1、1高二数学（文）本试卷共 5 页，150 分。考试时长 120 分钟。第一部分（选择题共 60 分）一、选择题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。1.已知集合 A=x|1x1，则 AB=A.（1，1）B.（1，2）C.（1，+）D.（1，+）【答案】C【详解】|12,|1AxxBx，(1,)AB，故选 C.2.已知复数 z=2+i，则 z zA.3B.5C.3D.5【答案】D【详解】z2i,z z(2i)(2i)5故选 D.3.下列函数中，在区间（0，+）上单调递增的是A.12yxB.y=2 xC.12logyxD.1yx【答案】A【
2、详解】函数122,logxyyx，1yx在区间(0,)上单调递减，函数12yx在区间(0,)上单调递增，故选 A.4.已知双曲线2221xya （a0）的离心率是5 则 a=A.6B.4C.2D.12【答案】D2【详解】双曲线的离心率5cea，21ca，215aa，解得12a，故选 D.5.已知点 P(x,y)在不等式组表示的平面区域内运动,则 z=x-y 的取值范围是()A.-2,-1B.-2,1C.-1,2D.1,2【答案】C【解析】不等式对应的平面区域如图：（阴影部分）由 z=xy 得 y=xz，平移直线 y=xz，由平移可知当直线 y=xz，经过点 C（2，0）时，直线 y=xz 的截
3、距最小，此时 z 取得最大值，代入 z=xy 得 z=20=2，即 z=xy 的最大值是 2，经过点 A（0，1）时，直线 y=xz 的截距最大，此时 z 取得最小值，代入 z=xy 得 z=01=1，即 z=xy 的最小值是1，即1z2故选 C.6.设函数 f（x）=cosx+bsinx（b 为常数），则“b=0”是“f（x）为偶函数”的A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件【答案】C【详解】0b 时，()cossincosf xxbxx,()f x 为偶函数；()f x 为偶函数时，()=()fxf x对任意的 x 恒成立，()cos()sin()
4、cossinfxxbxxbxcossincossinxbxxbx，得0bsinx 对任意的 x 恒成立，从而0b.从而“0b”是“()f x 为偶函数”的充分必要条件，故选 C.37为了得到函数的图象，可以将函数的图象（）A向左平移个单位长度B向右平移个单位长度C向左平移个单位长度D向右平移个单位长度【答案】C【解答】解：将函数=sin2（x+）的图象向左平移个单位长度，可得函数 ysin2（x+）=sin（2x+）的图象，故选：C8某几何体的三视图如图所示，则其体积为（）ABCD【答案】C【解答】解：根据已知中的三视图，可得该几何体是一个以俯视图为底面的半圆锥，其底面面积 S=，高 h=，故
5、体积 V=，故选：C9已知函数 f（x）=kx1，其中实数 k 随机选自区间2，2，x0，1，f（x）0 的概率是（）ABCD【答案】D4【解答】解：由题意知本题是一个几何概型，概率的值对应长度之比，2k2，其区间长度是 4，又对x0，1，f（x）0 且 f（x）是关于 x 的一次型函数，在0，1上单调，2k1，其区间长度为 3，P=，故选：D10若ABC 的内角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c，已知 2bsin2A=3asinB，且 c=2b，则等于（）ABCD【答案】C【解答】解：由 2bsin2A=3asinB，利用正弦定理可得：4sinBsinAcosA=3sinAsinB，由
6、于：sinA0，sinB0，可得：cosA=，又 c=2b，可得：a2=b2+c22bccosA=b2+4b22b2b=2b2，则=故选：C11.数列满足：，则数列前项的和为A.B.C.D.【答案】A【解析】，又=5，即，数列前项的和为，故选：A512.若函数存在正的零点,则实数 的取值范围为()A.B.C.D.【答案】D【解析】由，可得，令，易知为增函数.函数存在正的零点，g（0）0，lnm，0m，m0 时，显然成立，m，故选 D.第二部分（非选择题共 90 分）二、填空题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。13.已知抛物线上一点与该抛物线的焦点 的距离，则点的横坐标_【答案】3【解
7、析】与焦点 的距离，即代准线的距离为，准线为，的横坐标为14.已知 a0，b0，且 a+b=1，求的最小值_【答案】4【解析】由，得.当且仅当，即时，等号成立.答案为：4.15.已知甲、乙、丙三位同学在某次考试中总成绩列前三名，有，三位学生对其排名猜测如下：甲第一名，乙第二名；：丙第一名；甲第二名；：乙第一名，甲第三名.成绩公布后得知，三人都恰好猜对了一半，则第一名是_【答案】丙【详解】由题意，假设 A 的说法中“甲第一名”正确，则 B 的说法中“丙第一名”和 C说法中“乙第一名”是错误，这与 B 中“甲第二名”和 C 中“甲第三名”是矛盾的，所6以是错误的；所以 A 中，“甲是第一名是错误的
8、，乙是第二名是正确的”；又由 B 中，假设“丙是第一名是错误的，甲是第二名是正确的”，这与 A 中，“甲是第一名是错误的，乙是第二名”是矛盾的，所以 B 中，假设“丙是第一名是正确的，甲是第二名是错误的”，故第一名为丙.16南宋数学家杨辉在详解九章算法和算法通变本末中给出了一些新垛积问题，如图正方垛积：最上层 1 个，第 2 层 4 个，第 3 层 9 个第n 层2n 个，这n 层的总个数计算式子为：222211123132nn nn；试问“三角垛下广一面二十个，上尖，高二十个，问计几何？”意思是：有一个三角垛，底层每条边上有 20 个小球，上面是尖的（只有一个小球），问：总共有_个小球.（注
