1、第二课时函数的最值、平均变化率科考队对“早穿棉袄午穿纱，围着火炉吃西瓜”这一独特的沙漠气候进行科学考查，如图是某天气温随时间的变化曲线问题(1)在区间6，17对应的曲线上任取不同两点A(x1，y1)，B(x2，y2)，一定大于零吗？(2)如果在区间12，24对应的曲线上任取不同两点C(x3，y3)，D(x4，y4)，一定大于零吗？知识点一函数的最值1函数的最大值和最小值一般地，设函数f(x)的定义域为D，且x0D：(1)如果对任意xD，都有f(x)f(x0)，则称f(x)的最大值为f(x0)(记作f(x)maxf(x0)，而x0称为f(x)的最大值点；(2)如果对任意xD，都有f(x)f(x0
2、)，则称f(x)的最小值为f(x0)(记作f(x)minf(x0)，而x0称为f(x)的最小值点对函数最值的几点说明(1)最值首先是一个函数值，即存在一个自变量x0，使得f(x0)等于最值；(2)对于定义域内的任意元素x，都有f(x)f(x0)(或f(x)f(x0)，“任意”两个字不可省略；(3)使函数f(x)取得最大(小)值的自变量的值有时可能不止一个；(4)函数f(x)在其定义域(某个区间)内的最大值的几何意义是其图像上最高点的纵坐标；最小值的几何意义是其图像上最低点的纵坐标 2最值和最值点最大值和最小值统称为最值，最大值点和最小值点统称为最值点 如果函数f(x)对于定义域内的任意x都满足
3、f(x)M，那么M一定是函数f(x)的最大值吗？提示：不一定如函数f(x)x21恒成立，但是1不是函数的最大值1.函数yf(x)在2，2上的图像如图所示，则此函数的最小值、最大值分别是_，_答案：122函数y2x22，xN*的最小值是_解析：函数y2x22在(0，)上是增函数，又因为xN*，所以当x1时，ymin21224.答案：4知识点二函数的平均变化率1直线的斜率(1)定义：给定平面直角坐标系中的任意两点A(x1，y1)，B(x2，y2)，当x1x2时，称为直线AB的斜率；，当x1x2时，称直线AB的斜率不存在(2)作用：直线AB的斜率反映了直线相对于x轴的倾斜程度2平均变化率与函数单调性
4、若I是函数yf(x)的定义域的子集，对任意x1，x2I且x1x2，记y1f(x1)，y2f(x2)，则：(1)yf(x)在I上是增函数的充要条件是在I上恒成立；(2)yf(x)在I上是减函数的充要条件是在I上恒成立当x1x2时，称为函数yf(x)在区间x1，x2(x1x2时)或x2，x1(x1x2时)上的平均变化率通常称x为自变量的改变量，y为因变量的改变量对函数平均变化率的几点说明(1)函数f(x)应在x1，x2处有定义；(2)x2在x1附近，xx2x10，但x可正可负；(3)注意变量的对应，若xx2x1，则yf(x2)f(x1)，而不是yf(x1)f(x2)；(4)平均变化率可正可负，也可
5、为零但是，若函数在某区间上的平均变化率为0，不能说明该函数在此区间上的函数值都相等比如，f(x)x2在区间2，2上的平均变化率为0，但f(x)x2在2，2上的图像先下降后上升，值域是0，4；(5)平均变化率是曲线陡峭程度的“数量化”，曲线陡峭程度是平均变化率的“视觉化”利用平均变化率可以刻画变量平均变化的趋势和快慢程度，但效果是“粗糙不精确的”只有当xx2x1无限变小时，这种量化才由“粗糙”逼近“精确” 1函数的平均变化率是固定不变的吗？提示：不一定当x1取定值后，x取不同的数值时，函数的平均变化率不一定相同；当x取定值后，x1取不同的数值时，函数的平均变化率也不一定相同比如，f(x)x2在区
