1、1.3随机事件1.4随机事件的运算学 习 目 标核 心 素 养1.理解随机事件与样本点的关系(重点)2了解随机事件的交、并与互斥的含义，能结合实例进行随机事件的交、并运算(难点、易混点)1通过对随机、必然、不可能事件等概念的学习，培养数学抽象素养2通过学习事件的运算法则，培养数学建模素养1三种事件的定义事件随机事件一般地，把试验E的样本空间的子集称为E的随机事件，简称事件，常用A，B，C等表示在每次试验中，当这一事件发生时，这一子集中的样本点必出现其中一个；反之，当这一子集中的一个样本点出现时，这一事件必然发生必然事件样本空间是其自身的子集，因此也是一个事件；又因为它包含所有的样本点，每次试验
2、无论哪个样本点出现，都必然发生，因此称为必然事件不可能事件空集也是的一个子集，可以看作一个事件；由于它不包含任何样本点，它在每次试验中都不会发生，故称为不可能事件2.随机事件的运算事件的运算定义图形表示符号表示交事件一般地，由事件A与事件B都发生所构成的事件，称为事件A与事件B的交事件(或积事件)AB(或AB)并事件一般地，由事件A与事件B至少有一个发生所构成的事件，称为事件A与事件B的并事件(或和事件)AB(或AB)3.互斥事件与对立事件事件的运算定义图形表示符号表示互斥事件一般地，不能同时发生的两个事件A与B(AB)称为互斥事件它可以理解为A，B同时发生这一事件是不可能事件AB对立事件若A
3、与B互斥(AB)，且AB，则称事件A与事件B互为对立事件，事件A的对立事件记作AB且AB思考：1.一颗骰子投掷一次，记事件A出现的点数为2，事件C出现的点数为偶数，事件D出现的点数小于3，则事件A，C，D有什么关系？提示：ACD.2命题“事件A与B为互斥事件”与命题“事件A与B为对立事件”之间是什么关系？(指充分性与必要性)提示：根据互斥事件和对立事件的概念可知，“事件A与B为互斥事件”是“事件A与B为对立事件”的必要不充分条件1从装有3个红球和4个白球的口袋中任取3个小球，则下列选项中两个事件是互斥事件的为()A“都是红球”与“至少一个红球”B“恰有两个红球”与“至少一个白球”C“至少一个白
4、球”与“至多一个红球”D“两个红球，一个白球”与“两个白球，一个红球”DA，B，C中两个事件都可以同时发生，只有D项，两个事件不可能同时发生，是互斥事件2抛掷一枚骰子，“向上的点数是1或2”为事件A，“向上的点数是2或3”为事件B，则()AABBABCAB表示向上的点数是1或2或3DAB表示向上的点数是1或2或3C设A1，2，B2，3，AB2，AB1，2，3，AB表示向上的点数为1或2或3.3在200件产品中，有192件一级品，8件二级品，则下列事件：在这200件产品中任意选9件，全部是一级品；在这200件产品中任意选9件，全部都是二级品；在这200件产品中任意选9件，不全是一级品其中_是随机
5、事件；_是不可能事件(填序号)因为二级品只有8件，故9件产品不可能全是二级品，所以是不可能事件事件类型的判断【例1】指出下列事件是必然事件、不可能事件还是随机事件(1)某人购买福利彩票一注，中奖500万元；(2)三角形的内角和为180；(3)没有空气和水，人类可以生存下去；(4)同时抛掷两枚硬币一次，都出现正面向上；(5)从分别标有1，2，3，4的四张标签中任取一张，抽到1号标签；(6)科学技术达到一定水平后，不需任何能量的“永动机”将会出现解(1)购买一注彩票，可能中奖，也可能不中奖，所以是随机事件(2)所有三角形的内角和均为180，所以是必然事件(3)空气和水是人类生存的必要条件，没有空气
