1、第五节 推理与证明 A组基础对点练1下列结论正确的个数为()归纳推理得到的结论不一定正确，类比推理得到的结论一定正确；由平面三角形的性质推测空间四面体的性质，这是一种合情推理；“所有3的倍数都是9的倍数，某数m是3的倍数，则m一定是9的倍数”，这是三段论推理，但其结论是错误的；A0 B1C2 D3解析：不正确正确答案：C2观察(x2)2x，(x4)4x3，(cos x)sin x，由归纳推理可得：若定义在R上的函数f(x)满足f(x)f(x)，记g(x)为f(x)的导函数，则g(x)等于()Af(x) Bf(x)Cg(x) Dg(x)解析：由所给等式知，偶函数的导数是奇函数f(x)f(x)，f
2、(x)是偶函数，从而g(x)是奇函数g(x)g(x).答案：D3在等比数列an中，若am1，则有a1a2ana1a2a2m1n(n2m1，且nN*)成立，在等差数列bn中，若bm0，类比上述性质，则有()Ab1b2bnb1b2b2m1n(n2m1，且nN*)Bb1b2bnb1b2b2mn1(n2m1，且nN*)Cb1b2bnb1b2b2m1n(n2m1，且nN*)Db1b2bnb1b2b2mn1(n2m1，且nN*)解析：等比数列的“比”对应等差数列的“差”，类比上述性质，等比数列的“积”对应等差数列的“和”，由此排除选项AB，对于选项CD，注意项数的变化知选项C正确答案：C4(2020辽宁丹
3、东联考)已知“整数对”按如下规律排列：(1，1)，(1，2)，(2，1)，(1，3)，(2，2)，(3，1)，(1，4)，(2，3)，(3，2)，(4，1)，则第70个“整数对”为()A(3，9) B(4，8)C(3，10) D(4，9)解析：因为121166，所以第67个“整数对”是(1，12)，第68个“整数对”是(2，11)，第69个“整数对”是(3，10)，第70个“整数对”是(4，9).答案：D5给出下面类比推理命题(其中Q为有理数集，R为实数集，C为复数集)：“若a，bR，则ab0ab”类比推出“若z1，z2C，则z1z20z1z2”；“若a，b，c，dR，则复数abicdiac，
4、bd”类比推出“若a，b，c，dQ，则ab cd ac，bd”；“若a，bR，则ab0ab”类比推出“若z1，z2C，则z1z20z1z2”其中类比得到的结论正确的个数是()A0 B1C2 D3解析：由复数的减法运算可知正确；因为a，b，c，d都是有理数，是无理数，所以正确；因为复数不能比较大小，所以不正确答案：C6若等差数列an的公差为d，前n项的和为Sn，则数列为等差数列，公差为.类似地，若各项均为正数的等比数列bn的公比为q，前n项的积为Tn，则等比数列的公比为()A Bq2C D解析：由题设得，Tnb1b2b3bnb1b1qb1q2b1qn1bq12(n1)bq，所以b1q，所以等比数
5、列的公比为 .答案：C7如图所示，在数阵中，用A(m，n)表示第m行的第n个数，则依此规律A(15，2)表示为()A BC D解析：由已知中归纳可得第n行的第一个数和最后一个数均为，其他数字等于上一行该数字“肩膀”上两个数字的和，故A(15，2)2.答案：C8在ABC中，ABC；在四边形ABCD中，ABCD2；在五边形ABCDE中，ABCDE3；，在n边形A1A2An(n3)中，A1A2An()An B(n1)C(n2) D(n3)解析：由归纳推理可得A1A2An(n2).答案：C9观察下列等式：1，1，1，据此规律，第n个等式可为_解析：等式左边的特征：第1个等式有2项，第2个等式有4项，第
6、3个等式有6项，且正负交错，故第n个等式左边有2n项且正负交错，应为1；等式右边的特征：第1个等式有1项，第2个等式有2项，第3个等式有3项，故第n个等式有n项，且由前几个的规律不难发现第n个等式右边应为.答案：110观察下图，可推断出“x”处应该填的数字是_解析：由前两个图形发现：中间数等于四周四个数的平方和，所以“x”处应填的数字是325272102183.答案：18311半径为r的圆的面积Sr2，周长C2r.若将r看作(0，)上的变量，则(r2)2r，即圆的面积函数的导数等于圆的周长函数对于半径为R的球，若将R看作(0，)上的变量，类比圆的上述性质，可得球的相关性质为_(语言叙述).解析
