1、课时分层训练抓基础自主学习明考向题型突破第二章 函数、导数及其应用第一节 函数及其表示考纲传真 1.了解构成函数的要素，会求一些简单函数的定义域和值域；了解映射的概念.2.在实际情境中，会根据不同的需要选择恰当的方法(如图象法、列表法、解析法)表示函数.3.了解简单的分段函数，并能简单应用(函数分段不超过三段)1函数与映射的概念函数映射两集合A，B设 A，B 是两个_设 A，B 是两个_对应关系f：AB如果按照某种确定的对应关系 f，使对于集合 A 中的_一个数x，在集合 B 中都有_的数 f(x)和它对应如果按某一个确定的对应关系 f，使对于集合 A 中的_一个元素 x，在集合 B 中都有_
2、的元素 y 与之对应名称称_为从集合 A 到集合B 的一个函数称_为从集合 A 到集合B 的一个映射记法函数 yf(x)，xA映射：f：AB非空的数集非空的集合任意唯一确定任意唯一确定f：ABf：AB2.函数的有关概念(1)函数的定义域、值域在函数 yf(x)，xA 中，自变量 x 的取值范围(数集 A)叫做函数的_；函数值的_叫做函数的值域(2)函数的三要素：_、_和_(3)相等函数：如果两个函数的_相同，并且_完全一致，则这两个函数为相等函数(4)函数的表示法表示函数的常用方法有_、_和_定义域集合f(x)|xA定义域对应关系值域定义域对应关系解析法图象法列表法3分段函数(1)若函数在其定
3、义域的不同子集上，因_不同而分别用几个不同的式子来表示，这种函数称为分段函数(2)分段函数的定义域等于各段函数的定义域的_，其值域等于各段函数的值域的_，分段函数虽由几个部分组成，但它表示的是一个函数对应关系并集并集1(思考辨析)判断下列结论的正误(正确的打“”，错误的打“”)(1)函数是特殊的映射()(2)函数 y1 与 yx0 是同一个函数()(3)与 x 轴垂直的直线和一个函数的图象至多有一个交点()(4)分段函数是两个或多个函数()答案(1)(2)(3)(4)2(教材改编)函数 y 2x3 1x3的定义域为()A.32，B(，3)(3，)C.32，3(3，)D(3，)C 由题意知2x3
4、0，x30，解得 x32且 x3.3(2017南昌一模)已知函数 f(x)x，x0，2x，x0，则 f(f(4)_.4 f(4)2416，f(f(4)f(16)164.4(2015全国卷)已知函数 f(x)ax32x 的图象过点(1,4)，则 a_.2 f(x)ax32x 的图象过点(1,4)，4a(1)32(1)，解得 a2.5给出下列四个命题：函数是其定义域到值域的映射；f(x)x3 2x是一个函数；函数 y2x(xN)的图象是一条直线；f(x)lg x2 与 g(x)2lg x 是同一个函数其中正确命题的序号是_【导学号：31222018】由函数的定义知正确满足x30，2x0的 x 不存
5、在，不正确y2x(xN)的图象是位于直线 y2x 上的一群孤立的点，不正确f(x)与 g(x)的定义域不同，也不正确求函数的定义域(1)(2016 江 苏 高 考)函 数 y 32xx2的 定 义 域 是_(2)(2017郑州模拟)若函数 yf(x)的定义域为0,2，则函数 g(x)f2xx1的定义域是_(1)3,1(2)0,1)(1)要使函数有意义，需 32xx20，即 x22x30，得(x1)(x3)0，即3x1，故所求函数的定义域为3,1(2)由 02x2，得 0 x1，又 x10，即 x1，所以 0 x1，即 g(x)的定义域为0,1)规律方法 1.求给出解析式的函数的定义域，可构造使
6、解析式有意义的不等式(组)求解2(1)若已知 f(x)的定义域为a，b，则 f(g(x)的定义域可由 ag(x)b 求出；(2)若已知 f(g(x)的定义域为a，b，则 f(x)的定义域为 g(x)在 xa，b时的值域变式训练 1(1)函数 f(x)12x1x3的定义域为()A(3,0 B(3,1C(，3)(3,0D(，3)(3,1(2)已知函数 f(2x)的定义域为1,1，则 f(x)的定义域为_.【导学号：31222019】(1)A(2)12，2 (1)由题意，自变量 x 应满足12x0，x30，解得x0，x3，3x0.(2)f(2x)的定义域为1,1，122x2，即 f(x)的定义域为1
7、2，2.求函数的解析式(1)已知 f2x1 lg x，求 f(x)的解析式(2)已知 f(x)是二次函数且 f(0)2，f(x1)f(x)x1，求 f(x)的解析式(3)已知 f(x)2f1x x(x0)，求 f(x)的解析式解(1)令2x1t，由于 x0，t1 且 x 2t1，f(t)lg 2t1，即 f(x)lg 2x1(x1)(2)设 f(x)ax2bxc(a0)，由 f(0)2，得 c2，f(x1)f(x)a(x1)2b(x1)ax2bxx1，即 2axabx1，2a1，ab1，即a12，b32，f(x)12x232x2.(3)f(x)2f1x x，f1x 2f(x)1x.联立方程组f