6、和水，人类无法生存，所以是不可能事件(4)同时抛掷两枚硬币一次，不一定都是正面向上，所以是随机事件(5)任意抽取，可能得到1，2，3，4号标签中的任一张，所以是随机事件(6)由能量守恒定律可知，不需任何能量的“永动机”不会出现，所以是不可能事件判断一个事件是哪类事件的方法判断一个事件是哪类事件要看两点：一看条件，因为三种事件都是相对于一定条件而言的；二看结果是否发生，一定发生的是必然事件，不一定发生的是随机事件，一定不发生的是不可能事件1下列事件不是随机事件的是()A东边日出西边雨B下雪不冷化雪冷C清明时节雨纷纷D梅子黄时日日晴BB是必然事件，其余都是随机事件事件关系的判断【例2】某小组有3名
7、男生和2名女生，从中任选2名同学参加演讲比赛，判断下列每对事件是不是互斥事件，如果是，再判断它们是不是对立事件(1)“恰有1名男生”与“恰有2名男生”；(2)“至少有1名男生”与“全是男生”；(3)“至少有1名男生”与“全是女生”；(4)“至少有1名男生”与“至少有1名女生”解从3名男生和2名女生中任选2人有如下三种结果：2名男生，2名女生，1男1女(1)“恰有一名男生”指1男1女，与“恰有2名男生”不能同时发生，它们是互斥事件；但是当选取的结果是2名女生时，两个事件都不发生，所以它们不是对立事件(2)“至少一名男生”包括2名男生和1男1女两种结果，与事件“全是男生”可能同时发生，所以它们不是
8、互斥事件(3)“至少一名男生”与“全是女生”不可能同时发生，所以它们互斥，由于它们必有一个发生，所以它们是对立事件(4)“至少有一名女生”包括1男1女与2名女生两种结果，当选出的是1男1女时，“至少有一名男生”与“至少有一名女生”同时发生，所以它们不是互斥事件判断事件间关系的方法(1)要考虑试验的前提条件，无论是包含、相等，还是互斥、对立，其发生的条件都是一样的(2)考虑事件间的结果是否有交事件，可考虑利用Venn图分析，对较难判断关系的，也可列出全部结果，再进行分析2从一堆产品(其中正品与次品都多于2件)中任取2件，观察正品件数与次品件数，判断下列每个事件是不是互斥事件，如果是，再判断它们是
9、不是对立事件(1)“恰好有1件次品”和“恰好有2件次品”；(2)“至少有1件次品”和“全是次品”；(3)“至少有1件正品”和“至少有1件次品”解依据互斥事件的定义，即事件A与事件B在一次试验中不会同时发生可知：(1)中恰好有1件次品和恰好有2件次品不可能同时发生，因此它们是互斥事件，又因为它们的和事件不是必然事件，所以它们不是对立事件；同理可以判断(2)中的2个事件不是互斥事件，从而也不是对立事件；(3)中的2个事件不是互斥事件，从而也不是对立事件事件的运算探究问题1事件的运算与集合的运算有什么对应关系？提示由事件A与事件B都发生所构成的事件，称为事件A与事件B的交事件，对应集合A与集合B的公
10、共元素构成的集合为AB；由事件A与事件B至少有一个发生所构成的事件，称为事件A与事件B的并事件，对应由集合A或集合B中的元素组成的集合为AB.2进行事件的运算，有哪些方法？提示(1)利用事件间运算的定义列出同一条件下的试验所有可能出现的结果，分析并利用这些结果进行事件间的运算(2)利用Venn图借助集合间运算的思想，分析同一条件下的试验所有可能出现的结果，把这些结果在图中列出，进行运算【例3】在投掷骰子试验中，根据向上的点数可以定义许多事件，如：A出现1点，B出现3点或4点，C出现的点数是奇数，D出现的点数是偶数(1)说明以上4个事件的关系；(2)求AB，AB，AD，BD，BC.思路点拨(1)