9、：这里高分别为一个、二个、三个、四个的三角垛如图）【答案】1540【详解】根据题意：该三角垛的第一层有 1 个，第二层有 3 个，第三层有 6 个，据此归纳推理，第n 层有 2111222n nnn个，故该三角垛总共有：2222111111111122332020222222222221112201220221141120 2121023221435 10571540.故答案为：1540.三、解答题共 6 小题，共 70 分。解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。17.（12 分）在ABC 中，a=3，2bc，cosB=12（）求 b，c 的值；（）求 sin（B+C）的值【答案】（）7,5
10、bc；（）3 314.【详解】（）由余弦定理可得2221cos22acbBac，因为3a，所以22390cbc；因为2bc，所以解得75bc.（）由（）知3,7,5abc，所以22213cos214bcaAbc；因为 A为 ABC的内角，所以2co3 3sin1s14AA.因为3 3sin()sin()sin14BCAA.19.（12 分）某校对甲、乙两个文科班的数学考试成绩进行分析，规定：大于或等于 120分为优秀，120 分以下为非优秀统计成绩后，得到如下的列联表，且已知在甲、乙两个文科班全部 110 人中随机抽取 1 人为优秀的概率为（1）请完成上面的列联表；（2）根据列联表的数据，是否
11、有 99.9%的把握认为“成绩与班级有关系”参考公式与临界值表：8【答案】（1）见解析；（2）见解析【详解】（1）（2），没有 99.9%的把握认为成绩与班级有无关19（12 分）如图，长方体 ABCDA1B1C1D1的底面 ABCD 是正方形，点 E 在棱 AA1上，BEEC1.（1）证明：BE平面 EB1C1；（2）若 AE=A1E，AB=3，求四棱锥11EBB C C的体积【详解】（1）因为在长方体1111ABCDA B C D中，11B C 平面11AA B B；BE 平面11AA B B，所以11B CBE，又1BEEC，1111B CECC，且1EC 平面11EB C，11B C
12、平面11EB C，所以BE 平面11EB C；（2）设长方体侧棱长为 2a，则1AEA Ea，由（1）可得1EBBE；所以22211EBBEBB，即2212BEBB，又3AB，所以222122AEABBB，即222184aa，解得3a；取1BB 中点 F，连结 EF，因为1AEA E，则 EFAB；所以 EF 平面11BB C C，所以四棱锥11EBB C C的体积为91 11 111113 6 318333E BB C CBB C CVSEFBC BB EF 矩形.20.（12 分）19.已知椭圆2222:1xyC ab的右焦点为(1,0)，且经过点(0,1)A.（）求椭圆 C 的方程；（）
13、设 O 为原点，直线:(1)l ykxt t 与椭圆 C 交于两个不同点 P，Q，直线 AP与 x 轴交于点 M，直线 AQ 与 x 轴交于点 N，若|OM|ON|=2，求证：直线 l 经过定点.【详解】（）因为椭圆的右焦点为(1,0)，因为椭圆经过点(0,1)A,所以1b ，所以2222abc，故椭圆的方程为2212xy.（）设1122(,),(,)P x yQ xy联立2212(1)xyykxt t得222(12)4220kxktxt，21212224220,1212kttxxx xkk ，121222()212tyyk xxtk，222212121222()12tky yk x xkt
14、xxtk.直线111:1yAP yxx，令0y 得111xxy，即111xOMy；同理可得221xONy.因为2OM ON,所以1212121212211()1xxx xyyy yyy；221121ttt，解之得0t，所以直线方程为 ykx，所以直线l 恒过定点(0,0).21.（12 分）已知函数321()4f xxxx.（）求曲线()yf x的斜率为 1 的切线方程；10（）当 2,4x 时，求证：6()xf xx；（）设()|()()|()F xf xxaaR，记()F x 在区间 2,4上的最大值为 M（a），当 M（a）最小时，求 a 的值【详解】（）23()214fxxx，令23(
15、)2114fxxx 得0 x 或者83x.当0 x 时，(0)0f，此时切线方程为 yx，即0 xy；当83x 时，88()327f，此时切线方程为6427yx，即2727640 xy；综上可得所求切线方程为0 xy和 2727640 xy.（）设321()()4g xf xxxx，23()24g xxx，令23()204g xxx得0 x 或者83x，所以当 2,0 x 时，()0g x，()g x 为增函数；当8(0,)3x时，()0g x，()g x 为减函数；当8,43x时，()0g x，()g x 为增函数；而(0)(4)0gg，所以()0g x，即()f xx；同理令321()()
16、664h xf xxxx，可求其最小值为(2)0h，所以()0h x，即()6f xx，综上可得6()xf xx.（）由（）知 6()0f xx，所以()M a 是,6a a 中的较大者，若6aa，即3a 时，()3M aaa ；若6aa，即3a 时，()663M aaa；所以当()M a 最小时，()3M a，此时3.1122.（10 分）【选修 4-4：坐标系与参数方程】在直角坐标系 xOy 中，直线l 的参数方程为tytx225223(t 为参数)在极坐标系(与直角坐标系 xOy 取相同的长度单位，且以原点 O 为极点，以 x 轴正半轴为极轴)中，圆 C 的方程为=2 5sin(1)求圆 C 的直角坐标方程；(2)设圆 C 与直线l 交于点,A B 若点 P 的坐标为(3，5)，求 PAPB22(1)5)5(22 yx(2)23