7、：半径为R的球体积VR3，表面积S4R2，显然4R2，即球的体积函数的导数等于球的表面积函数答案：球的体积函数的导数等于球的表面积函数12我国的刺绣有着悠久的历史，刺绣最简单的四个图案如图所示，这些图案都是由小正方形构成，小正方形个数越多刺绣越漂亮现按同样的规律刺绣(小正方形的摆放规律相同)，设第n个图形包含f(n)个小正方形则f(n)的表达式为_解析：我们考虑f(2)f(1)4，f(3)f(2)8，f(4)f(3)12，结合图形不难得到f(n)f(n1)4(n1)，累加得f(n)f(1)2n(n1)2n22n，故f(n)2n22n1.答案：2n22n1B组素养提升练1(2021河南新乡模拟)
8、从1开始的自然数按如图所示的规则排列，现有一个三角形框架在图中上下或左右移动，使每次恰有九个数在此三角形内，则这九个数的和可以为()A2 011 B2 012C2 013 D2 014解析：根据题图中所示的规则排列，设最上层的一个数为a，则第二层的三个数为a7，a8，a9，第三层的五个数为a14，a15，a16，a17，a18，这九个数之和为a3a245a809a104.由9a1042 012，得a212，是自然数答案：B2如图所示，第1个图形由正三角形扩展而成，共12个顶点第n个图形由正n2边形扩展而来，其中nN*，则第n个图形的顶点个数是()A(2n1)(2n2)B3(2n2)C2n(5n
9、1)D(n2)(n3)解析：由已知中的图形可以得到：当n1时，图形的顶点个数为1234，当n2时，图形的顶点个数为2045，当n3时，图形的顶点个数为3056，当n4时，图形的顶点个数为4267，由此可以推断：第n个图形的顶点个数为(n2)(n3).答案：D3在数列an中，a12，an1ann1(2)2n(nN*)，其中0，则an的通项公式是_解析：a12，a222(2)2222，a3(222)3(2)222323，a4(2323)4(2)233424.由此猜想出数列an的通项公式为an(n1)n2n.答案：An(n1)n2n4(2020安徽合肥模拟)已知点A(x1，ax1)，B(x2，ax2
10、)是函数yax(a1)的图象上任意不同两点，依据图象可知，线段AB总是位于A，B两点之间函数图象的上方，因此有结论a成立运用类比思想方法可知，若点A(x1，sin x1)，B(x2，sin x2)是函数ysin x(x(0，)的图象上的不同两点，则类似地有_成立解析：运用类比思想与数形结合思想，可知ysin x(x(0，)的图象是上凸的，因此线段AB的中点的纵坐标总是小于函数ysin x(x(0，)图象上的点 的纵坐标，即sin 成立答案：sin A组基础对点练1用反证法证明命题“设a，b为实数，则方程x3axb0至少有一个实根”时，要做的假设是()A方程x3axb0没有实根B方程x3axb0
11、至多有一个实根C方程x3axb0至多有两个实根D方程x3axb0恰好有两个实根解析：至少有一个实根的否定是没有实根，故要做的假设是“方程x3axb0没有实根”答案：A2在ABC中，sin A sin Ccos A cos C，则ABC一定是()A锐角三角形 B直角三角形C钝角三角形 D不确定解析：由sin A sin Ccos A cos C，得cos A cos Csin Asin C0，即cos (AC)0，所以AC是锐角，从而B，故ABC必是钝角三角形答案：C3设f(x)是定义在R上的奇函数，且当x0时，f(x)单调递减若x1x20，则f(x1)f(x2)的值()A恒为负值 B恒等于零C
12、恒为正值 D无法确定正负解析：由f(x)是定义在R上的奇函数，且当x0时，f(x)单调递减，可知f(x)是R上的单调递减函数，由x1x20，可知x1x2，f(x1)f(x2)f(x2)，则f(x1)f(x2)0.答案：A4分析法又称执果索因法，已知x0，用分析法证明1时，索的因是()Ax22 Bx24Cx20 Dx21解析：因为x0，所以要证1，只需证()2，即证0，即证x20.因为x0，所以x20成立，故原不等式成立答案：C5已知ab0，证明可选择的方法，以下最合理的是()A.综合法 B分析法C类比法 D归纳法解析：首先，排除选项CD.然后，比较综合法、分析法我们选择分析法，欲证，只需证，即
