)，F(2，0)，G(2，2)，所以四边形的面积S2224，答案：4【42】 (2014福建卷
14、)已经知圆C：(xa)2(yb)21，平面区域：若圆心C，且圆C与x轴相切，则a2b2的最大值为()A5 B29C37 D49解析：作出不等式组表示的平面区域(如图中阴影部分所示，含边界)，圆C：(xa)2(yb)21的圆心坐标为(a，b)，半径为1.由圆C与x轴相切，得b1.解方程组得即直线xy70与直线y1的交点坐标为(6，1)，设此点为P.又点C，则当点C与P重合时，a取得最大值，所以a2b2的最大值为621237，故选C.答案：C(见学生用书P58)例(2014湖南模拟)设m1，在约束条件下，目标函数zxmy的最大值小于2，则m的取值范围为()A(1，1) B(1，)C(1，3) D(
15、3，)考场错解：变形目标函数为yx.作不等式组表示的平面区域(如图中的阴影部分所示)当直线l：yx在y轴上的截距最大时，目标函数取最大值平移直线l，当l过点B时，z有最大值由得交点B.因此zxmy的最大值zmax.依题意，2(m1)，得1m3.故实数m的取值范围是(1，3)，选C项专家把脉：(1)忽视条件m1，没能准确判定直线l的斜率范围，导致错求最优解，从而错得实数m的取值范围(2)本题易出现不能正确画出可行域或错认为直线l过原点时，z取得最大值的错误对症下药：变形目标函数为yx.作不等式组表示的平面区域(如图中的阴影部分所示)m1，10.因此当直线l：yx在y轴上的截距最大时，目标函数取得
16、最大值显然在点A处，直线l的截距最大由得交点A.因此zxmy的最大值zmax.依题意2，即m22m10，解得1m1，故实数m的取值范围是(1，1)，选A项专家会诊：(1)审清题意，不能忽视参数取值的影响(2)对于题目中最值条件的确定至关重要，明确目标函数的最值与m的关系，且计算一定要准确，防止误选B、D的错误(见学生用书P131)一、选择题1(2014山东卷)已知实数x，y满足axay(0ay3Bsin xsin yCln(x21)ln(y21)D.解析：因为0a1，axy.对于选项B，取x，y，则sin xsin y，显然B错误对于选项C，取x1，y2，则ln(x21)ln(y21)，显然C
17、错误对于选项D，取x2，y1，则y时，一定有x3y3成立，所以选A.答案：A2下列不等式一定成立的是()Alg(x2)lg x(x0)Bsin x2(xkx，kZ)Cx212|x|(xR)D.(xR)解析：A选项不成立，当x时，不等式两边相等；B选项不成立，这是因为正弦值可以是负的，故不一定能得出sin x2；C选项是正确的，这是因为x212|x|(xR)(|x|1)20；D选项不正确，令x0，则不等式左右两边都为1，不等式不成立综上，C选项是正确的答案：C3(2015天津卷)设xR，则“1x2”是“|x2|1”的()A充分而不必要条件 B必要而不充分条件C充要条件 D既不充分也不必要条件解析
18、：|x2|11x3， x|1x2是x|1x3的真子集， “1x2”是“|x2|1”的充分而不必要条件答案：A4(2015陕西卷)设f(x)ln x，0ab，若pf()，qf，r(f(a)f(b)，则下列关系式中正确的是()AqrpCprq解析：pf()ln ，qfln，r(f(a)f(b)ln(ab)ln ，函数f(x)ln x在(0，)上单调递增，因为，所以ff()，所以qpr，故选C.答案：C5(2015福建卷)变量x，y满足约束条件若z2xy的最大值为2，则实数m等于()A2 B1C1 D2解析：根据题意，作出可行域(如图中阴影部分)，当直线y2xz过点B时，纵截距z取得最小值，此时目标