6、间0，2和2，4上都有x2，但y分别为404和16412.事实上，根据下面将要学习的平均变化率的几何意义可知，曲线上任意不同两点间连线的斜率一般不相等，即一般情况下函数的平均变化率是不相同的2如果0在I上恒成立，那么函数f(x)有什么特点？提示：函数f(x)是常数函数1如果过点P(2，m)和Q(m，4)的直线的斜率等于1，那么m的值为()A1B4C1或3 D1或4解析：选A由题意得1，解得m1.2已知f(x)3x25，则自变量x从0.1到0.2的平均变化率为()A0.3 B0.9C0.6 D1.2解析：选Byf(0.2)f(0.1)0.1250.0350.09，可得平均变化率0.9.3如图是函
7、数yf(x)的图像(1)函数f(x)在区间1，1上的平均变化率为_；(2)函数f(x)在区间0，2上的平均变化率为_解析：(1)函数f(x)在区间1，1上的平均变化率为.(2)由函数f(x)的图像知，f(x)所以函数f(x)在区间0，2上的平均变化率为.答案：(1)(2)平均变化率角度一直线的斜率公式及应用例1(1)已知直线l过点M(m1，m1)，N(2m，1)当m为何值时，直线l的斜率是1?(2)已知三点A(a，2)，B(3，7)，C(2，9a)在同一条直线上，求实数a的值解(1)因为直线l的斜率是1，所以1，即1，解得m.(2)A，B，C三点共线，且32，BC，AB的斜率都存在，且kABk
8、BC.又kAB，kBC，解得a2或a.利用斜率公式求直线的斜率应注意的事项(1)运用公式的前提条件是“x1x2”，即直线不与x轴垂直，因为当直线与x轴垂直时，斜率是不存在的；(2)斜率公式与两点P1，P2的先后顺序无关，也就是说公式中的x1与x2，y1与y2可以同时交换位置 角度二平均变化率的计算例2一正方形铁板在0 时边长为10 cm，加热后会膨胀，当温度为t 时，边长变为10(1at)cm，a为常数试求铁板面积对温度的平均膨胀率解设温度的增量为t，则铁板面积S的增量为：S1021a(tt)2102(1at)2200(aa2t)t100a2(t)2，所以平均膨胀率200(aa2t)100a2
9、t.求平均变化率可根据定义代入公式直接求解，解题的关键是弄清自变量的增量x与函数值的增量y，求平均变化率的主要步骤是： 跟踪训练路灯距地面8 m，一个身高为1.6 m的人以84 m/min的速度在地面上从路灯在地面上的射影点C处沿直线匀速离开路灯(1)求身影的长度y与人距路灯的距离x之间的关系式；(2)求人离开路灯10 s内身影长度y关于时间t的平均变化率解：(1)如图所示，设人从C点运动到B点的距离为x m，AB为身影长度，AB的长度为y m，由于CDBE，则，即，所以y0.25x.(2)84 m/min1.4 m/s，则y关于t的函数关系式为y0.251.4t0.35t，所以10 s内平均
10、变化率0.35(m/s)，即此人离开路灯10 s内身影长度y关于时间t的平均变化率为0.35 m/s.利用平均变化率证明函数的单调性例3若函数yf(x)是其定义域的子集I上的增函数且f(x)0，求证：g(x)在I上为减函数证明任取x1，x2I且x2x1，则xx2x10，yf(x2)f(x1)，函数yf(x)是其定义域的子集I上的增函数，y0，0，gg(x2)g(x1).又f(x)0，f(x1)f(x2)0且f(x1)f(x2)0，g0，0，故g(x)在I上为减函数1yf(x)在I上是增函数的充要条件是0在I上恒成立；2yf(x)在I上是减函数的充要条件是0在I上恒成立 跟踪训练已知函数f(x)
11、1，x3，5，判断函数f(x)的单调性，并证明解：由于yx2在3，5上是增函数，且恒大于零，因此，f(x)1在3，5上为增函数证明过程如下：任取x1，x23，5且x1x2，即xx2x10，则yf(x2)f(x1)1.(x12)(x22)0，y0，0，故函数f(x)在3，5上是增函数求函数的最值角度一图像法求函数的最值例4已知函数f(x)求函数f(x)的最大值和最小值解作出f(x)的图像如图由图像可知，当x2时，f(x)取最大值为2；当x时，f(x)取最小值为.所以f(x)的最大值为2，最小值为.用图像法求最值的3个步骤 角度二利用单调性求函数的最值例5已知函数f(x)x.(1)证明：f(x)在