13、证ab(ab)2，只需证02.答案：B6已知p3q32，求证pq2，用反证法证明时，可假设pq2；已知a，bR，|a|b|1，求证方程x2axb0的两根的绝对值都小于1，用反证法证明时可假设方程有一根x1的绝对值大于或等于1，即假设|x1|1.以下正确的是()A与的假设都错误B与的假设都正确C的假设正确；的假设错误D的假设错误；的假设正确解析：反证法的实质是否定结论，对于，其结论的反面是pq2，所以不正确；对于，其假设正确答案：D7(2020山东青岛模拟)设a，b，c均为正实数，则三个数a，b，c()A都大于2B都小于2C至少有一个不大于2D至少有一个不小于2解析：因为a0，b0，c0，所以6
14、，当且仅当abc1时“”成立，故三者不能都小于2，即至少有一个不小于2.答案：D8用反证法证明命题“a，bR，ab可以被5整除，那么a，b中至少有一个能被5整除”，那么假设的内容是_答案：a，b都不能被5整除9已知ab0，则；ac2bc2；a2b2；.其中正确的是_(填序号)解析：对于，因为ab0，所以ab0，0，ab，即，故正确；当c0时，不正确；由不等式的性质知正确答案：10用反证法证明命题“若x2(ab)xab0，则xa且xb”时，应假设为_解析：“xa且xb”的否定是“xa或xb”，因此应假设为xa或xb.答案：xa或xb11如果abab，则a，b应满足的条件是_解析：因为ab(ab)
15、(ab)(ba)()(ab)()2().所以当a0，b0且ab时，()2()0.所以abab成立的条件是a0，b0且ab.答案：a0，b0且abB组素养提升练1(2021山西太原模拟)用反证法证明“若x210，则x1或x1”时，应假设_解析：“x1或x1”的否定是“x1且x1”答案：x1且x12若二次函数f(x)4x22(p2)x2p2p1在区间1，1内至少存在一点c，使f(c)0，则实数p的取值范围是_解析：(补集法)令解得p3或p，故满足条件的p的取值范围为.答案：3设数列an的前n项和为Sn，满足Sn2nan13n24n，nN*，且S315.(1)求a1，a2，a3的值；(2)求数列an
16、的通项公式解析：(1)由已知得解得a13，a25，a37.(2)猜测an2n1.由Sn2nan13n24n得Sn12(n1)an3(n1)24(n1)(n2)，当n2时，anSnSn1，所以两式相减，整理得an2nan12(n1)an6n1，an1an，又a25，a13，满足式子，建立了an与an1的递推关系(nN*)；因为当n1时，a13，假设nk时成立，即ak2k1成立，那么当nk1时，ak1ak(2k1)2k32(k1)1，综上，对于nN*，有an2n1，所以数列an的通项公式为an2n1.4已知ABC的三个内角A，B，C成等差数列，A，B，C的对边分别为a，b，c.求证：.证明：要证，
17、即证3，也就是1，只需证c(bc)a(ab)(ab)(bc)，即证c2a2acb2.又ABC三个内角A，B，C成等差数列，故B60，由余弦定理，得b2c2a22ac cos 60，即b2c2a2ac，故c2a2acb2成立，于是原等式成立5(2020湖南常德模拟)设an是公比为q的等比数列(1)推导an的前n项和公式；(2)设q1，证明数列an1不是等比数列解析：(1)设an的前n项和为Sn，当q1时，Sna1a1a1na1；当q1时，Sna1a1qa1q2a1qn1，qSna1qa1q2a1qn，得，(1q)Sna1a1qn，Sn，Sn(2)证明：假设an1是等比数列，则对任意的kN*，(ak11)2(ak1)(ak21)，a2ak11akak2akak21，aq2k2a1qka1qk1a1qk1a1qk1a1qk1.a10，2qkqk1qk1.q0，q22q10.q1这与q1矛盾故假设不成立，原命题成立