11、(2)解在投掷骰子的试验中，根据向上出现的点数有6种基本事件，记作Ai出现的点数为i(其中i1，2，6).则AA1，BA3A4，CA1A3A5，DA2A4A6.(1)事件A与事件B互斥，但不对立，事件A包含于事件C，事件A与D互斥，但不对立；事件B与C不是互斥事件，事件B与D也不是互斥事件；事件C与D是互斥事件，也是对立事件(2)AB， ABA1A3A4出现点数1，3或4，ADA1A2A4A6出现点数1，2，4或6BDA4出现点数4BC A1A3A4A5出现点数1，3，4或51在例3的条件下，求AC，AC，BC.解ACA出现1点，ACC出现点数1，3或5，BCA3出现点数32用事件Ai出现的点
12、数为i(其中i1，2，6)表示下列事件：(1)BD；(2)CD.解(1)BD出现点数2，3，4或6A2A3A4A6.(2)CD出现点数1，2，3，4，5，6A1A2A3A4A5A6.进行事件运算应注意的问题(1)进行事件的运算时，一是要紧扣运算的定义，二是要全面考查同一条件下的试验可能出现的全部结果，必要时可利用Venn图或列出全部的试验结果进行分析(2)在一些比较简单的题目中，需要判断事件之间的关系时，可以根据常识来判断但如果遇到比较复杂的题目，就得严格按照事件之间关系的定义来推理1辨析随机事件、必然事件、不可能事件时要注意看清条件，在给定的条件下判断是一定发生(必然事件)，还是不一定发生(
13、随机事件)，还是一定不发生(不可能事件).2互斥事件和对立事件都是针对两个事件而言的，它们两者之间既有区别又有联系在一次试验中，两个互斥事件有可能都不发生，也可能有一个发生，但不可能两个都发生；而两个对立事件必有一个发生，但是不可能两个事件同时发生，也不可能两个事件都不发生所以两个事件互斥，它们未必对立；反之，两个事件对立，它们一定互斥1思考辨析(正确的画“”，错误的画“”)(1) 若两个事件是互斥事件，则这两个事件是对立事件()(2) 若事件A和B是互斥事件，则AB是不可能事件()(3) 事件AB是必然事件，则事件A和B是对立事件()提示(1)错误对立事件是互斥事件，但互斥事件不一定是对立事
14、件(2)正确因为事件A和B是互斥事件，所以AB为空集，所以AB是不可能事件(3)错误反例：抛掷一枚骰子，事件A为：向上的点数小于5，事件B为：向上的点数大于2，则事件AB是必然事件，但事件A和B不是对立事件答案(1)(2)(3)2从1，2，9中任取两数，其中： 恰有一个偶数和恰有一个奇数；至少有一个奇数和两个数都是奇数；至少有一个奇数和两个数都是偶数；至少有一个奇数和至少有一个偶数在上述事件中，为对立事件的是()ABCDC从1，2，9中任取两数，包括一奇一偶、两奇、两偶，共三种互斥事件，所以只有中的两个事件才是对立事件3从100个同类产品中(其中有2个次品)任取3个三个正品；两个正品，一个次品
15、；一个正品，两个次品；三个次品；至少一个次品；至少一个正品其中必然事件是_，不可能事件是_，随机事件是_从100个产品(其中2个次品)中取3个可能结果是“三个全是正品”“二个正品一个次品”“一个正品二个次品”4盒子里有6个红球，4个白球，现从中任取3个球，设事件A3个球中有一个红球，两个白球，事件B3个球中有两个红球，一个白球，事件C3个球中至少有一个红球，事件D3个球中既有红球又有白球(1)事件D与A，B是什么样的运算关系；(2)事件C与A的交事件是什么事件解(1)对于事件D，可能的结果为1个红球2个白球，或2个红球1个白球，故DAB.(2)对于事件C，可能的结果为1个红球2个白球，2个红球1个白球，或3个红球，故CAA.