12、(1，)内是增函数；(2)求f(x)在2，4上的最值解(1)证明：设x1，x2(1，)，且x1x2，则1.由x1，x2(1，)知x1x21，1，10，0，故f(x)在(1，)内是增函数(2)由(1)可知f(x)在2，4上是增函数，当x2，4时，f(2)f(x)f(4)又f(2)2，f(4)4，f(x)在2，4上的最大值为，最小值为.函数的最值与单调性的关系(1)如果函数yf(x)在区间(a，b上是增函数，在区间b，c)上是减函数，则函数yf(x)，x(a，c)在xb处有最大值f(b)；(2)如果函数yf(x)在区间(a，b上是减函数，在区间b，c)上是增函数，则函数yf(x)，x(a，c)在x
13、b处有最小值f(b)；(3)如果函数yf(x)在区间a，b上是增(减)函数，则在区间a，b的左、右端点处分别取得最小(大)值、最大(小)值 跟踪训练1如图为函数yf(x)，x4，7的图像，则它的最大值、最小值分别为_，_解析：观察函数图像可以知道，图像上位置最高的点是(3，3)，最低的点是(1.5，2)，所以当x3时，函数yf(x)取得最大值，即ymax3；当x1.5时，函数yf(x)取得最小值，即ymin2.答案：322二次函数f(x)x22x3在0，m上有最大值3，最小值1，则实数m的取值范围是_解析：由题意可知f(x)的对称轴为x2，因为f(x)x22x3在0，2上单调递减，在2，)上单
14、调递增则当0m4时，最大值必大于f(4)3，此时条件不成立综上可知，实数m的取值范围是2，4答案：2，43已知函数f(x)(x2，6)，求函数的最大值和最小值解：设x1，x22，6且x1x2，则.由x1，x22，6知x111，x211，0，0.故函数f(x)是区间2，6上的减函数因此，函数f(x)在区间2，6的两个端点处分别取得最大值与最小值，即在x2时取得最大值，最大值是2；在x6时取得最小值，最小值是.1设函数f(x)的定义域为R，以下三种说法：若存在常数M，使得对任意xR，有f(x)M，则M是f(x)的最大值；若存在x0R，使得对任意xR，有f(x)f(x0)，则f(x0)是f(x)的最
15、大值；若存在x0R，使得对任意xR，且xx0，有f(x)f(x0)，则f(x0)是f(x)的最大值其中正确说法的个数为()A0B1C2 D3解析：选C由函数最大值的概念知正确2.函数f(x)在2，)上的图像如图所示，则此函数的最大值、最小值分别为()A3，0 B3，1C3，无最小值 D3，2解析：选C观察题中图像可知，图像的最高点坐标是(0，3)，从而其最大值是3；图像无最低点，即该函数不存在最小值故选C.3已知函数f(x)2x24的图像上一点(1，2)及邻近一点(1x，2y)，则等于()A4 B4xC42x D42(x)2解析：选Cyf(1x)f(1)2(1x)24(24)2(x)24x，2x4，故选C.4已知函数f(x)，其定义域是8，4)，则下列说法正确的是()Af(x)有最大值，无最小值Bf(x)有最大值，最小值Cf(x)有最大值，无最小值Df(x)有最大值2，最小值解析：选A因为函数f(x)2，由函数的图像(图略)可知f(x)在8，4)上单调递减，则f(x)在x8处取得最大值，最大值为，x4取不到函数值，即最小值取不到故选A.5汽车行驶的路程s和时间t之间的变化规律如图所示，在时间段t0，t1，t1，t2，t2，t3内的平均速度分别是v1，v2，v3，则三者的大小关系为_解析：v1kOA，v2kAB，v3kBC，由图得kOAkABkBC，v1v2v3.答案：v1v2v3