19、函数z2xy取得最大值2，由得B，所以zmax22，解得m1，故选C.答案：C6(2015陕西卷)某企业生产甲、乙两种产品均需用A，B两种原料已知生产1吨每种产品需原料及每天原料的可用限额如表所示，如果生产1吨甲、乙产品可获利润分别为3万元、4万元，则该企业每天可获得最大利润为()甲乙原料限额A(吨)3212B(吨)128A.12万元 B16万元C17万元 D18万元解析：设核企业每天生产甲、乙两种产品分别为x、y吨，则利润z3x4y.由题意可得其表示如图阴影部分区域当直线3x4yz0过点A(2，3)时，z取得最大值，所以zmax324318，故选D.答案：D二、填空题7(2014江苏卷)已知
20、函数f(x)x2mx1在xm，m1都有f(x)0，则实数m的取值范围为_解析：根据题意，得解得m0.答案：8偶函数yf(x)当x0，)时，f(x)x1，则f(x1)0的解集是_解析：因为函数yf(x)是偶函数，且当x0，)时，f(x)x1，所以函数yf(x1)的图象如图，则满足f(x1)0的解集是x|0x2答案：x|0x29(2015合肥质检)在三角形ABC中，过中线AD的中点E作直线分别与边AB和AC交于M，N两点，若x，y，则4xy的最小值是_解析：如图所示，. M，E，N三点共线， 1. 4xy(4xy)112，当且仅当y2x时等号成立答案：10若a，b均为正实数，且m恒成立，则m的最小
21、值是_解析：原不等式可化为m，令x，则原问题就等价于求f(x)的最大值，其中x1.f(x)212，由于g(x)x(1x)xx2的最大值为，故f(x)的最大值为，所以m.答案：11(2014江西二模)已知在平面直角坐标系xOy上的区域D由不等式组确定，若M(x，y)为区域D上的动点，点A的坐标为(2，3)，则z的最大值为_解析：z2x3y，则yx，作出不等式组对应的平面区域如图：平移直线yx，当直线经过点B时，直线的截距最大，此时z最大由解得即B(1，4)，此时z的最大值为z23414.答案：1412给出下列命题：方程2xlogax0的解有1个；(x2)0的解集为2，)；“x1”是“x2”的充分
22、不必要条件；函数yx3过点A(1，1)的切线是y3x2；ABC的外接圆的圆心为O，半径为1，20，且|，则向量在向量方向上的投影为.其中真命题的序号是_(写出所有正确命题的编号)解析：当0a1时，方程2xlogax0无解，故不正确；(x2)0的解集为2，)1，故不正确；由“x1”能推出“x2”，但由“x2”，不能推出“x1”(如x1.5)，故“x1”是“x0，y0， x2y2， 4xyx2y442，即2()220， 或(舍去)，可得xy2.要使xy恒成立，只需2恒成立，化简得2a2a150，解得a3或a.故a的取值范围是(，3.14如图，建立平面直角坐标系xOy，x轴在地平面上，y轴垂直于地平
23、面，单位长度为1千米，某炮位于坐标原点已知炮弹发射后的轨迹在方程ykx(1k2)x2(k0)表示的曲线上，其中k与发射方向有关炮的射程是指炮弹落地点的横坐标(1)求炮的最大射程；(2)设在第一象限有一飞行物(忽略其大小)，其飞行高度为3.2千米，试问它的横坐标a不超过多少时，炮弹可以击中它？请说明理由解析：(1)令y0，得kx(1k2)x20，由实际意义和题设条件知x0，k0，故x10，当且仅当k1时取等号所以炮的最大射程为10千米(2)因为a0，所以炮弹可击中目标存在k0，使3.2ka(1k2)a2成立，即关于k的方程a2k220aka2640有正根判别式(20a)24a2(a264)0a6
24、.所以当a不超过6千米时，可击中目标15已知函数f(x)log为奇函数(1)求常数k的值；(2)若ab1，试比较f(a)与f(b)的大小；(3)若函数g(x)f(x)m，且g(x)在区间3，4上没有零点，求实数m的取值范围解析：(1)f(x)log为奇函数，f(x)f(x)，即logloglog，即1k2x21x2，整理得k21.k1(k1使f(x)无意义而舍去)(2)f(x)log.f(a)f(b)logloglogloglog.当ab1时，abab1abab10，0log10，即f(a)f(b)0.f(a)f(b)(3)由(2)知，f(x)在(1，)递增，g(x)f(x)m在3，4递增g(x)在区间3，4上没有零点，g(3)logmm0或g(4)logmlogm或mlog.