8、x2f1x x，f1x 2fx1x，解得 f(x)23xx3(x0)规律方法 求函数解析式的常用方法(1)待定系数法：若已知函数的类型，可用待定系数法；(2)换元法：已知复合函数 f(g(x)的解析式，可用换元法，此时要注意新元的取值范围；(3)构造法：已知关于 f(x)与 f1x 或 f(x)的表达式，可根据已知条件再构造出另外一个等式，通过解方程组求出 f(x)；(4)配凑法：由已知条件 f(g(x)F(x)，可将 F(x)改写成关于 g(x)的表达式，然后以 x 替代 g(x)，即得 f(x)的表达式变式训练 2(1)已知 f(x1)x2 x，则 f(x)_.(2)已知函数 f(x)的定
9、义域为(0，)，且 f(x)2f1x x1，则 f(x)_.(1)x21(x1)(2)23x13(x0)(1)(换元法)设 x1t(t1)，则 xt1，所以 f(t)(t1)22(t1)t21(t1)，所以 f(x)x21(x1)(配凑法)f(x1)x2 x(x1)21，又 x11，f(x)x21(x1)(2)在 f(x)2f1x x1 中，用1x代替 x，得 f1x 2f(x)1x1，由fx2f1x x1，f1x 2fx1x1，得 f(x)23x13(x0)分段函数及其应用角度 1 求分段函数的函数值(1)(2017湖南衡阳八中一模)若 f(x)13x，x0，log3x，x0，则 ff19(
10、)A2 B3 C9 D9(2)(2017东北三省四市一联)已知函数 f(x)的定义域为(，)，如果 f(x2 016)2sin x，x0，lgx，x0，那么 f2 0164 f(7 984)()【导学号：31222020】A2 016 B.14C4 D.12 016(1)C(2)C(1)f(x)13x，x0，log3x，x0，f19 log3192，ff19 f(2)1329.故选 C.(2)当 x0 时，有 f(x2 016)2sin x，f2 0164 2sin41；当 x0时，f(x2 016)lg(x)，f(7 984)f(10 0002 016)lg 10 0004，f2 0164
11、f(7 984)144，故选 C.角度 2 已知分段函数的函数值求参数(1)(2017成都二诊)已知函数 f(x)log2x，x1，x2m2，x1，若 f(f(1)2，则实数 m 的值为()A1B1 或1C.3D.3或 3(2)设函数 f(x)3xb，x1，2x，x1.若 ff56 4，则 b()A1 B.78C.34 D.12(1)D(2)D(1)f(f(1)f(1m2)log2(1m2)2，m23，解得 m 3，故选 D.(2)f56 356b52b，若52b32，则 352b b152 4b4，解得 b78，不符合题意，舍去；若52b1，即 b32，则 252b4，解得 b12.角度 3
12、 解与分段函数有关的方程或不等式(1)(2017石家庄一模)已知函数 f(x)sinx2，1x0，log2x1，0 x1，且f(x)12，则 x 的值为_(2)(2014全国卷)设函数 f(x)则使得 f(x)2 成立的 x 的取值范围是_(1)13(2)(，8(1)当1x0 时，f(x)sinx2 12，解得 x13；当 0 x1 时，f(x)log2(x1)(0,1)，此时 f(x)12无解，故 x 的值为13.(2)当 x1 时，x10，ex1e012，当 x1 时满足 f(x)2.当 x1 时，x 2，x238，1x8.综上可知 x(，8规律方法 1.求分段函数的函数值，要先确定要求值
13、的自变量属于定义域的哪一个子集，然后代入该段的解析式求值，当出现 f(f(a)的形式时，应从内到外依次求值2已知函数值或函数值范围求自变量的值或范围时，应根据每一段的解析式分别求解，但要注意检验所求自变量的值或范围是否符合相应段的自变量的取值范围易错警示：当分段函数自变量的范围不确定时，应分类讨论思想与方法1在判断两个函数是否为同一函数时，要紧扣两点：一是定义域是否相同；二是对应关系是否相同2定义域优先原则：函数定义域是研究函数的基础，对函数性质的讨论，必须在定义域内进行3求函数解析式的几种常用方法：待定系数法、换元法、配凑法、构造法4分段函数问题要分段求解易错与防范1求函数定义域时，不要对解析式进行化简变形，以免定义域发生变化2用换元法求函数解析式时，应注意元的范围，既不能扩大，又不能缩小，以免求错函数的定义域3在求分段函数的值 f(x0)时，首先要判断x0 属于定义域的哪个子集，然后再代入相应的关系式；如果 x0 的范围不确定，要分类讨论课时分层训练（四）点击图标进入